Алгебра
Аннотация к учебному плану каф. ФН-2
Объем 170 часов
Семестр 2 – экзамен
Семестр 3 – зачет
Материал курса алгебры является важнейшей частью базовой подготовки специалиста по прикладной математике. Целью является формирование у будущих специалистов твердых теоретических знаний в области современной алгебры, необходимых для использования в других математических дисциплинах, а также в решении различных прикладных задач. Содержание дисциплины базируется на курсе аналитической геометрии, который читается в первом семестре. Также используются некоторые сведения из курса математического анализа.
Линейная алгебра. Линейные пространства, базис и размерность. Линейные подпространства, прямое дополнение. Евклидовы пространства, неравенство Коши — Буняковского, норма, процесс ортогонализации Грама — Шмидта. Псевдорешения и псевдообратная матрица. Линейные операторы, матрица линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Самосопряженные и ортогональные операторы. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Критерий Сильвестра. Классификация кривых и поверхностей второго порядка. Элементы тензорной алгебры. Численные методы линейной алгебры, метод Гаусса.
Общая алгебра. Множества и отношения. Операции над множествами. Мощность множества. Упорядоченные множества, теорема о неподвижной точке. Группы, кольца и поля. Конечные группы, теорема Лагранжа. Гомоморфизмы. Факторизация. Модули и алгебры. Кольцо многочленов и теория делимости. Полукольца и булевы алгебры. Элементы теории графов.
Самостоятельная работа общим объемом 51 час включает 3 домашних задания (два во 2-м семестре, 10 и 6 часов, одно в 3-м семестре объемом 9 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов
Аннотация к учебному плану каф. ФН-2
Объем 238 часов
Семестр 4 – зачет
Семестр 5 – экзамен
Основная цель учебной дисциплины — углубление математической подготовки студентов специальности “Прикладная математика”, направленное на формирование твердых теоретических знаний и практических навыков в области теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики.
Учебная дисциплина удовлетворяет требованиям, установленным Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки бакалавра 511200 — Математика, прикладная математика и по направлению подготовки дипломированного специалиста (инженера-математика) 657100 — Прикладная математика.
Теория вероятностей. Основные понятия. Алгебра элементарных событий, вероятность. Условная вероятность. Формула полной вероятности и формула Байеса.Схема Бернулли. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность распределения. Стандартные распределения. Случайные векторы, функция распределения и плотность распределения случайного вектора. Независимые случайные величины. Функции случайных величин. Числовые характеристики случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции). Условные законы распределения и условные числовые характеристики случайных величин. Закон больших чисел. Неравенства Чебышева. Центральная предельная теорема.
Случайные процессы. Случайная функция, случайный процесс и случайная последовательность. Законы распределения и характеристики случайного процесса. Стохастически эквивалентные случайные процессы. Основные типы случайных процессов. Процессы второго порядка и сходимость в смысле среднего квадратичного. Предел случайного процесса и предел последовательности случайных процессов. Непрерывность случайных процессов. Дифференцирование случайных процессов. Интегрирование случайных процессов. Элементы спектральной теории случайных процессов. Цепи Маркова.
Математическая статистика. Основные понятия математической статистики. Точечные оценки. Несмещенность, состоятельность, эффективность. Метод максимального правдоподобия. Интервальные оценки. Проверка статистических гипотез. Параметрические и непараметрические гипотезы. Анализ зависимостей между переменными величинами. Элементы корреляционного анализа. Элементы регрессионного анализа. Метод наименьших квадратов.
Самостоятельная работа студентов общим объемом 68 часов включает два домашних задания и четыре контрольные работы (две контрольные работы и домашнее задание объемом 10 часов в 4-м семестре; две контрольные работы и домашнее задание объемом 12 часов в 5-м семестре), а также самостоятельную проработку теоретических вопросов курса.
Высшая математика — спецглавы (методы оптимизации)
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-1
Объем 68 часов
Семестр 5 – зачет
Данная дисциплина относится к спецглавам высшей математики и включает методы оптимизации. Она базируется на разделах общего курса высшей математики, читаемых студентам факультета ИУ на 1–3 семестрах.
Изучив курс, студент должен овладеть основными идеями и методами оптимизации, которые существенно используются при разработке и проектировании новой техники. Материал учебного курса используется в ряде специальных дисциплин, изучаемых студентами на профилирующей кафедре.
Одномерная оптимизация. Прямые методы поиска минимума унимодальной функции одного переменного (методы “поразрядного” поиска, “золотого сечения”, квадратичной интерполяции). Методы минимизации дифференцируемой функции одной переменной (методы “бисекции”, Ньютона и модификации метода Ньютона). Методы поиска глобального экстремума неунимодальных функций.
Многомерная оптимизация. Прямые методы поиска. Методы поиска с использованием производных. Метод Ньютона и его модификации. Квазиньютоновские методы. Методы сопряженных направлений. Общая стратегия поиска. Метод Флетчера — Ривса (сопряженных градиентов). Критерии окончания. Особенности численной реализации. Методы минимизации в задачах с ограничениями. Метод множителей Лагранжа. Общая задача нелинейного программирования. Задача выпуклого программирования. Методы штрафных и барьерных функций. Методы проекции градиента, приведенного градиента, условного градиента. Метод проекции точки на множество. Методы возможных направлений. Метод Зойтендейка..
