×

Предупреждение

EU e-Privacy Directive

This website uses cookies to manage authentication, navigation, and other functions. By using our website, you agree that we can place these types of cookies on your device.

View e-Privacy Directive Documents

View GDPR Documents

You have declined cookies. This decision can be reversed.

На кафедре осуществляется подготовка аспирантов по следующим специальностям:

Код Наименование
05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации
05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

В аспирантуру МГТУ им. Н.Э. Баумана на конкурсной основе принимаются граждане Российской Федерации, имеющие законченное профессиональное высшее образование. Граждане иностранных государств, включая граждан государств участников СНГ, принимаются в аспирантуру на платной договорной основе. Приём заявлений проводится с 1 июня по 10 сентября. Поступающие в аспирантуру проходят обязательное собеседование с предполагаемым научным руководителем, представляют реферат по направлению будущей диссертации и сдают конкурсные вступительные экзамены по специальности, философии, одному из иностранных языков. Приём экзаменов проводится в период с 20 сентября по 10 октября. Лица, сдавшие какие-либо кандидатские экзамены, при поступлении в аспирантуру освобождаются от сдачи соответствующих вступительных экзаменов. Зачисление в аспирантуру производится с 20 октября приказом ректора в соответствии с планом приёма аспирантов. Приёмная комиссия выносит мотивированное решение по каждому кандидату на основании заключения предполагаемого научного руководителя, заведующего кафедрой и результатов конкурсных экзаменов.

Приём заявлений проводится с 1 июня по 10 сентября. Заявление о приёме в аспирантуру подаётся на имя ректора с приложением:

  1. личного листка по учёту кадров (бланк можно получить в отделе аспирантуры);
  2. копии диплома об окончании ВУЗа;
  3. копии приложения к диплому;
  4. 3-х фотокарточек размером 3x4;
  5. отзыва на реферат по избранной специальности.

Бланк заявления выдаётся в отделе аспирантуры. Диплом ВУЗа и паспорт предъявляются лично.

Приём экзаменов проводится в период с 20 сентября по 10 октября. Результаты вступительных экзаменов действительны в течении календарного года. Пересдача экзаменов не допускается.

Программа вступительного экзамена в аспирантуру кафедры ФН-12 

  1. Основные сведения о математических моделях
    • Математические модели объектов, микро-, макро- и метамодели.
    • Методы построения математических моделей.
    • Основные понятия и имитационного и статистического моделирования.
  2. Математический аппарат моделирования
    1. Алгебра и геометрия
      • Множества, подмножества и операции над ними.
      • Множество действительных чисел. Числовая прямая.
      • Отображения множеств.
      • Неподвижная точка отображения.
      • Мощность множества.
      • Кортеж.
      • Элементы комбинаторики.
      • Декартово произведение.
      • Соответствия и бинарные отношения.
      • Операции над соответствиями.
      • Свойства бинарных отношений.
      • Отношения эквивалентности.
      • Упорядоченные множества.
      • Мощность множества.

      • Высказывания и их истинность.
      • Операции над высказываниями их свойства.

      • Основные законы композиции и алгебраические структуры.
      • Группы и кольца.
      • Группа подстановок.
      • Кольцо многочленов.
      • Группоиды, полугруппы.
      • Циклические группы.
      • Тела, поля.
      • Поле комплексных чисел.

      • Векторные и скалярные величины.
      • Линейные операции над векторами и их свойства.
      • Ортогональная проекция.
      • Линейная зависимость и независимость векторов.
      • Базис.
      • Вычисления в координатах.
      • Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, и их свойства.
      • Декартова система координат.
      • Преобразование прямоугольных координат.
      • Простейшие задачи аналитической геометрии.
      • Вычисление площадей и объемов.
      • Кривые и поверхности.
      • Полярная система координат.
      • Цилиндрическая и сферическая системы координат.
      • Прямая на плоскости.
      • Алгебраические кривые первого порядка.
      • Специальные виды уравнения прямой.
      • Взаимное расположение двух прямых.
      • Расстояние от точки до прямой.

      • Прямая и плоскость в пространстве.
      • Алгебраические поверхности первого порядка.
      • Специальные виды уравнения плоскости.
      • Уравнения прямой в пространстве.
      • Взаимное расположение прямых и плоскостей.
      • Расстояние до плоскости и до прямой.
      • Пучки и связки.

