Перейти к списку | Аннотация | Содержание
Аннотация
В пятом выпуске подробно рассмотрены основополагающие понятия предела и непрерывности функций многих переменных, свойства дифференцируемых функций, вопросы поиска абсолютного и условного экстремумов функций многих переменных. Отражена связь дифференциального исчисления функций многих переменных с дифференциальной геометрией. Рассмотрены методы решения систем нелинейных уравнений.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.
Содержание
| Предисловие | ||
| Основные обозначения | ||
| Введение | ||
| 1. | Функции многих переменных как отображения | |
| 1.1. | Открытые и замкнутые множества | |
| 1.2. | Функции многих переменных | |
| 1.3. | Предел функции многих переменных | |
| 1.4. | Непрерывность функции многих переменных | |
| 1.5. | Линии и поверхности разрыва | |
| 1.6. | Непрерывность по части переменных | |
| 1.7. | Свойства функций многих переменных, непрерывных на компактах | |
| Вопросы и задачи | ||
| 2. | Дифференцируемые функции многих переменных | |
| 2.1. | Частные производные | |
| 2.2. | Геометрическая интерпретация частных производных | |
| 2.3. | Дифференцируемость функций многих переменных | |
| 2.4. | Необходимые условия дифференцируемости | |
| 2.5. | Достаточное условие дифференцируемости | |
| 2.6. | Дифференцируемость сложной функции | |
| 2.7. | Дифференциал функции многих переменных | |
| Вопросы и задачи | ||
| 3. | Производные и дифференциалы высших порядков | |
| 3.1. | Частные производные второго порядка | |
| 3.2. | Частные производные высших порядков | |
| 3.3. | Дифференциалы высших порядков | |
| 3.4. | Формула Тейлора | |
| 3.5. | Дифференциалы в приближенных вычислениях | |
| Вопросы и задачи | ||
| 4. | Неявные функции | |
| 4.1. | Случай уравнения с двумя неизвестными | |
| 4.2. | Общий случай | |
| 4.3. | Обратная функция | |
| Вопросы и задачи | ||
| 5. | Геометрические приложения | |
| 5.1. | Производная по направлению | |
| 5.2. | Градиент | |
| 5.3. | Касательная плоскость и нормаль | |
| 5.4. | Касательная и нормаль кривой на плоскости | |
| Вопросы и задачи | ||
| 6. | Экстремум функции многих переменных | |
| 6.1. | Необходимое условие экстремума | |
| 6.2. | Достаточное условие экстремума | |
| 6.3. | Достаточные условия экстремума функции двух переменных | |
| 6.4. | Исследование функций на экстремум | |
| Вопросы и задачи | ||
| 7. | Условный экстремум | |
| 7.1. | Общая постановка задачи | |
| 7.2. | Необходимое условие условного экстремума | |
| 7.3. | Достаточные условия условного экстремума | |
| 7.4. | Нахождение наибольшего и наименьшего значений | |
| Вопросы и задачи | ||
| 8. | Геометрия поверхностей | |
| 8.1. | Гладкая поверхность | |
| 8.2. | Касательная плоскость и нормаль к поверхности | |
| 8.3. | Первая квадратичная форма поверхности | |
| 8.4. | Вторая квадратичная форма поверхности | |
| 8.5. | Классификация точек поверхности | |
| 8.6. | Нормальная кривизна поверхности | |
| 8.7. | Главные направления и главные кривизны поверхности | |
| Д.8.1. | Внутренняя и внешняя геометрии поверхности | |
| Вопросы и задачи | ||
| 9. | Численные методы решения систем нелинейных уравнений | |
| 9.1. | Итерационные методы решения | |
| 9.2. | Метод Ньютона | |
| 9.3. | Проблема глобальной сходимости | |
| Вопросы и задачи | ||
| 10. Интерполирование функций многих переменных | ||
| 10.1. | Интерполяционные сплайны первой степени | |
| 10.2. | Билинейные интерполяционные сплайны | |
| 10.3. | Кубические сплайны одного переменного | |
| 10.4. | Бикубические сплайны двух переменных | |
| 10.5. | Приближение кривых и поверхностей | |
| Вопросы и задачи | ||
| 11. Дифференциальное исчисление на многообразиях | ||
| 11.1. | Определение гладкого многообразия | |
| 11.2. | Примеры многообразий | |
| 11.3. | Гладкие отображения многообразий | |
| 11.4. | Касательные векторы | |
| 11.5. | Касательное расслоение и дифференциал | |
| 11.6. | Векторные поля на многообразиях | |
| 11.7. | Фазовый поток векторного поля | |
| 11.8. | Алгебра Ли векторных полей | |
| 11.9. | Распределения и теорема Фробениуса | |
| Д.11.1. | Системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных | |
| Д.11.2. | Некоторые приложения теории векторных полей и распределений | |
| Вопросы и задачи | ||
| Список рекомендуемой литературы | ||
| Предметный указатель | ||