Элементы линейного программирования. Общая, каноническая и основная задачи линейного программирования. Графическое решение задачи линейного программирования. Симплекс-метод. Выбор начальной точки. Основы теории двойственности в линейном программировании. Прямо-двойственная задача.
Самостоятельная работа студентов общим объемом 17 часов включает одно домашнее задание объемом 12 часов и самостоятельную проработку теоретических вопросов курса.
Вычислительная математика
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-3
Объем – 51 час
Семестр 6 – зачет
Учебный курс включает основы вычислительной математики. Материал курса базируется на общем курсе высшей математики, читаемом на 1–2 семестрах. В результате изучения курса студент должен получить представление о численных методах, применяемых для решения прикладных задач, и получить навыки реализации этих методов с помощью вычислительной техники.
Вопросы точности вычислений. Абсолютная и относительная погрешность. Машинная арифметика. Корректность и обусловленность вычислительной задачи. Анализ ошибок.
Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи, ее обусловленность. Методы дихотомии, простой итерации, Ньютона.
Решение систем уравнений. Нормы векторов и матриц. Постановка задачи и ее обусловленность. Метод Гаусса и его модификации. Обращение матрицы и вычисление определителей.LU-разложение. Метод Холецкого. Метод прогонки. QR-разложение. Методы вращений и отражений. Итерационные методы. Метод простой итерации. Метод Зейделя. Решение систем нелинейных уравнений. Метод простой итерации. Метод Ньютона.
Одномерная и многомерная оптимизация. Постановка и обусловленность задачи. Метод дихотомии, методы Фибоначчи и золотого сечения. Метод Ньютона. Задача безусловной минимизации функции многих переменных. Методы спуска. Метод Ньютона.
Самостоятельная работа студентов общим объемом 17 часов включает одно домашнее задание объемом 12 часов и самостоятельную проработку теоретических вопросов курса.
Вычислительная математика
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-6
Объем – 85 часов
Семестр 6 – зачет
Целью учебной дисциплины является углубление математической подготовки студентов специальности 220100 — “Вычислительные машины, комплексы, системы и сети”. Она включает основы вычислительной математики, играющей важную роль в математическом моделировании. Материал курса базируется на общем курсе высшей математики, читаемом на 1–2 семестрах. Изучение современных численных методов — важная составная часть подготовки инженера, позволяющая ему не только разработать математическую модель изучаемого процесса или явления, но и провести по этой модели численные расчеты с привлечением современных вычислительных технологий.
Предмет вычислительной математики. Математические модели и вычислительные алгоритмы. Особенности использования вычислительной техники в современных научных исследованиях. Элементы теории погрешностей.
Интерполяция и приближение. Постановка задачи приближения функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяционная формула Ньютона. Многочлены Чебышева. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье. Наилучшее равномерное приближение. Интерполяция и приближение сплайнами. Численное дифференцирование. Многомерная интерполяция. Сплайн-интерполяция. Приближение кривых и поверхностей.
Численное дифференцирование и интегрирование. Численное дифференцирование. Простейшие квадратурные формулы. Оценка погрешности. Ортогональные многочлены и квадратурные формулы Гаусса. Вычисление несобственных интегралов.
Численные методы линейной алгебры. Прямые и итерационные методы решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса и метод прогонки. Мультипликативные разложения. Задачи на собственные значения и метод вращения.
Численное решение нелинейных уравнений (6 ч.). Метод простой итерации. Метод Ньютона и метод секущих. Методы, основанные на интерполяции. Проблема локализации корней. Методы решения систем нелинейных уравнений.
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. Методы Эйлера и Рунге — Кутты. Жесткие задачи для дифференциальных уравнений. Численное интегрирование краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Конечно-разностные методы.
Самостоятельная работа студентов общим объемом 17 часов включает проработку лекционного материала и разработку алгоритмов и составление программ к лабораторным работам.
Вычислительная математика
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-9
Объем – 170 часов
Семестр 1 – зачет
Семестр 2 – зачет
Учебный курс включает основы вычислительной математики. Материал курса базируется на общем курсе высшей математики, читаемом на 1 и 2 семестрах. В результате изучения курса студент должен получить представление о численных методах, применяемых для решения прикладных задач, и получить навыки реализации этих методов с помощью вычислительной техники.
Предмет вычислительной математики. Математические модели и вычислительные алгоритмы. Элементы теории погрешностей. Принцип включения-выключения. Прогрессии. Числа Фибоначчи. Принцип Дирихле. Перестановки и сочетания. Рекуррентные соотношения. Основная теорема рекуррентных соотношений.
Интерполяция и приближение. Постановка задачи приближения функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяция с кратными узлами. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона. Уравнения в конечных разностях. Погрешность интерполяционных формул. Интерполяционные сплайны. Использование формулы Тейлора. Вычисление элементарных и специальных функций. Многомерные интерполяционные сплайны первой степени. Кубические и бикубические сплайны. Приближение кривых и поверхностей.
Численное дифференцирование и интегрирование. Построение формул численного дифференцирования. Погрешность формул численного дифференцирования. Формула Симпсона. Формулы Ньютона — Котеса и оценки их погрешности. Формулы Гаусса. Практическая оценка погрешности квадратурных формул. Правило Рунге.
Численное решение нелинейных уравнений. Метод простой итерации. Метод Ньютона и метод секущих. Методы на основе интерполяции. Проблема локализации корней.
Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса и метод прогонки. Мультипликативные разложения. Метод Холецкого (квадратного корня). Общая схема итерационных методов. Метод простой итерации. Методы Якоби и Зейделя. Методы верхней и нижней релаксации. Задача на собственные значения и метод вращения.
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. Методы Эйлера и Рунге — Кутты. Жесткие задачи для дифференциальных уравнений. Численное интегрирование краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Конечно-разностные методы.
Самостоятельная работа общим объемом 51 час включает одно домашнее задание (в 1-м семестре объемом 12 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Дискретная математика
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-3
Объем – 102 часа
Семестр 5 – экзамен
Учебный курс относится к спецглавам высшей математики и включает основные разделы дискретной математики: элементы теории множеств, алгебраические системы, булевы функции, основные понятия теории графов и теории формальных языков. Материал курса основывается на разделах общего курса высшей математики, читаемых в 1-4 семестрах.
Элементы теории множеств и алгебраические системы. Множества и операции над ними . Характеристическая функция множества. Понятие отображения. Обратное отображение и суперпозиция отображений. Конечные, счетные, несчетные и континуальные множества. Мощность множества. Бинарные отношения и их свойства. Факторизация множеств. Универсальные алгебры. Изоморфизмы и гомоморфизмы. Полугруппы и группы. Кольца и поля. Структуры и булевы алгебры.
Булевы функции. Понятие булевой функции и способы ее задания. Существенные и фиктивные переменные булевых функций. Отношение равенства и операция суперпозиции булевых функций. Понятие формулы над базисом функций. Реализация булевых функций формулами. Понятие двойственной булевой функции. Теорема о суперпозиции двойственных функций. Принцип двойственности.
Дизъюнктивные (ДНФ) и конъюнктивные (КНФ) нормальные формы. Совершенные ДНФ и КНФ. Теорема о разложении булевой функции по переменным. Представление булевых функций ДНФ и КНФ. Полиномы Жегалкина и реализация с помощью их булевых функций. Сокращенная ДНФ. Методы Блейка и Нельсона. Тупиковая и минимальная ДНФ. Задача минимизации булевых функций. Ядро функции. ДНФ Квайна. Карта Карно. Полнота системы и замкнутость класса булевых функций. Важнейшие замкнутые классы. Теорема Поста о полноте.
Схемы. Контактные схемы. Функция проводимости. Синтез и анализ контактных схем. Схемы из функциональных элементов. Синтез сумматора.
Основные понятия теории графов. Неориентированные и ориентированные псевдографы, мультиграфы и графы. Маршруты цепи и циклы. Пути и контуры.
Языки и грамматики. Конечные автоматы. Понятия алфавита, слова и языка. Операции над языками. Регулярные языки. Понятие грамматики. Язык, порожденной грамматикой. Классификация грамматик и языков. Конечные детерминированные автоматы с выходом. Задача минимизации автоматов. Конечные автоматы без выхода. Язык, представимый таким автоматом. Конечный детерминированный автомат без выхода. Детерминизация. Теорема Клини о представлении регулярных языков конечными автоматами без выхода. Представление регулярных языков леволинейными грамматиками.
Самостоятельная работа общим объемом 34 часа включает два домашних задания (объемом по 10 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Дискретная математика
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-4
Объем – 68 часов
Семестр 9 – экзамен
Курс дискретной математики базируется на разделах общего курса высшей математики, читаемых на 1, 2 и 3 семестрах. Этот курс является важнейшей частью подготовки студентов приборостроительных специальностей, так как является основой современных информационных технологий. Он используется в ряде специальных дисциплин.
Теория множеств и высшая алгебра. Множества, операции над множествами, отображения, бинарные отношения. Мощность множества. Алгебраические системы, полугруппы, группы, кольца, поля, булевы кольца, булевы алгебры.
Булевы функции. Булевы функции, отношение равенства, формулы. СДНФ, СКНФ, полиномы Жегалкина. Задача о минимизации ДНФ, сокращенные и тупиковые ДНФ, алгоритм Блейка, алгоритмы Квайна и Квайна — МакКлоски, карты Карно. Минимизация не полностью определенных функций. Минимизация системы булевых функций. Контактные схемы, метод каскадов. Замкнутые классы и полнота, теорема Поста. Схемы на функциональных элементах.
Элементы теории графов. Графы, изоморфизмы графов, подграфы, пути, циклы, остовы. Поиск в ширину и поиск в глубину. Матричная теорема Кирхгофа. Графы с весами. Задача о поиске остова наименьшего веса, алгоритмы Краскала и Прима. Задача о кратчайшем пути. Алгоритм Прима. Эйлеровы и гамильтоновы графы.
Языки и автоматы. Конечные детерминированные автоматы и языки, порожденные грамматиками. Регулярные операции и регулярные языки. НК-граматики. Задача минимизации конечного автомата, алгоритм минимизации. Недетерминированные автоматы и детерминизация. Автоматы с выходом. Автоматы Мура и Мили. Минимизация в одном классе автоматов с выходом. Абстрактный и структурный синтез автоматов.
Самостоятельная работа общим объемом 51 час включает два домашних задания (объемом 13 и 12 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Дискретная математика
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-5, 7
Объем – 153 часа
Семестр 3 – экзамен
Дисциплина относится к спецглавам высшей математики и базируется на разделах общего курса высшей математики, читаемых на 1 и 2 семестрах. В результате изучения дисциплины студент приобретает навыки использования методов дискретной математики, играющих фундаментальную роль в современных информационных технологиях. Материал учебного курса используется в ряде специальных дисциплин и находит дальнейшее свое развитие в теории формальных языков, читаемых студентам названных специальностей в 6 семестре.