      • Матрицы и операции над ними, их свойства.
      • Блочные матрицы.
      • Прямая сумма матриц
      • Линейная зависимость строк и столбцов матриц.
      • Элементарные преобразования матриц.

      • Определители n-го порядка, их свойства.
      • Методы вычисления определителей.

      • Обратная матрица и ранг матрицы, их вычисление и свойства.
      • Решение матричных уравнений.
      • Теорема о базисном миноре.

      • Системы линейных алгебраических уравнений.
      • Формы записи СЛАУ.
      • Критерий совместности СЛАУ.
      • Формулы Крамера.
      • Свойства решений однородных и неоднородных систем.
      • Методы решения СЛАУ.
      • СЛАУ с комплексными коэффициентами.

      • Линейные пространства.
      • Базис и размерность линейного пространства.
      • Преобразование координат вектора при замене базиса.

      • Линейные подпространства, их свойства.
      • Ранг системы векторов.
      • Линейные оболочки и системы уравнений.
      • Прямое дополнение.

      • Евклидовы пространства.
      • Неравенство Коши - Буняковского.
      • Нормированные пространства.
      • Ортогональные системы векторов и их свойства.
      • Ортогональные и ортонормированные базисы.
      • Вычисления в ортонормированном базисе.
      • Процесс ортогонализации Грама - Шмидта.
      • Ортогональное дополнение.

      • Нормы матриц и их свойства.
      • Метод наименьших квадратов.
      • Псевдорешения систем линейных уравнений и псевдообратная матрица.

      • Линейные операторы.
      • Изоморфизм линейных пространств.
      • Матрица линейного оператора и ее свойства.
      • Собственные векторы и собственные значения.
      • Характеристическое уравнение матрицы и линейного оператора.
      • Свойства собственных векторов.
      • Теорема Гамильтона - Кэли.

      • Сопряженный оператор.
      • Самосопряженные операторы и их матрицы.
      • Свойства собственных векторов самосопряженного оператора.

      • Ортогональные матрицы и операторы, их свойства.
      • Матрицы перехода в евклидовом пространстве.
      • Приведение симметрической матрицы к диагональному виду.

      • Квадратичные формы, их преобразование.
      • Квадратичные формы канонического вида.
      • Ортогональные преобразования квадратичных форм.
      • Закон инерции.
      • Критерий Сильвестра.

      • Кривые второго порядка, их канонические и полярные уравнения.
      • Поверхность вращения и преобразование сжатия.
      • Поверхности второго порядка.
      • Цилиндрические поверхности.
      • Метод сечений.
      • Конические и линейчатые поверхности.
      • Конические сечения.
      • Упрощение уравнений кривых и поверхностей второго порядка.
      • Классификация кривых и поверхностей второго порядка.

      • Элементы тензорной алгебры.
      • Сопряженное пространство.
      • Полилинейные формы.
      • Тензоры.
      • Операции c тензорами.

      • Численные методы решения СЛАУ.
      • Прямые и итерационные методы решения СЛАУ.
      • Метод Гаусса и его особенности.
      • Метод прогонки.
      • Мультипликативные разложения матриц.
      • QR-разложение.
      • Сингулярное разложение.
      • Обусловленность квадратных матриц.
      • Итерационные методы, их каноническая форма записи.
      • Методы Якоби, Зейделя, простой итерации, Ричардсона и релаксации.
      • Сходимость итерационных методов.
      • Теорема Самарского.
      • Скорость сходимости стационарных итерационных методов.
    2. Дифференциальное исчисление
      • Метрические пространства и их непрерывные отображения.
      • Окрестности в метрическом пространстве.
      • Характерные точки множеств.
      • Открытые, замкнутые и компактные множества.
      • Свойства непрерывного отображения множеств.
      • Линейно связные множества.
      • Равномерная непрерывность.

      • Предел отображения метрических пространств, его свойства и признаки существования.
      • Полное метрическое пространство.
      • Принцип сжимающих отображений.

      • Действительные функции действительного переменного
      • Функция и ее график.
      • Способы задания функции.
      • Основные элементарные функции.

      • Числовые последовательности, их пределы.
      • Свойства сходящихся последовательностей.
      • Признаки существования предела последовательности.
      • Число e.

      • Предел функции в точке и его свойства.
      • Односторонние пределы.
      • Признаки существования предела.
      • Свойства функций, имеющих конечный предел.
      • Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
      • Предел сложной функции.
      • Два замечательных предела.
      • Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции.

