Перейти к списку | Аннотация | Содержание
Аннотация
Книга посвящена одному из важнейших разделов программы математической подготовки современного инженера - выпускника технического университета. Наряду с изложением основ классического вариационного исчисления и элементов теории оптимального управления в учебнике рассмотрены прямые методы вариационного исчисления и методы преобразования вариационных задач, приводящие, в частности, к двойственным вариационным принципам.
Книгу завершают примеры из физики, механики и техники, в которых показана эффективность методов вариационного исчисления и оптимального управления для решения прикладных задач.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов и аспирантов технических университетов, а также для инженеров и научных работников, специализирующихся в области прикладной математики и математического моделирования.
Содержание
| Предисловие | |||
| Основные обозначения | |||
| Часть I. Классическое вариационное исчисление | |||
| 1. | Основные понятия | ||
| 1.1. | Задачи, приводящие к вариационным проблемам | ||
| 1.2. | Основные определения | ||
| 1.3. | Основные леммы вариационного исчисления | ||
| 1.4. | Некоторые замечания о задачах вариационного исчисления | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 2. | Вариационные задачи с фиксированными границами | ||
| 2.1. | Простейшая задача вариационного исчисления | ||
| 2.2. | Функционалы от нескольких функций | ||
| 2.3. | Функционалы с производными высшего порядка | ||
| 2.4. | Функционалы от функций многих переменных | ||
| 2.5. | Канонический вид уравнений Эйлера | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 3. | Вариационные задачи с подвижными границами | ||
| 3.1. | Задача с подвижными концами | ||
| 3.2. | Задача с подвижными границами | ||
| 3.3. | Экстремали с угловыми точками | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 4. | Задачи на условный экстремум | ||
| 4.1. | Основные типы задач на условный экстремум | ||
| 4.2. | Необходимые условия в задаче Лагранжа | ||
| 4.3. | Необходимые условия в изопериметрической задаче | ||
| 4.4. | Некоторые примеры | ||
| 4.5. | Принцип взаимности в изопериметрических задачах | ||
| 4.6. | Задача Больца и задача Майера | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 5. | Достаточные условия экстремума | ||
| 5.1. | Слабый экстремум | ||
| 5.2. | Условие Якоби | ||
| 5.3. | Инвариантный интеграл Гильберта | ||
| 5.4. | Сильный экстремум | ||
| Вопросы и задачи | |||
| Часть II. Оптимальное управление | |||
| 6. | Вариационные методы в оптимальном управлении | ||
| 6.1. | Постановка задачи оптимального управления | ||
| 6.2. | Задача Лагранжа в форме Понтрягина | ||
| 6.3. | Некоторые задачи с ограничениями в классическом вариационном исчислении | ||
| 6.4. | Линейные задачи оптимального управления | ||
| 6.5. | Обсуждение методов вариационного исчисления | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 7. | Принцип максимума | ||
| 7.1. | Автономная система управления. Формулировка принципа максимума | ||
| 7.2. | Обсуждение принципа максимума | ||
| 7.3. | Задача быстродействия | ||
| 7.4. | Линейная задача оптимального быстродействия | ||
| 7.5. | Задача синтеза управления | ||
| 7.6. | Задача с подвижными концами | ||
| 7.7. | Неавтономные системы | ||
| 7.8. | Понятие особого управления | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 8. | Метод динамического программирования | ||
| 8.1. | Принцип оптимальности | ||
| 8.2. | Уравнение Беллмана | ||
| 8.3. | Уравнение Беллмана в задаче быстродействия | ||
| 8.4. | Связь метода динамического программирования с принципом максимума | ||
| Д.8.1. | Оптимальная стабилизация | ||
| Вопросы и задачи | |||
| Часть III. Прямые методы вариационного исчисления | |||
| 9. | Формулировка вариационных задач | ||
| 9.1. | Операторное уравнение | ||
| 9.2. | Вариационное уравнение | ||
| 9.3. | Примеры построения функционала по вариационному уравнению | ||
| 9.4. | Исследование выпуклости функционала | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 10. Методы решения вариационных задач | |||
| 10.1. | Минимизирующие последовательности | ||
| 10.2. | Методы приближенного решения вариационных задач | ||
| 10.3. | Собственные значения симметрического оператора | ||
| 10.4. | Приближенное решение задачи на собственные значения | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 11. Двойственные вариационные задачи | |||
| 11.1. | Альтернативные функционалы | ||
| 11.2. | Построение альтернативного функционала | ||
| 11.3. | Оценка погрешности приближенного решения | ||
| Вопросы и задачи | |||
| Часть IV. Приложения вариационных методов | |||
| 12. Принцип Гамильтона | |||
| 13. Колебания струны | |||
| 14. Колебания мембраны | |||
| 15. Уравнения движения идеальной жидкости | |||
| 16. Аэродинамическая задача Ньютона | |||
| 17. Вопросы устойчивости конструкций | |||
| 18. Вариационные принципы Лагранжа, Рейсснера и Кастильяно | |||
| 19. Вариационные принципы термоупругости | |||
| 20. Двусторонние оценки в теплопроводности | |||
| Список рекомендуемой литературы | |||
| Предметный указатель | |||