Элементы теории множеств. Множества и операции над ними. Кортеж. Декартово произведение. Отношения. Соответствия и операции над ними. Отображения и их классификация. Операции и предикаты. Комбинаторные задачи. Понятие фактор-множества. Теорема о каноническом разложении произвольного отображения. Частично упорядоченные множества. Индуктивные множества и теорема о неподвижной точке.
Алгебраические системы. Группоиды, полугруппы и группы. Элементы теории групп. Конечные группы. Кольца, тела и поля. Их свойства. Общее понятие алгебраической системы. Гомоморфизмы и изоморфизмы, фактор-системы.
Элементы теории графов. Основные понятия теории графов. Подграфы. Компоненты и бикомпоненты. Изоморфизм. Деревья и их классификация. Дерево решений и задача сортировки. Остовное дерево наименьшего веса. Ориентированная сеть, порядковая функция ориентированной сети и методы ее вычисления. Методы систематического обхода вершин графа. Поиск фундаментальных циклов в неориентированном графе и критерий бесконтурности ориентированного графа.
Полукольца (4 ч.).Замкнутые полукольца. Решение систем линейных уравнений в замкнутом полукольце. Задача о путях во взвешенном ориентированном графе. Задача о достижимости и поиске кратчайших расстояний между двумя узлами графа. Поиск кратчайших расстояний от фиксированной вершины: алгоритмы Дейкстры и волнового фронта.
Конечные автоматы. Алфавит, слово, язык. Операции над языками, регулярные языки. Понятие конечного автомата (КА). Анализ и синтез КА. Теорема Клини. Детерминизация и минимизация КА. Проблемы пустоты и эквивалентности. Лемма о разрастании для регулярных языков.
Булевы функции. Булевы алгебры. Булевы функции и способы их представления. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) и конъюнктивная нормальная форма (КНФ). Минимизация в классе ДНФ. Карты Карно. Полные и замкнутые системы булевых функций. Критерий Поста полноты системы булевых функций. Схемы из функциональных элементов. КА с выходом, минимизация в одном классе КА с выходом. Постановка задачи структурного синтеза КА. Алгоритм структурного синтеза КА.
Самостоятельная работа общим объемом 68 часов включает два домашних задания (объемом 14 и 18 часов), контрольную работу, а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Дискретная математика
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-6
Объем – 102 часа
Семестр 4 – зачет
Данный курс предназначен для студентов специальности 220100 — “Вычислительные машины, комплексы, системы и сети”. Его целью является освоение методов общей алгебры и дискретной математики, играющих важную роль в современных информационных технологиях. Учебный курс обеспечивает необходимую математическую подготовку для ряда специальных дисциплин (теория автоматов, схемотехника и др.).
Элементы теории множеств и высшей алгебры. Множества, операции над множествами, отображения, бинарные отношения. Мощность множества. Алгебраические системы: полугруппы, группы, кольца, поля, булевы кольца, булевы алгебры, идемпотентные полукольца, полукольца с итерацией.
Булевы функции. Булевы функции, отношение равенства, формулы. СДНФ, СКНФ, полиномы Жегалкина. Задача о минимизации ДНФ, сокращенные и тупиковые ДНФ, алгоритм Блейка, карты Карно. Контактные схемы, метод каскадов. Замкнутые классы и полнота, теорема Поста. Схемы на функциональных элементах.
Элементы теории графов. Графы, изоморфизмы графов, подграфы, пути, циклы, остовы. Поиск в ширину и поиск в глубину. Деревья. Остовные деревья. Матричная теорема Кирхгофа. Графы с весами. Задача о поиске остовного дерева наименьшего веса, алгоритмы Краскала и Прима. Задача о кратчайшем пути. Алгоритм Дейкстры. Идемпотентные полукольца и задачи о достижимости и о кратчайшем пути. Плоские графы. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Почти все графы.
Языки и автоматы. Конечные детерминированные автоматы с выходом, морфизмы и покрытия, теорема о минимальном автомате, алгоритм минимизации. Регулярные операции и регулярные языки. Языки, порожденные грамматиками. Иерархия Хомского. НК-грамматики. Автоматы-распознаватели и регулярные языки. Лемма о разрастании. Примеры не регулярных языков. Мощность множества языков, порожденных грамматиками.
Самостоятельная работа общим объемом 34 часа включает два домашних задания (объемом по 12 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Дискретная математика
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-9
Объем – 51 час
Семестр 4 – зачет
Дисциплина относится к спецглавам высшей математики и базируется на разделах общего курса высшей математики, читаемых на 1 и 2 семестрах. Она включает элементы комбинаторики, теории булевых функций и теории кодирования. Эти разделы математики играют важную роль для специалистов в области информатики и программирования. Материал учебного курса используется в ряде специальных дисциплин, читаемых студентам направления “Информатика и вычислительная техника”.