      • Непрерывность функции в точке, свойства функций, непрерывных в точке.
      • Односторонняя непрерывность. Точки разрыва.
      • Свойства функций, непрерывных в промежутке.
      • Непрерывность основных элементарных функций.
      • Непрерывность и разрывы монотонной функции.

      • Асимптотическое поведение функций.
      • Сравнение бесконечно малых функций.
      • Эквивалентные бесконечно малые функции.
      • Главная часть бесконечно малой функции.
      • Сравнение бесконечно больших функций.
      • Асимптоты графика функции.

      • Производная функции ее механический и геометрический смысл.
      • Касательная и нормаль к плоской кривой.
      • Производные основных элементарных функций.
      • Односторонние конечные и бесконечные производные.
      • Дифференцируемость функции.
      • Непрерывность дифференцируемой функции.
      • Правила дифференцирования функций.
      • Производная сложной и обратной функции.
      • Производная функции, заданной параметрически.
      • Дифференцирование неявных функций.

      • Дифференциал и его геометрический смысл.
      • Дифференциал сложной функции.
      • Инвариантность формы записи дифференциала.
      • Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
      • Производные и дифференциалы высших порядков.

      • Основные теоремы дифференциального исчисления.
      • Теорема Лагранжа и формула конечных приращений.
      • Теорема Коши.
      • Правило Бернулли - Лопиталя.

      • Многочлен Тейлора и формула Тейлора.
      • Различные представления остаточного члена формулы Тейлора.
      • Формула Маклорена.
      • Вычисление пределов при помощи формулы Тейлора.
      • Использование формулы Тейлора в приближенных вычислениях.

      • Условия возрастания и убывания функций.
      • Экстремум функции.
      • Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
      • Наибольшее и наименьшее значения функции в промежутке.
      • Условия выпуклости функции.
      • Точки перегиба.
      • Общая схема исследования функции и построение ее графика.
      • Особенности исследования функций, заданных параметрически.

      • Векторная функция скалярного аргумента.
      • Плоские кривые.
      • Кривизна плоской кривой.
      • Эволюта и эвольвента плоской кривой.
      • Кривизна и кручение пространственной кривой.
      • Формулы Френе.

      • Интерполирование и численное дифференцирование.
      • Линейная интерполяция.
      • Квадратичная интерполяция.
      • Интерполяционный многочлен Лагранжа.
      • Интерполяционный многочлен Ньютона.
      • Интерполирование с кратными узлами.
      • Численное дифференцирование.
      • Интерполирование сплайнами.

      • Решение нелинейных уравнений.
      • Отделение корней алгебраических уравнений.
      • Численные методы уточнения значения корня.
      • Метод простой итерации.
      • Метод Ньютона.
      • Комбинированные методы.

      • Функции многих переменных
      • Предел и непрерывность функции многих переменных.
      • Линии и поверхности разрыва.
      • Непрерывность по части переменных.
      • Свойства функций многих переменных, непрерывных на компактах.

      • Частные производные и их геометрическая интерпретация.
      • Необходимые и достаточные условия дифференцируемости ФМП.
      • Дифференцируемость сложной функции.
      • Дифференциал функции многих переменных.

      • Производные и дифференциалы высших порядков.
      • Формула Тейлора.
      • Дифференциалы в приближенных вычислениях.

      • Теоремы о неявной и обратной функциях.

      • Производная по направлению.
      • Градиент.
      • Касательная плоскость и нормаль.
      • Касательная и нормаль к кривой на плоскости.

      • Экстремум функции многих переменных.
      • Необходимое и достаточное условия экстремума.
      • Исследование функций на экстремум.

      • Условный экстремум.
      • Необходимое и достаточное условия условного экстремума.
      • Нахождение наибольшего и наименьшего значений.

      • Численные методы решения систем нелинейных уравнений.
      • Итерационные методы решения.
      • Метод Ньютона.
      • Проблема глобальной сходимости.

      • Интерполирование функций многих переменных.
      • Интерполяционные сплайны первой степени.
      • Билинейные интерполяционные сплайны.
      • Бикубические сплайны двух переменных.
      • Приближение кривых и поверхностей.
    3. Интегральное исчисление
      Интегральное исчисление функций одного действительного переменного
      • Неопределенный интеграл.
      • Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.
      • Интегрирование подстановкой и заменой переменного, интегрирование по частям.
      • Интегрирование рациональных дробей.
      • Методы интегрирования иррациональных выражений.

