Перейти к списку | Аннотация | Содержание
Аннотация
Книга является первым выпуском учебного комплекса «Математика в техническом университете» состоящего из двадцати выпусков. Знакомит читателя с понятиями функции, предела, непрерывности, которые являются основополагающими в математическом анализе и необходимыми на начальном этапе подготовки студента технического университета.
Отражена тесная связь классического математического анализа с разделами современной математики (прежде всего, с теорией множеств и непрерывных отображений в метрических пространствах).
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.
Содержание
| К читателю | ||
| Предисловие | ||
| Краткий исторический очерк | ||
| 1. | Элементы теории множеств | |
| 1.1. | Множества | |
| 1.2. | Подмножества | |
| 1.3. | Множество действительных чисел. Числовая прямая | |
| 1.4. | Операции над множествами | |
| 1.5. | Некоторые основные логические символы | |
| 1.6. | Круги Эйлера | |
| Вопросы и задачи | ||
| 2. | Отображение множеств. Функции | |
| 2.1. | Понятия отображения и функции | |
| 2.2. | Сюръекция, инъекция и биекция | |
| 2.3. | Обратное отображение | |
| 2.4. | Композиция отображений | |
| 2.5. | Произведение множеств. График отображения | |
| 2.6. | Упорядоченные множества. Элементы комбинаторики | |
| 2.7. | Ограниченные множества | |
| Д.2.1. | Мощность множества | |
| Д.2.2. | Неподвижная точка отображения | |
| Вопросы и задачи | ||
| 3. | Действительные функции действительного переменного | |
| 3.1. | Функция и ее график | |
| 3.2. | Основные способы задания функции | |
| 3.3. | Сложная и взаимно обратные функции | |
| 3.4. | Некоторые свойства функций | |
| 3.5. | Основные элементарные функции | |
| 3.6. | Некоторые элементарные функции | |
| Вопросы и задачи | ||
| 4. | Основные законы композиции и алгебраические структуры | |
| 4.1. | Законы композиции | |
| 4.2. | Основные алгебраические структуры | |
| 4.3. | Поле комплексных чисел | |
| 4.4. | Кольцо многочленов | |
| 4.5. | Группа подстановок | |
| Вопросы и задачи | ||
| 5. | Непрерывные отображения метрических пространств | |
| 5.1. | Понятие метрического пространства | |
| 5.2. | Окрестности в метрическом пространстве | |
| 5.3. | Характерные точки множеств | |
| 5.4. | Замкнутые множества | |
| 5.5. | Компактные множества | |
| 5.6. | Определение непрерывного отображения | |
| 5.7. | Свойства непрерывного отображения множеств | |
| 5.8. | Линейно связные множества | |
| 5.9. | Равномерная непрерывность | |
| Вопросы и задачи | ||
| 6. | Числовые последовательности | |
| 6.1. | Переменные величины | |
| 6.2. | Понятие числовой последовательности | |
| 6.3. | Предел последовательности | |
| 6.4. | Свойства сходящихся последовательностей | |
| 6.5. | Признаки существования предела последовательности | |
| 6.6. | Число e | |
| 6.7. | Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности | |
| Д.6.1. | Предельные точки последовательности | |
| Д.6.2. | Доказательство признака Вейерштрасса и критерия Коши | |
| Вопросы и задачи | ||
| 7. | Предел функции в точке | |
| 7.1. | Определение предела функции | |
| 7.2. | Односторонние пределы | |
| 7.3. | Признаки существования предела | |
| 7.4. | Свойства функций, имеющих конечный предел | |
| 7.5. | Бесконечно малые и бесконечно большие функции | |
| 7.6. | Предел сложной функции | |
| 7.7. | Два замечательных предела | |
| 7.8. | Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции | |
| Вопросы и задачи | ||
| 8. | Теория пределов | |
| 8.1. | Понятие предела отображения | |
| 8.2. | Некоторые свойства предела отображения | |
| 8.3. | Пределы действительных функций | |
| 8.4. | Признаки существования предела действительной функции | |
| Д.8.1. | Полное метрическое пространство | |
| Д.8.2. | Принцип сжимающих отображений | |
| Вопросы и задачи | ||
| 9. | Непрерывные функции | |
| 9.1. | Непрерывность функции в точке | |
| 9.2. | Свойства функций, непрерывных в точке | |
| 9.3. | Односторонняя непрерывность. Точки разрыва | |
| 9.4. | Свойства функций, непрерывных в промежутке | |
| 9.5. | Непрерывность основных элементарных функций | |
| 9.6. | О вычислении нуля функции, непрерывной на отрезке | |
| Д.9.1. | Непрерывность и разрывы монотонной функции | |
| Д.9.2. | Доказательство теорем о функциях, непрерывных в промежутке | |
| Вопросы и задачи | ||
| 10. Асимптотическое поведение | ||
| 10.1. | Сравнение бесконечно малых функций | |
| 10.2. | Эквивалентные бесконечно малые функции | |
| 10.3. | Главная часть бесконечно малой функции | |
| 10.4. | Сравнение бесконечно больших функций | |
| 10.5. | Наклонная асимптота графика функции | |
| 10.6. | Общие рекомендации по вычислению пределов | |
| Д.10.1. | Асимптотические многочлены | |
| Д.10.2. | Об использовании символов O и o | |
| Вопросы и задачи | ||
| Список рекомендуемой литературы | ||
| Предметный указатель | ||