Элементы комбинаторики. Полиномиальные коэффициенты. Функция Мебиуса и формула обращения Мебиуса. Циклические последовательности
Элементы теории кодирования. Побуквенное кодирование. Разделимые коды. Префиксные коды. Условие существования разделимого кода с заданными длинами кодовых слов. Оптимальные коды. Теорема редукции. Линейные коды. Двоичные коды Боуза — Чоудхори — Хоквингема (БЧХ-коды). Алгоритм декодирования для кодов, исправляющих двойные ошибки. Детерминированные функции. Ограниченно-детерминированные функции.
Булевы функции. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) и конъюнктивная нормальная форма (КНФ). Минимизация в классе ДНФ.
Самостоятельная работа общим объемом 17 часов включает два домашних задания (объемом по 6 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Исследование операций
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-7
Объем – 120 часов
Семестр 8 – зачет
Учебный курс относится к спецглавам высшей математики и включает в себя методы исследования операций. Материал спецглав базируется на разделах общего курса высшей математики и курса теории вероятностей. После изучения данной дисциплины студенты должны иметь представление об основных понятиях исследовния операций, ориентироваться в задачах, решаемых в рамках исследования операций и овладеть методами решения этих задач. Материал учебного курса используется в ряде специальных дисциплин, связанных с вопросами экономики.
Основные понятия исследования операций. Постановка задачи исследования операций. Классификация задач. Задачи многокритериальной оптимизации. Множество компромисса, ранжирование критериев. Основные этапы решения задачи исследования операций.
Линейное и целочисленное программирование. Постановка задач линейного программирования. Графический метод. Симплекс-метод. Симплекс-таблицы. Двойственность в линейном программировании. Экономическая интерпретация двойственности. Анализ модели на чувствительность. Постановка задач целочисленного программирования. Задача о назначениях и венгерский метод. Метод отсекающих плоскостей. Метод ветвей и границ, его модификация на примере задачи коммивояжера.
Оптимизация на сетях. Примеры сетевых моделей (транспортная задача, задача выбора кратчайшего пути, задача календарного планирования и др.). Общие понятия сетевых моделей и общая постановка задачи. Симплексный метод решения транспортной задачи. Алгоритмы решения сетевых задач. Связь между сетевыми задачами и задачами линейного программирования.
Динамическое программирование. Постановка задач динамического программирования. Многошаговый процесс принятия решения. Принципы оптимальности динамического программирования. Решения задач динамического программирования (задача управления запасами, задача капиталовложения и др.).
Нелинейное программирование. Методы классического анализа. Общая задача на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Условие Куна — Таккера, седловая точка. Квадратичное программирование.
Принятие решений в условиях риска и неопределенности. Критерии принятия решений в условиях риска (критерий ожидаемого значения, критерий предельного уровня и др.) и неопределенности (критерии Лапласа, Севиджа, минимаксный и др.). Конечная игра двух игроков с нулевой суммой. Графическое решение игры вида 2x2. Решение игры mxn.
Самостоятельная работа общим объемом 30 часов включает два домашних задания (объемом 15 и 5 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Высшая математика
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-1, 2, 3, 4
Объем – 170 часов
Семестр 3 – экзамен
Программа ориентирована на углубление математической подготовки студентов и включает три важных раздела математического анализа: кратные, криволинейные и поверхностные интегралы; ряды; теорию функций комплексного переменного. Характерной чертой программы является ее ориентация на овладение студентами математическими методами, применяемыми при решении инженерных задач.
Кратные интегралы. Двойной интеграл. Теорема о существовании и свойства двойного интеграла. Вычисление в прямоугольных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление в полярных координатах. Тройной интеграл, его свойства. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных координатах. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.
Криволинейные и поверхностные интегралы. Криволинейный интеграл 2-го рода, его свойства и вычисление. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Ньютона — Лейбница для криволинейного интеграла. Восстановление функции по ее полному дифференциалу при помощи криволинейного интеграла. Криволинейный интеграл от полного дифференциала. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода. Теорема Остроградского — Гаусса. Дивергенция векторного поля. Формула Стокса. Вихрь (ротор) векторного поля.
Числовые и функциональные ряды. Сумма и остаток числового ряда. Необходимый признак сходимости. Критерий Коши. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Перестановка членов ряда. Знакочередующиеся ряды и признак Лейбница. Комплексные числовые ряды. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Степенные ряды. Интервал сходимости. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Ряд Тейлора. Степенные ряды в комплексной плоскости.
Ряды Фурье. Ряд Фурье по ортонормированной системе. Неравенство Бесселя. Замкнутость и полнота ортонормированной системы. Равенство Парсеваля. Ряды Фурье по тригонометрической системе функций. Связь порядка малости коэффициентов Фурье с дифференцируемостью функции. Разложение функций в ряды Фурье по синусам и по косинусам.
Теория функций комплексного переменного. Трансцедентные функции и их свойства. Предел и непрерывность. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши — Римана. Аналитические и гармонические функции. Комплексный интеграл. Теорема Коши и интегральная формула Коши. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Нули аналитической функции. Ряд Лорана. Изолированные особые точки функции комплексного переменного и их классификация. Теорема Сохоцкого. Классификация особых точек на бесконечности. Вычет функции комплексного переменного и его вычисление. Основная теорема о вычетах.
Самостоятельная работа общим объемом 68 часов включает два домашних задания (объемом 12 и 18 часов), контрольную работу, а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Математический анализ (теория поля и ряды)
Аннотация к учебному плану каф. РЛ-1, 6
Объем – 170 часов
Семестр 3 – экзамен
Программа ориентирована на углубление математической подготовки студентов и включает три важных раздела математического анализа: кратные, криволинейные и поверхностные интегралы; ряды; теорию функций комплексного переменного. Характерной чертой программы является ее ориентация на овладение студентами математическими методами, применяемыми при решении инженерных задач.