      • Определенный интеграл.
      • Суммы и интегралы Дарбу.
      • Критерий существования определенного интеграла.
      • Классы интегрируемых функций.
      • Свойства интегрируемых функций.
      • Основные свойства определенного интеграла.
      • Теоремы о среднем значении для определенного интеграла.
      • Определенный интеграл с переменным пределом и его всойства.

      • Несобственные интегралы.
      • Интегралы по бесконечному промежутку и от неограниченных функций, их
      • свойства.
      • Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
      • Признаки сходимости несобственных интегралов.

      • Интегралы, зависящие от параметра.
      • Дифференцирование и интегрирование интегралов по параметру.
      • Равномерная сходимость несобственных интегралов.
      • Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов.
      • Непрерывность и дифференцируемость несобственных интегралов по параметру.
      • Интегрирование несобственных интегралов по параметру.
      • Эйлеровы интегралы.

      • Приложения определенного интеграла.
      • Длина кривой.
      • Площадь плоской фигуры.
      • Объем тела.
      • Площадь поверхности.
      • Вычисление масс и моментов инерции.
      • Статические моменты и координаты центра масс.
      • Работа, энергия, сила давления.

      • Численное интегрирование.
      • Формула трапеций.
      • Формула парабол.
      • Формулы прямоугольников.
      • Использование многочленов высших степеней.
      • Квадратурная формула Гаусса.
      • Оценка погрешности численного интегрирования.
      • Приближенное вычисление несобственных интегралов.
      Интегральное исчисление функции многих переменных
      • Кратные (двойные, тройные и др.) интегралы.
      • Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла.
      • Условия существования кратного интеграла.
      • Классы интегрируемых функций.
      • Свойства кратного интеграла.
      • Теоремы о среднем значении для кратного интеграла.
      • Вычисление кратных интегралов.
      • Криволинейные координаты.
      • Замена переменных в кратном интеграле.
      • Цилиндрические и сферические координаты.
      • Несобственные кратные интегралы.
      • Приложения кратных интегралов.

      • Численное интегрирование.
      • Использование одномерных квадратурных формул.
      • Кубатурные формулы.
      • Многомерные кубатурные формулы.
      • Метод статистических испытаний.
      • Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло.

      • Криволинейные интегралы, их свойства, условия существования и вычисление.
      • Механические приложения криволинейного интеграла первого рода.
      • Формула Грина.
      • Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
      • Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала.
      • Криволинейный интеграл в многосвязной области.

      • Односторонние и двусторонние поверхности в пространстве.
      • Площадь поверхности.
      • Поверхностные интегралы и их приложения.
      • Формула Стокса.
      • Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования в пространстве.
      • Формула Остроградского - Гаусса.

      • Элементы теории поля.
      • Скалярные и векторные поля.
      • Векторные линии.
      • Поток векторного поля и дивергенция.
      • Циркуляция векторного поля и ротор.
      • Простейшие типы векторных полей.
      • Оператор Гамильтона.
      • Правила действий с оператором Гамильтона.
    4. Дифференциальные уравнения
      • Геометрическая интерпретация решения ОДУ.
      • Поле направлений.
      • Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений.
      • Постановка задачи Коши.
      • Интегpальное неpавенство.
      • Теоpема существования и единственности pешения (теоpема Коши).
      • Оценка pазности pешений двух уpавнений.
      • Непpеpывная зависимость pешения от начальных условий и паpаметpа.
      • Изоклины и их использование для пpиближенного постpоения интегpальных кpивых.

      • Дифференциальные уравнения первого порядка.
      • Диффеpенциальные уpавнения с pазделяющимися пеpеменными
      • Одноpодные и квазиодноpодные уpавнения.
      • Уpавнения в полных диффеpенциалах.
      • Интегpиpующий множитель.
      • Линейные диффеpенциальные уpавнения пеpвого поpядка.
      • Уpавнения Беpнулли и Риккати.
      • Особые точки и особые решения ОДУ первого порядка.
      • Уpавнения, не pазpешенные относительно пpоизводной.
      • Особенности составления дифференциальных уравнений в прикладных задачах.
      • Ортогональные и изогональные траектории.

      • Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
      • Задача и теоpема Коши.
      • Частное и общее pешения системы диффеpенциальных уpавнений.
      • Оценка pазности двух pешений.
      • Теоpема Коши о существовании и единственности pешения уpавнения высшего поpядка.
      • Случаи понижения поpядка.

