Перейти к списку | Аннотация | Содержание
Аннотация
Книга является девятым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете» и знакомит читателя с основными понятиями теории числовых и функциональных рядов. В книге представлены степенные ряды, ряды Тейлора, тригонометрические ряды Фурье и их приложения, а также интегралы Фурье. Изложена теория рядов в банаховых и гильбертовых пространствах, и в объеме, необходимом для ее изучения, рассмотрены вопросы функционального анализа, теории меры и интеграла Лебега. Теоретический материал сопровождается подробно разобранными примерами, рисунками и большим количеством задач разного уровня сложности.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Учебник может быть полезен преподавателям и аспирантам.
Содержание
| Предисловие | ||
| Основные обозначения | ||
| 1. | Числовые ряды | |
| 1.1. | Основные определения | |
| 1.2. | Необходимый признак сходимости рядов | |
| 1.3. | Свойства сходящихся рядов | |
| 1.4. | Знакоположительные ряды. Признаки сравнения | |
| 1.5. | Интегральный признак сходимости Коши | |
| 1.6. | Признак Даламбера | |
| 1.7. | Радикальный признак Коши | |
| 1.8. | Абсолютная и условная сходимости | |
| 1.9. | Знакочередующиеся ряды | |
| 1.10. | Умножение рядов | |
| 1.11. | Оценки сумм рядов | |
| Д.1.1. | Доказательство теоремы Римана об условно сходящихся рядах | |
| Д.1.2. | Признаки сходимости Дирихле и Абеля | |
| Вопросы и задачи | ||
| 2. | Функциональные ряды | |
| 2.1. | Сходимость функциональных последовательностей и рядов | |
| 2.2. | Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов | |
| 2.3. | Свойства равномерно сходящихся рядов | |
| 2.4. | Комплексные степенные ряды | |
| 2.5. | Действительные степенные ряды | |
| 2.6. | Ряд Тейлора | |
| 2.7. | Разложение элементарных функций в ряд Тейлора | |
| 2.8. | Применение рядов в приближенных вычислениях | |
| 2.9. | Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью рядов | |
| Д.2.1. | Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме | |
| Вопросы и задачи | ||
| 3. | Ряды Фурье | |
| 3.1. | Ортонормированные системы и ряды Фурье | |
| 3.2. | Комплексная форма записи тригонометрического ряда Фурье | |
| 3.3. | Ряды Фурье по тригонометрической системе | |
| 3.4. | О порядке малости коэффициентов Фурье | |
| 3.5. | Дифференцирование и интегрирование тригонометрических рядов Фурье | |
| 3.6. |
Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье на отрезке [- , ] |
|
| 3.7. | Сдвиг отрезка разложения | |
| 3.8. | Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье на отрезке [ -l, l] | |
| 3.9. | Разложение четных и нечетных функций | |
| 3.10. | Разложение функций в ряды Фурье по синусам и по косинусам | |
| 3.11. | Вычисление сумм числовых рядов с помощью рядов Фурье | |
| 3.12. | Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье | |
| Д.3.1. | Доказательство леммы Римана для определенных интегралов | |
| Д.3.2. | О достаточных признаках сходимости ряда Фурье | |
| Вопросы и задачи | ||
| 4. | Интеграл Фурье | |
| 4.1. | Определение интеграла Фурье | |
| 4.2. | Представление функций интегралом Фурье | |
| 4.3. | Интеграл Фурье в случае четных и нечетных функций | |
| 4.4. | Комплексная форма интеграла Фурье | |
| 4.5. | Преобразование Фурье | |
| 4.6. | Косинус-преобразование и синус-преобразование Фурье | |
| 4.7. | Свойства преобразования Фурье | |
| Д.4.1. | Некоторые свойства несобственных интегралов с параметрами | |
| Вопросы и задачи | ||
| 5. | Ряды в нормированных пространствах | |
| 5.1. | Нормированные пространства | |
| 5.2. | Банаховы пространства | |
| 5.3. | Подпространства нормированных пространств | |
| 5.4. | Сепарабельные пространства | |
| 5.5. | Сходимость рядов в банаховых пространствах | |
| 5.6. | Банаховы пространства со счетным базисом | |
| 5.7. | Счетные базисы в пространстве непрерывных функций | |
| Д.5.1. | Неравенства Минковского и Гельдера | |
| Вопросы и задачи | ||
| 6. | Ортонормированные системы в гильбертовых пространствах | |
| 6.1. | Гильбертовы пространства | |
| 6.2. | Расстояние до подпространства | |
| 6.3. | Ортогональность | |
| 6.4. | Ортонормированные системы и ряды Фурье | |
| 6.5. | Ортонормированные базисы | |
| 6.6. | Ортогонализация и существование ортогонального базиса | |
| 6.7. | Изоморфность гильбертовых сепарабельных пространств | |
| Вопросы и задачи | ||
| 7. | Ряды по ортогональным системам в L2[a, b] | |
| 7.1. | Мера Лебега | |
| 7.2. | Измеримые функции | |
| 7.3. | Интеграл Лебега | |
| 7.4. | Банахово пространство L1[a, b] | |
| 7.5. | Гильбертово пространство L2[a, b] | |
| 7.6. | Тригонометрическая система | |
| 7.7. | Многочлены Лежандра | |
| 7.8. | Многочлены Чебышева | |
| 7.9. | Система Хаара | |
| 7.10. | Системы Радемахера и Уолша | |
| Вопросы и задачи | ||
| Список рекомендуемой литературы | ||
| Предметный указатель | ||