Кратные интегралы. Двойной интеграл. Теорема о существовании и свойства двойного интеграла. Вычисление в прямоугольных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление в полярных координатах. Тройной интеграл, его свойства. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных координатах. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.
Криволинейные и поверхностные интегралы. Криволинейный интеграл 2-го рода, его свойства и вычисление. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Ньютона — Лейбница для криволинейного интеграла. Восстановление функции по ее полному дифференциалу при помощи криволинейного интеграла. Криволинейный интеграл от полного дифференциала. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода. Теорема Остроградского — Гаусса. Дивергенция векторного поля. Формула Стокса. Вихрь (ротор) векторного поля.
Числовые и функциональные ряды. Сумма и остаток числового ряда. Необходимый признак сходимости. Критерий Коши. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Перестановка членов ряда. Знакочередующиеся ряды и признак Лейбница. Комплексные числовые ряды. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Степенные ряды. Интервал сходимости. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Ряд Тейлора. Степенные ряды в комплексной плоскости.
Ряды Фурье. Ряд Фурье по ортонормированной системе. Неравенство Бесселя. Замкнутость и полнота ортонормированной системы. Равенство Парсеваля. Ряды Фурье по тригонометрической системе функций. Связь порядка малости коэффициентов Фурье с дифференцируемостью функции. Разложение функций в ряды Фурье по синусам и по косинусам.
Теория функций комплексного переменного. Трансцедентные функции и их свойства. Предел и непрерывность. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши — Римана. Аналитические и гармонические функции. Комплексный интеграл. Теорема Коши и интегральная формула Коши. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Нули аналитической функции. Ряд Лорана. Изолированные особые точки функции комплексного переменного и их классификация. Теорема Сохоцкого. Классификация особых точек на бесконечности. Вычет функции комплексного переменного и его вычисление. Основная теорема о вычетах.
Самостоятельная работа общим объемом 68 часов включает два домашних задания (объемом 12 и 18 часов), контрольную работу, а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Математический анализ
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-8
Объем – 170 часов
Семестр 3 – экзамен
Программа ориентирована на углубление математической подготовки студентов и включает три важных раздела математического анализа: кратные, криволинейные и поверхностные интегралы; ряды; теорию функций комплексного переменного. Характерной чертой программы является ее ориентация на овладение студентами математическими методами, применяемыми при решении инженерных задач.
Кратные интегралы. Двойной интеграл. Теорема о существовании и свойства двойного интеграла. Вычисление в прямоугольных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление в полярных координатах. Тройной интеграл, его свойства. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных координатах. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.
Криволинейные и поверхностные интегралы. Криволинейный интеграл 2-го рода, его свойства и вычисление. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Ньютона — Лейбница для криволинейного интеграла. Восстановление функции по ее полному дифференциалу при помощи криволинейного интеграла. Криволинейный интеграл от полного дифференциала. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода. Теорема Остроградского — Гаусса. Дивергенция векторного поля. Формула Стокса. Вихрь (ротор) векторного поля.
Числовые и функциональные ряды. Сумма и остаток числового ряда. Необходимый признак сходимости. Критерий Коши. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Перестановка членов ряда. Знакочередующиеся ряды и признак Лейбница. Комплексные числовые ряды. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Степенные ряды. Интервал сходимости. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Ряд Тейлора. Степенные ряды в комплексной плоскости.
Ряды Фурье. Ряд Фурье по ортонормированной системе. Неравенство Бесселя. Замкнутость и полнота ортонормированной системы. Равенство Парсеваля. Ряды Фурье по тригонометрической системе функций. Связь порядка малости коэффициентов Фурье с дифференцируемостью функции. Разложение функций в ряды Фурье по синусам и по косинусам.
Теория функций комплексного переменного. Трансцедентные функции и их свойства. Предел и непрерывность. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши — Римана. Аналитические и гармонические функции. Комплексный интеграл. Теорема Коши и интегральная формула Коши. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Нули аналитической функции. Ряд Лорана. Изолированные особые точки функции комплексного переменного и их классификация. Теорема Сохоцкого. Классификация особых точек на бесконечности. Вычет функции комплексного переменного и его вычисление. Основная теорема о вычетах.
Самостоятельная работа общим объемом 68 часов включает два домашних задания (объемом 12 и 18 часов), контрольную работу, а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Математическая логика и теория алгоритмов
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-6
Объем – 51 час
Семестр 4 – зачет
Целью учебной дисциплины является углубление математической подготовки студентов специальности 220100 — “Вычислительные машины, комплексы, системы и сети”. Она включает элементы математической логики и основы теории алгоритмов. Содержание курса базируется на общем курсе высшей математики, читаемом в 1–3 семестрах. Материал курса используется в общепрофессиональных и специальных учебных дисциплинах (организация ЭВМ, методы и средства защиты информации, моделирование, схемотехника и др.).
Логика высказываний (пропозициональная логика). Высказывания и истинностные значения высказываний. Логические операции. Формулы логики высказываний (пропозициональные формулы). Истинностные функции. Тавтологии. Эквивалентность формул. Замена эквивалентным и двойственность. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы.