      • Системы линейных дифференциальных уравнений.
      • Опpеделитель Вpонского.
      • Фундаментальная система pешений.
      • Фоpмула Остpогpадского - Лиувилля.
      • Теоремы о стpуктуpе общего pешения одноpодной и неодноpодной систем.
      • Метод ваpиации постоянных.
      • Формула Коши.
      • Система линейных диффеpенциальных уpавнений с постоянными коэффициентами.
      • Хаpактеpистическое уpавнение системы.
      • Нахождение фундаментальной системы pешений в случае pазличных коpней хаpактеpистического уpавнения.
      • Стpуктуpа фундаментальной системы pешений в случае кpатных коpней.

      • Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
      • Сведение к линейной системе.
      • Опpеделитель Вpонского и стpуктуpа общего pешения одноpодного уpавнения.
      • Общее pешение неодноpодного уpавнения.
      • Метод Лагpанжа ваpиации постоянных.
      • Понижение поpядка линейного диффеpенциального уpавнения.
      • Линейные дифференциальные уpавнения с постоянными коэффициентами.
      • Случай pазличных коpней хаpактеpистического уpавнения.
      • Фоpмула сдвига.
      • Случай кpатных коpней характеристического уравнения.
      • Уpавнения Эйлеpа, Лагpанжа, Чебышева.
      • Стpуктуpа частного pешения уpавнения с постоянными коэффициентами и специальной пpавой частью.

      • Первые интегралы.
      • Теоpема о локальном существовании системы пеpвых интегpалов.
      • Понижение поpядка системы диффеpенциальных уpавнений при помощи пеpвых интегpалов.
      • Симметричная форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений.

      • Элементы теории устойчивости.
      • Устойчивость системы линейных диффеpенциальных уpавнений.
      • Теоpемы Ляпунова об устойчивости по пеpвому пpиближению.
      • Функции Ляпунова.
      • Теоpемы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.
      • Теоpемы Четаева и Ляпунова о неустойчивости.

      • Особые точки на фазовой плоскости.
      • Фазовый поpтpет системы.
      • Математическая модель сосуществования двух популяций.

      • Краевые задачи для дифференциального уравнения.
      • Линейная кpаевая задача, сведение ее к задаче Коши.
      • Пpимеpы pешения кpаевой задачи.

      • Приближенные методы решения дифференциальных уравнений.
      • Интегpиpование диффеpенциальных уpавнений при помощи степенных pядов.
      • Метод последовательных пpиближений.
      • Метод ломаных Эйлеpа.
      • Метод Рунге - Кутты.

      • Дифференциальные уравнения первого порядка с частными производными.
      • Линейное дифференциальное уpавнение.
      • Уpавнения хаpактеpистик.
      • Задача Коши.
      • Квазилинейное дифференциальное уpавнение.

      • Задачи математической физики.
      • Классификация дифференциаотных уравнений в частных производных второго
      • порядка.
      • Основные уравнения математической физики.
      • Метод Фурье.

      • Основы метода конечных разностей.
      • Понятие о сеточных методах.
      • Аппроксимация производных конечными разностями.
      • Простейшие разностные схемы.

      • Основные понятия метода конечных элементов и метода граничных элементов.
      • Типы конечных элементов.
      • Граничные интегральные уравнения.
      • Способы аппроксимации функций на границе.
    5. Ряды и элементы функционального анализа
      • Числовые ряды.
      • Необходимый признак сходимости рядов.
      • Свойства сходящихся рядов.
      • Признаки сравнения знакоположительных рядов.
      • Интегральный признак сходимости Коши и признак Даламбера.
      • Радикальный признак Коши.
      • Абсолютная и условная сходимости.
      • Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.
      • Умножение рядов.

      • Функциональные ряды.
      • Сходимость функциональных последовательностей и рядов.
      • Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
      • Свойства равномерно сходящихся рядов.
      • Комплексные степенные ряды.
      • Действительные степенные ряды.
      • Ряд Тейлора.
      • Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
      • Применение рядов в приближенных вычислениях.

