Перейти к списку | Аннотация | Содержание
Аннотация
Книга является вторым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете». Знакомит читателя с понятиями производной и дифференциала, c их использованием при исследовании функций одного переменного. Большое внимание уделено геометрическим приложениям дифференциального исчисления и его применению к решению нелинейных уравнений, интерполированию и численному дифференцированию функций. Приведены примеры и задачи физического, механического и технического содержания.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.
Содержание
| Предисловие | ||
| Основные обозначения | ||
| 1. | Производная функции | |
| 1.1. | Вводные замечания | |
| 1.2. | Разностное отношение | |
| 1.3. | Понятие производной | |
| 1.4. | Механический и геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к плоской кривой | |
| 1.5. | Производные основных элементарных функций | |
| 1.6. | Односторонние конечные и бесконечные производные | |
| 1.7. | Дифференцируемость функции. Непрерывность дифференцируемой функции | |
| Вопросы и задачи | ||
| 2. | Правила дифференцирования функций | |
| 2.1. | Дифференцирование и арифметические операции | |
| 2.2. | Производная сложной функции | |
| 2.3. | Производная обратной функции | |
| 2.4. | Производная функции, заданной параметрически | |
| 2.5. | Дифференцирование неявных функций | |
| 2.6. | Основные правила и формулы дифференцирования функций | |
| Вопросы и задачи | ||
| 3. | Дифференциал | |
| 3.1. | Определение дифференциала и его геометрический смысл | |
| 3.2. | Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы записи дифференциала | |
| 3.3. | Использование дифференциала в приближенных вычислениях | |
| 3.4. | Оценка погрешности приближенных вычислений | |
| Вопросы и задачи | ||
| 4. | Производные и дифференциалы высших порядков | |
| 4.1. | Производные высших порядков | |
| 4.2. | Примеры интерпретации производной второго порядка | |
| 4.3. | Формула Лейбница | |
| 4.4. | Производные высших порядков параметрически и неявно заданных функций | |
| 4.5. | Дифференциалы высших порядков | |
| 4.6. | Геометрическое и механическое толкование дифференциала второго порядка | |
| Вопросы и задачи | ||
| 5. | Основные теоремы дифференциального исчисления | |
| 5.1. | Теоремы о нулях производных | |
| 5.2. | Теорема Лагранжа и формула конечных приращений | |
| 5.3. | Теорема Коши | |
| 5.4. | О непрерывности производных | |
| Вопросы и задачи | ||
| 6. | Раскрытие неопределенностей | |
| 6.1. | Раскрытие неопределенности вида [0/0] | |
| 6.2. |
Неопределенность вида [ /] |
|
| 6.3. | Особенности применения правила Бернулли - Лопиталя | |
| 6.4. | Другие виды неопределенностей | |
| Вопросы и задачи | ||
| 7. | Формула Тейлора | |
| 7.1. | Линейное и квадратичное приближения функции | |
| 7.2. | Многочлен Тейлора и формула Тейлора | |
| 7.3. | Различные представления остаточного члена формулы Тейлора | |
| 7.4. | Формула Маклорена | |
| 7.5. | Вычисление пределов | |
| 7.6. | Использование формулы Тейлора в приближенных вычислениях | |
| 7.7. | Обобщенная теорема о среднем значении | |
| Вопросы и задачи | ||
| 8. | Исследование функций | |
| 8.1. | Условия возрастания и убывания функций | |
| 8.2. | Экстремум функции. Необходимые условия существования экстремума | |
| 8.3. | Достаточные условия существования экстремума функции | |
| 8.4. | Условия выпуклости функции | |
| 8.5. | Точки перегиба | |
| 8.6. | Наибольшее и наименьшее значения функции в промежутке | |
| 8.7. | Асимптоты графика функции | |
| 8.8. | Общая схема исследования функции и построение ее графика | |
| 8.9. | Особенности исследования функций, заданных параметрически | |
| Вопросы и задачи | ||
| 9. | Геометрическиеприложениядифференциального исчисления | |
| 9.1. | Векторная функция скалярного аргумента | |
| 9.2. | Понятие кривой | |
| 9.3. | Плоские кривые | |
| 9.4. | Кривизна плоской кривой | |
| 9.5. | Эволюта и эвольвента плоской кривой | |
| 9.6. | Кривизна и кручение пространственной кривой | |
| 9.7. | Примеры плоских кривых | |
| Вопросы и задачи | ||
| 10. Интерполирование и численное дифференцирование | ||
| 10.1. | Табличный способ задания функции | |
| 10.2. | Линейная интерполяция | |
| 10.3. | Квадратичная интерполяция | |
| 10.4. | Интерполяционный многочлен Лагранжа | |
| 10.5. | Интерполяционный многочлен Ньютона | |
| 10.6. | Интерполирование с кратными узлами | |
| 10.7. | Численное дифференцирование | |
| 10.8. | Минимизация погрешности интерполяции | |
| 10.9. | Интерполирование сплайнами | |
| Вопросы и задачи | ||
| 11. Решение нелинейных уравнений | ||
| 11.1. | Постановка задачи | |
| 11.2. | Нули многочленов | |
| 11.3. | Точные решения алгебраических уравнений | |
| 11.4. | Отделение корней алгебраических уравнений | |
| 11.5. | Численные методы уточнения значения корня | |
| 11.6. | Метод простой итерации | |
| 11.7. | Метод Ньютона | |
| 11.8. | Комбинированные методы | |
| 11.9. | Метод Чебышева | |
| Вопросы и задачи | ||
| Список рекомендуемой литературы | ||
| Предметный указатель | ||
| Содержание | ||