Классическое исчисление высказываний. Аксиомы и правила вывода. Вывод формул и вывод формул из гипотез. Теорема о дедукции. Теоремы полноты и непротиворечивости.
Логика предикатов. Предикаты и кванторы. Предикатные формулы. Интерпретация предикатных формул. Общезначимость (истинность), выполнимость и опровержимость предикатных формул. Эквивалентность предикатных формул. Предваренная нормальная форма.
Нормальные алгорифмы и машины Тьюринга. Вычисление словарных функций нормальными алгорифмами и машинами Тьюринга. Принцип нормализации и тезис Тьюринга.
Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Частично рекурсивные и общерекурсивные функции. Рекурсивные и рекурсивно-перечислимые множества.
Самостоятельная работа общим объемом 17 часов включает домашнее задание (объемом 13 часов) и контрольную работу.
Математическая логика и теория алгоритмов
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-9
Объем – 187 часов
Семестр 3
Семестр 4 – экзамен
Программа ориентирована на углубление математической подготовки студентов и включает элементы математической логики и основы теории алгоритмов. Содержание курса базируется на общем курсе высшей математики, читаемом в 1–3 семестрах. Характерной чертой учебного курса является его прикладная направленность и ориентация на овладение студентами математическими методами, применяемыми при решении инженерных задач.
Логика высказываний. Высказывания и истинностные значения высказываний. Логические связки. Формулы логики высказываний. Истинностные функции (таблицы истинности). Тавтологии. Эквивалентность формул. Замена эквивалентным и двойственность. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы.
Классическое исчисление высказываний. Аксиомы и правила вывода. Вывод формул и вывод формул из гипотез. Теорема о дедукции. Теоремы полноты и непротиворечивости.
Логика предикатов. Предикаты и кванторы. Предикатные формулы. Интерпретация предикатных формул. Общезначимость (истинность), выполнимость и опровержимость предикатных формул. Эквивалентность предикатных формул. Предваренная нормальная форма.
Классическое исчисление предикатов. Аксиомы и правила вывода. Вывод предикатных формул и вывод предикатных формул из гипотез. Теоремы полноты и непротиворечивости.
Генценовский вариант исчисления высказываний. Понятие секвенции. Вывод в исчислении секвенций. Эквивалентность обычного (гильбертовского) и генценовского вариантов исчисления высказываний. Теорема Генцена о нормальной форме (теорема об устранении сечения).
Языки и теории первого порядка. Язык и теория первого порядка для арифметики Пеано.
Метод резолюций. Правило резолюции. Резолюционный вывод. Применение метода резолюций.
Самостоятельная работа общим объемом 34 часа включает домашнее задание (объемом 16 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Математическая физика
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-9
Объем – 102 часов
Семестр 6 – экзамен
Учебный курс относится к спецглавам высшей математики и направлен на углубление математической подготовки студентов направления “Информатика и вычислительная техника”. Содержание курса базируется на общем курсе высшей математики, читаемом на 1–3 семестрах. Основной задачей изучения курса является овладение основными понятиями уравнений математической физики, а также приемам численного интегрирования уравнений математической физики, важным с точки зрения реализации математических моделей, используемых в инженерной деятельности.
Обыкновенные дифференциальные уравнения в математической физике. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Квазилинейные уравнения. Характеристическое уравнение и характеристики. Задача Коши для уравнения первого порядка. Нелинейные уравнения первого порядка.
Квазилинейные уравнения в частных производных второго порядка. Замена переменных и типы уравнений (эллиптические, гиперболические, параболические). Приведение уравнения от двух переменных к каноническому виду. Характеристики.
Постановка основных задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Задача Коши. Роль характеристик в постановке задачи Коши. Краевая задача для уравнений эллиптического типа. Смешанная задача. О корректности задач математической физики. Классические и обобщенные решения.
Метод разделения переменных. Однородное гиперболическое уравнение. Параболическое уравнение. Задача на собственные функции.
Принцип суперпозиции и функция Грина. Краевая задача для эллиптического уравнения и ее функция Грина. Решение краевой задачи с помощью функции Грина. Формула Пуассона. Принцип суперпозиции.
Основы метода конечных разностей. Основные понятия теории разностных схем (сетка, узел, слой, шаблон). Способы построения разностных схем. Примеры простейших разностных схем. Анализ качества разностной схемы (аппроксимация, сходимость, устойчивость).
Одномерные краевые задачи. Разностные схемы для стационарных задач. Смешанные задачи для уравнения диффузии. Смешанные задачи для волнового уравнения.
Многомерные краевые задачи. Особенности многомерных задач. Примеры построения разностных схем для многомерных задач.
Самостоятельная работа общим объемом 34 часа включает два домашних задание (объемом по 12 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Методы вычислений
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-7
Объем – 170 часов
Семестр 9 – зачет
Семестр 10 – зачет
Годовой курс по методам вычислений позволит будущим специалистам ориентироваться в методах вычислений, которые применяются на практике для решения широкого круга прикладных задач, а также ориентироваться в особенностях математического обеспечения. Содержание курса опирается на базовую математическую подготовку студента, полученную им за первых четыре семестра обучения в МГТУ.
Одномерная оптимизация. Прямые методы поиска минимума унимодальной функции одного переменного. Методы минимизации дифференцируемой функции одного переменного. Методы минимизации неунимодальных функций (методы перебора и ломаных).