      • Ряды Фурье.
      • Ортонормированные системы и ряды Фурье.
      • Комплексная форма записи тригонометрического ряда Фурье.
      • Ряды Фурье по тригонометрической системе.
      • Порядок малости коэффициентов Фурье.
      • Дифференцирование и интегрирование тригонометрических рядов Фурье.
      • Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье на отрезке [-π,π].
      • Сдвиг отрезка разложения.
      • Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье на отрезке [-l,l].
      • Разложение четных и нечетных функций.
      • Разложение функций в ряды Фурье по синусам и по косинусам.
      • Дискретное преобразование Фурье.
      • Быстрое преобразование Фурье.

      • Интеграл Фурье.
      • Представление функций интегралом Фурье.
      • Интеграл Фурье в случае четных и нечетных функций.
      • Комплексная форма интеграла Фурье.
      • Преобразование Фурье.
      • Косинус-преобразование и синус-преобразование Фурье.
      • Свойства преобразования Фурье.

      • Ряды в нормированных пространствах.
      • Нормированные пространства.
      • Банаховы пространства.
      • Подпространства нормированных пространств.
      • Сепарабельные пространства.
      • Сходимость рядов в банаховых пространствах.
      • Банаховы пространства со счетным базисом.
      • Счетные базисы в пространстве непрерывных функций.

      • Ортонормированные системы в гильбертовых пространствах.
      • Гильбертовы пространства.
      • Расстояние до подпространства.
      • Ортогональность.
      • Ортонормированные системы и ряды Фурье.
      • Ортонормированные базисы.
      • Ортогонализация и существование ортогонального базиса.

      • Мера Лебега.
      • Измеримые функции.
      • Интеграл Лебега.
      • Банахово пространство L1 [a,b].
      • Гильбертово пространство L2 [a,b].
      • Тригонометрическая система.
    6. Функции комплексного переменного
      • Комплексная плоскость.
      • Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа.
      • Бесконечно удаленная точка. Сфера Римана.
      • Последовательности и ряды комплексных чисел.
      • Степенные ряды, круг сходимости.
      • Двусторонний степенной ряд.

      • Функции комплексного переменного.
      • Предел и непрерывность функций комплексного переменного.
      • Элементарные функции комплексного переменного.
      • Логарифмическая функция.
      • Обратные тригонометрические функции.

      • Дифференцирование функций комплексного переменного.
      • Производная функции комплексного переменного.
      • Необходимые и достаточные условия дифференцируемости.
      • Правила дифференцирования функций комплексного переменного.
      • Аналитические функции.
      • Геометрический смысл аргумента и модуля производной.
      • Теорема о единственности аналитической функции.
      • Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.
      • Понятие об аналитическом продолжении.

      • Интегрирование функций комплексного переменного.
      • Интегральные теоремы Коши.
      • Независимость интеграла от пути интегрирования.
      • Формула Ньютона - Лейбница.
      • Интегральная формула Коши.
      • Высшие производные аналитической функции.
      • Достаточные условия аналитичности функции.
      • Комплексный потенциал плоского векторного поля.

      • Функциональные ряды на комплексной плоскости.
      • Равномерная сходимость функциональных рядов.
      • Свойства равномерно сходящихся рядов.
      • Разложение функций в ряд Тейлора.
      • Ряд Лорана.
      • Нахождение всевозможных разложений функции по заданным степеням.
      • Связь ряда Лорана с рядом Фурье.

      • Нули и особые точки аналитической функции.
      • Нули аналитической функции.
      • Изолированные особые точки.
      • Бесконечно удаленная точка как особая.
      • Классификация аналитических функций по их особым точкам.
      • Физическое толкование полюсов аналитической функции.

      • Вычеты в изолированных особых точках.
      • Применение вычетов для вычисления интегралов.
      • Логарифмический вычет.

      • Геометрические принципы теории функций комплексного переменного.
      • Конформные отображения и их свойства.
      • Теорема Римана.
      •  
      • Принцип соответствия границ.
      • Принцип максимума модуля функции.
      • Принцип симметрии.
      • Линейное отображение.
      • Дробно линейное отображение.
      • Целая степенная функция.
      • Показательная функция.
      • Функция Жуковского.
      • Тригонометрические и гиперболические функции.
      • Однозначные ветви многозначных обратных функций.
    7. Вариационное исчисление и оптимальное управление
      • Задачи, приводящие к вариационным проблемам.
      • Основные леммы вариационного исчисления.
      • Вариационные задачи с фиксированными границами.
      • Простейшая задача вариационного исчисления.
      • Функционалы от нескольких функций.
      • Функционалы с производными высшего порядка.
      • Функционалы от функций многих переменных.
      • Канонический вид уравнений Эйлера.
      • Вариационные задачи с подвижными границами.
      • Задача с подвижными концами.
      • Задача с подвижными границами.
      • Экстремали с угловыми точками.

