Учебное пособие охватывает основные разделы тензорного исчисления, используемые в механике и электродинамике сплошных сред, механике композитов, кристаллофизике, квантовой химии: алгебру тензоров, тензорный анализ, тензорное описание кривых и поверхностей, основы тензорного интегрального исчисления. Особое внимание уделено теории инвариантов, теории индифферентных тензоров, задающих физические свойства сред, теории анизотропных тензорных функций. Изложены основы тензорного исчисления в римановых пространствах и пространствах аффинной связности. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по машиностроительным специальностям.
Другие научные труды Димитриенко Ю.И.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Истоки тензорного исчисления
Введение
Глава 1. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
1.1. Локальные векторы базиса. Якобиевы и метрические матрицы
1.2. Векторное произведение
1.3. Геометрическое определение тензора и алгебраические операции с тензорами
1.4. Алгебра тензорных полей
1.5. Собственные значения тензора
1.6. Симметричные, кососимметричные и ортогональные тензоры
1.7. Физические компоненты тензоров
1.8. Тензоры высших рангов
1.9. Псевдотензоры
Глава 2. ТЕНЗОРЫ НА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
2.1. Линейное n-мерное пространство
2.2. Матрицы n-ого порядка
2.3. Линейные преобразования n-мерных пространств
2.4. Сопряженное пространство
2.5. Алгебра тензоров на n-мерных линейных пространствах
2.6. Внешние формы
Глава 3. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
3.1. Линейные преобразования координат
3.2. Группы преобразований в трехмерном евклидовом пространстве
3.3. Симметрия конечных тел
3.4. Матричные представления групп преобразований
Глава 4. ИНДИФФЕРЕНТНЫЕ ТЕНЗОРЫ И ИНВАРИАНТЫ
4.1. Индифферентные тензоры
4.2. Число независимых компонент индифферентного тензора
4.3. Симметричные индифферентные тензоры
4.4. Скалярные инварианты
4.5. Инварианты симметричного тензора второго ранга
Глава 5. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
5.1. Линейные тензорные функции
5.2. Скалярные функции тензорного аргумента
5.3. Потенциальные тензорные функции
5.4. Квазилинейные тензорные функции
5.5. Спектральное представление тензоров второго ранга
5.6. Спектральные представления квазилинейных тензорных функций
5.7. Непотенциальные тензорные функции
5.8. Дифференцирование тензорных функций по тензорному аргументу
5.9. Скалярные функции нескольких тензорных аргументов
5.10. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов
Глава 6. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
6.1. Ковариантное дифференцирование
6.2. Дифференцирование тензоров второго ранга
6.3. Свойства ковариантных производных
6.4. Ковариантные производные второго порядка
6.5. Дифференцирование в ортогональных криволинейных координатах
Глава 7. ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
7.1. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве
7.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
7.3. Кривые на поверхности
7.4. Геометрия в окрестности поверхности
7.5. Уплощенные поверхности в R3
Глава 8. ТЕНЗОРЫ В РИМАHОВЫХ ПРОСТРАHСТВАХ И ПРОСТРАHСТВАХ АФФИHHОЙ СВЯЗHОСТИ
8.1. Римановы пространства
8.2. Пространства аффинной связности
8.3. Риманово пространство с аффинной связностью
8.4. Тензор Римана-Кристоффеля
Глава 9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ
9.1. Криволинейные интегралы от тензора
9.2. Поверхностные интегралы от тензора
9.3. Объемные интегралы от тензора
Приложение. Энергетические и квазиэнергетические пары тензоров
Список литературы
Предметный указатель