Перейти к списку | Аннотация | Содержание
Аннотация
Книга является четвертым выпуском учебного комплекса «Математика в техническом университете» и содержит изложение базового курса по линейной алгебре. Дополнительно включены основные понятия тензорной алгебры и итерационные методы численного решения систем линейных алгебраических уравнений. Материал изложен в объеме, необходимом для подготовки студента технического университета.
Теоретический материал изложен с применением методов линейной и матричной алгебры и иллюстрирован разбором примеров и задач. В конце каждой главы приведены вопросы и задачи для самостоятельного решения.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.
Содержание
| Предисловие | ||
| Основные обозначения | ||
| Введение | ||
| 1. | Линейные пространства | |
| 1.1. | Определение линейного пространства | |
| 1.2. | Свойства линейного пространства | |
| 1.3. | Линейная зависимость | |
| 1.4. | Свойства систем векторов | |
| 1.5. | Базис линейного пространства | |
| 1.6. | Линейные операции в координатной и матричной форме | |
| 1.7. | Размерность линейного пространства | |
| 1.8. | Преобразование координат вектора при замене базиса | |
| Д.1.1. | Линейное пространство над полем P | |
| Вопросы и задачи | ||
| 2. | Линейные подпространства | |
| 2.1. | Определение и примеры | |
| 2.2. | Пересечение и сумма линейных подпространств | |
| 2.3. | Прямая сумма линейных подпространств | |
| 2.4. | Размерность линейных подпространств | |
| 2.5. | Ранг системы векторов | |
| 2.6. | Линейные оболочки и системы уравнений | |
| 2.7. | Прямое дополнение | |
| Вопросы и задачи | ||
| 3. | Евклидовы пространства | |
| 3.1. | Определение евклидова пространства | |
| 3.2. | Неравенство Коши - Буняковского | |
| 3.3. | Линейные нормированные пространства | |
| 3.4. | Угол между векторами | |
| 3.5. | Ортогональные системы векторов | |
| 3.6. | Ортогональные и ортонормированные базисы | |
| 3.7. | Процесс ортогонализации Грама - Шмидта | |
| 3.8. | Вычисления в ортонормированном базисе | |
| 3.9. | Ортогональное дополнение | |
| Д.3.1. | Нормы матриц | |
| Д.3.2. | Метод наименьших квадратов | |
| Д.3.3. | Псевдорешения и псевдообратная матрица | |
| Вопросы и задачи | ||
| 4. | Линейные операторы | |
| 4.1. | Определение и примеры линейных операторов | |
| 4.2. | Изоморфизм линейных пространств | |
| 4.3. | Матрица линейного оператора | |
| 4.4. | Преобразование матрицы линейного оператора | |
| 4.5. | Произведение линейных операторов | |
| 4.6. | Линейные пространства линейных операторов | |
| Вопросы и задачи | ||
| 5. | Собственные векторы и собственные значения | |
| 5.1. | Характеристическое уравнение матрицы | |
| 5.2. | Характеристическое уравнение линейного оператора | |
| 5.3. | Собственные векторы и собственные значения | |
| 5.4. | Вычисление собственных значений и собственных векторов | |
| 5.5. | Свойства собственных векторов | |
| Д.5.1. | Жорданова нормальная форма | |
| Вопросы и задачи | ||
| 6. | Самосопряженные операторы | |
| 6.1. | Сопряженный оператор | |
| 6.2. | Самосопряженные операторы и их матрицы | |
| 6.3. | Собственные векторы самосопряженного оператора | |
| Д.6.1. | Инвариантные подпространства самосопряженного оператора | |
| Вопросы и задачи | ||
| 7. | Ортогональные матрицы и операторы | |
| 7.1. | Ортогональные матрицы и их свойства | |
| 7.2. | Ортогональные операторы | |
| 7.3. | Матрицы перехода в евклидовом пространстве | |
| 7.4. | Приведение симметрической матрицы к диагональному виду | |
| Вопросы и задачи | ||
| 8. | Квадратичные формы | |
| 8.1. | Определение квадратичной формы | |
| 8.2. | Преобразование квадратичных форм | |
| 8.3. | Квадратичные формы канонического вида | |
| 8.4. | Ортогональные преобразования квадратичных форм | |
| 8.5. | Закон инерции | |
| 8.6. | Критерий Сильвестра | |
| Д.8.1. | Билинейные формы | |
| Вопросы и задачи | ||
| 9. | Кривые и поверхности второго порядка | |
| 9.1. | Поверхности второго порядка | |
| 9.2. | Изменение системы координат | |
| 9.3. | Упрощение уравнения поверхности второго порядка | |
| 9.4. | Примеры | |
| 9.5. | Классификация кривых второго порядка | |
| 9.6. | Классификация поверхностей второго порядка в пространстве | |
| Вопросы и задачи | ||
| 10. Элементы тензорной алгебры | ||
| 10.1. | Сопряженное пространство | |
| 10.2. | Полилинейные формы | |
| 10.3. | Тензоры | |
| 10.4. | Операции c тензорами | |
| Вопросы и задачи | ||
| 11. Итерационные методы | ||
| 11.1. | Обусловленность квадратных матриц | |
| 11.2. | QR-разложение. Сингулярное разложение | |
| 11.3. | Описание итерационных алгоритмов | |
| 11.4. | Сходимость итерационных методов | |
| 11.5. | Скорость сходимости стационарных итерационных методов | |
| Вопросы и задачи | ||
| Список рекомендуемой литературы | ||
| Предметный указатель | ||