      • Задачи на условный экстремум.
      • Основные типы задач на условный экстремум.
      • Необходимые условия в задаче Лагранжа.
      • Необходимые условия в изопериметрической задаче.
      • Некоторые примеры.
      • Принцип взаимности в изопериметрических задачах.
      • Задача Больца и задача Майера.

      • Достаточные условия экстремума.
      • Слабый экстремум.
      • Условие Якоби.
      • Инвариантный интеграл Гильберта.
      • Сильный экстремум.

      • Постановка задачи оптимального управления.
      • Задача Лагранжа в форме Понтрягина.
      • Некоторые задачи с ограничениями в классическом вариационном исчислении.
      • Линейные задачи оптимального управления.

      • Принцип максимума.
      • Задача быстродействия.
      • Линейная задача оптимального быстродействия.
      • Задача синтеза управления.
      • Задача с подвижными концами.
      • Неавтономные системы.
      • Понятие особого управления.

      • Метод динамического программирования.
      • Принцип оптимальности.
      • Уравнение Беллмана.
      • Уравнение Беллмана в задаче быстродействия.
      • Связь метода динамического программирования с принципом максимума.

      • Прямые методы вариационного исчисления.
      • Формулировка вариационных задач.
      • Операторное уравнение.
      • Вариационное уравнение.
      • Примеры построения функционала по вариационному уравнению.
      • Исследование выпуклости функционала.

      • Методы решения вариационных задач.
      • Минимизирующие последовательности.
      • Методы приближенного решения вариационных задач.
      • Собственные значения симметрического оператора.
      • Приближенное решение задачи на собственные значения.

      • Двойственные вариационные задачи.
      • Альтернативные функционалы.
      • Построение альтернативного функционала.
      • Оценка погрешности приближенного решения.

      • Приложения вариационных методов.
      • Колебания струны.
      • Колебания мембраны.
      • Аэродинамическая задача Ньютона.
      • Вопросы устойчивости конструкций.
    8. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы
      • Случайные события.
      • Пространство элементарных исходов.
      • События, действия над ними.
      • Сигма-алгебра событий.

      • Классическое определение вероятности.
      • Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики.
      • Геометрическое определение вероятности.
      • Статистическое определение вероятности.
      • Аксиоматическое определение вероятности.

      • Условная вероятность.
      • Схема Бернулли.
      • Формула умножения вероятностей.
      • Независимые и зависимые события.
      • Формула полной вероятности.
      • Формула Байеса.
      • Схема Бернулли.
      Одномерные случайные величины.
      • Функция распределения случайной величины.
      • Дискретные и непрерывные случайные величины.
      Многомерные случайные величины.
      • Многомерная случайная величина.
      • Совместная функция распределения.
      • Дискретные двумерные случайные величины.
      • Независимые случайные величины.
      • Многомерное нормальное распределение.
      Функции от случайных величин.
      • Примеры функциональной зависимости между случайными величинами.
      • Функции от одномерной случайной величины.
      • Скалярные функции от случайного векторного аргумента.
      • Формула свертки.
      • Векторные функции от случайного векторного аргумента.
      • Линейные преобразования нормально распределенных случайных величин.
      • Метод линеаризации.
      Числовые характеристики случайных величин.
      • Математическое ожидание случайной величины.
      • Математическое ожидание функции от случайной величины.
      • Свойства математического ожидания.
      • Дисперсия.
      • Моменты высших порядков.
      • Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин.
      Условные характеристики случайных величин.
      • Условные распределения.
      • Условные числовые характеристики.

      Предельные теоремы теории вероятностей.
      • Сходимость последовательности случайных величин.
      • Неравенства Чебышева.
      • Закон больших чисел.
      • Характеристическая функция.
      • Центральная предельная теорема.
      Генеральная совокупность.
      • Выборка.
      • Выборочные характеристики.
      • Основные задачи математической статистики.
      • Предварительная обработка результатов эксперимента.
      Точечные оценки.
      • Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки.
      • Понятие достаточных статистик.
      • Методы получения точечных оценок.
      Интервальные оценки и доверительные интервалы.
      • Построение интервальных оценок.
      • Метод доверительных множеств.
      Проверка гипотез о параметрических моделях.
      • Проверка двух простых гипотез.
      • Критерий Неймана --- Пирсона.
      • Определение объема выборки.
      • Сложные параметрические гипотезы.
      • Последовательный критерий отношения правдоподобия
      Проверка непараметрических гипотез.
      • Критерии согласия.
      • Простая и сложная гипотезы.
      • Критерии независимости.
      Основы корреляционного анализа.
      • Исходные понятия.
      • Анализ парных связей.
      Основы регрессионного анализа.
      • Метод наименьших квадратов.
      • Статистический анализ регрессионной модели.
      • Выбор допустимой модели регрессии.
      Основы дисперсионного анализа.
      • Однофакторный дисперсионный анализ.
      • Двухфакторный дисперсионный анализ.
      Случайная функция, случайный процесс и случайная последовательность.
      • Математическое ожидание и ковариационная функция случайного процесса.
      • Стационарные случайные процессы.
      • Нормальные процессы.
      • Процессы с независимыми приращениями.
      • Винеровский процесс.
      • Марковские процессы.
      • Пуассоновский процесс.
      Элементы стохастического анализа.
      • Сходимость в смысле среднего квадратичного (СК-сходимость).
      • Непрерывность случайного процесса.
      • Дифференцируемость случайного процесса.
      • Интегрируемость случайного процесса..
      • Действие линейного оператора на случайный процесс.
      • Эргодические случайные процессы.
      Спектральная теория стационарных случайных процессов.
      • Стационарные случайные процессы с дискретным спектром.
      • Стационарные случайные процессы с непрерывным спектром.
      • Белый шум.
      • Преобразование стационарного случайного процесса при его прохождении через линейную динамическую систему.
      Марковские процессы с дискретными состояниями и цепи Маркова.
      • Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.
      • Процесс гибели --- размножения и циклический процесс.
      Элементы теории массового обслуживания.
      • Простейший поток.
      • Время ожидания и время обслуживания.
      • Основные принципы построения марковских моделей массового обслуживания.
      • Системы массового обслуживания с ожиданием.
      • Стационарные режимы функционирования системы обслуживания.
      Стохастические модели состояния.
      • Случайные возмущения в динамической системе.
      • Линейные стохастические дифференциальные уравнения.
      • Стохастические интегралы и дифференциалы.
    9. Методы конечномерной оптимизации и исследование операций
      • Постановки задач оптимизации и их классификация.
      • Основные численные методы одномерной и многомерной оптимизации, условия их сходимости.
      • Порядок метода.
      • Основные численные методы условной оптимизации.

      • Основы линейного программирования.
      • Задачи, приводящие к задачам линейного программирования.
      • Формы записи задач линейного программирования.
      • Двойственная задача линейного программирования.

      • Симплекс-метод.
      • Основные утверждения линейного программирования.
      • Симплекс-метод при известном допустимом базисном решении.
      • Нахождение допустимого базисного решения.
      • Анализ на чувствительность.

      • Целочисленное программирование.
      • Методы решения задач целочисленного программирования.
      • Метод отсекающих плоскостей (метод Гомори).
      • Метод ветвей и границ.

      • Задачи транспортного типа.
      • Классическая транспортная задача.
      • Транспортная задача с промежуточными пунктами.
      • Задача о назначениях.
      • Венгерский метод решения задачи о назначениях.
      • Задача выбора кратчайшего пути.
      • Симплексный метод решения задач транспортного типа.

      • Марковские модели принятия решений.
      • Принятие решений при конечном и бесконечном горизонтах планирования.
      • Марковская задача принятия решений и метод линейного программирования.

      • Задачи принятия решений в условиях риска и неопределенности.
      • Одноэтапные процедуры принятия решений в условиях риска.
      • Использование экспериментальных данных при принятии решений в условиях риска.
      • Многоэтапные процедуры принятия решений в условиях риска.
      • Одноэтапные процедуры принятия решений в условиях неопределенности.

      • Элементы теории игр.
      • Игры двух участников с нулевой суммой.
      • Решение игр двух участников с нулевой суммой в смешанных стратегиях.
      • Игры двух участников с ненулевой суммой.

      • Основные понятия и этапы имитационного моделирования.
      • Моделирование случайных величин и случайных событий.
      • Имитационное моделирование как вычислительный эксперимент.
      • Построение и эксплуатация имитационных моделей.