Многомерная безусловная оптимизация. Прямые методы минимизации. Методы минимизации с использованием производных. Метод Ньютона и его модификации. Квазиньютоновские методы. Метод Девидона — Флетчера — Пауэла. Методы сопряженных направлений. Общая стратегия поиска. Метод Флетчера — Ривса (сопряженных градиентов). Критерии окончания. Особенности численной реализации.
Оптимизация с ограничениями. Метод множителей Лагранжа. Условия оптимальности Куна — Таккера. Общая задача нелинейного программирования. Выпуклое программирование. Метод штрафных и барьерных функций. Градиентные методы. Метод Зойтендейка. Методы возможных направлений.
Элементы линейного программирования и многокритериальная оптимизация. Постановка задач линейного программирования. Графический метод. Постановка задачи многокритериальной оптимизации. Принцип Парето. Метод последовательной оптимизации.
Аналитические методы решения задач математической физики. Постановка задач математической физики, их классификация, примеры. Краевые условия и их вид. Начальные и граничные условия. Их физическая интерпретация. Метод разделения переменных. Собственные функции для прямоугольника и круга. Понятие о шаровых функциях. Метод функций Грина и принцип суперпозиции. Метод интегральных преобразований. Преобразование Фурье и его свойства. Операционный метод.
Метод конечных разностей и метод конечных элементов. Аппроксимация, устойчивость и сходимость. Построение разностных схем для краевых задач математической физики. Метод прогонки. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Метод конечных элементов. Типы конечных элементов. Применение метода конечных элементов. Понятие о методе граничных элементов
Приближенные аналитические методы. Общая схема построения. Погрешности приближенных методов. Метод малого параметра. Методы Бубнова— Галеркина и Ритца. Метод коллокаций.
Самостоятельная работа общим объемом 17 часов включает самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Методы оптимизации
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-6
Объем – 68 часов
Семестр 5 – зачет
Целью данной дисциплины является углубление математической подготовки студентов специальности 220100 — Вычислительные машины, комплексы, системы и сети”. Ее основное содержание составляют методы конечномерной оптимизации. Материал курса базируется на разделах общего курса высшей математики, читаемых студентам на 1–3 семестрах.
Одномерная оптимизация. Прямые методы поиска минимума унимодальной функции одного переменного. Методы минимизации дифференцируемой функции одной переменной. Методы поиска глобального экстремума неунимодальных функций.
Многомерная безусловная оптимизация. Прямые методы поиска. Методы поиска с использованием производных. Метод Ньютона и его модификации. Квазиньютоновские методы. Метод Девидона — Флетчера — Пауэла. Методы сопряженных направлений. Общая стратегия поиска. Метод Флетчера — Ривса. Критерии окончания. Особенности численной реализации.
Оптимизация в задачах с ограничениями. Классификация задач. Метод множителей Лагранжа. Условия оптимальности. Общая задача нелинейного программирования. Выпуклое программирование. Методы условной оптимизации. Методы штрафных и барьерных функций. Методы проекции градиента, приведенного градиента, условного градиента. Метод проекции точки на множество.
Элементы линейного программирования. Общая, каноническая и основная задачи линейного программирования. Графическое решение задачи линейного программирования. Симплекс-метод и симплекс-таблицы. Выбор начальной точки. Основы теории двойственности в линейном программировании. Прямо-двойственная задача.
Методы возможных направлений. Метод Зойтендейка в задачах выпуклого программирования с линейными ограничениями. Вспомогательная задача линейного программирования. Методы возможных направлений в задачах выпуклого программирования с нелинейными ограничениями.
Самостоятельная работа общим объемом 17 часов включает самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Методы оптимизации
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-9
Объем – 68 часов
Семестр 5 – зачет
Дисциплина относится к спецглавам высшей математики и включает методы оптимизации. Она базируется на разделах общего курса высшей математики, читаемых студентам факультета ИУ на 1–3 семестрах. Изучив курс, студент должен овладеть основными идеями и методами оптимизации, которые существенно используются при разработке и проектировании новой техники. Материал учебного курса используется в ряде специальных дисциплин, изучаемых студентами на профилирующей кафедре.
Одномерная оптимизация. Прямые методы поиска минимума унимодальной функции одного переменного (методы “поразрядного” поиска, “золотого сечения”, квадратичной интерполяции). Методы минимизации дифференцируемой функции одной переменной (методы “бисекции”, Ньютона и модификации метода Ньютона).
Методы поиска глобального экстремума неунимодальных функций.
Многомерная безусловная оптимизация. Прямые методы поиска (покоординатный спуск, методы деформируемого многогранника, Хука — Дживса, случайного поиска). Методы поиска с использованием производных (градиентный спуск с дроблением шага, наискорейший спуск). Метод Ньютона и его модификации. Квазиньютоновские методы. Метод Девидона — Флетчера — Пауэла. Методы сопряженных направлений. Общая стратегия поиска. Примеры реализации различных алгоритмов в задачах безусловной минимизации квадратичных функций. Метод Флетчера — Ривса (сопряженных градиентов). Критерии окончания. Особенности численной реализации.
Оптимизация в задачах с ограничениями. Классификация задач. Метод множителей Лагранжа. Теорема Куна — Таккера. Условия оптимальности. Общая задача нелинейного программирования. Выпуклые множества и выпуклые функции. Задача выпуклого программирования. Условия оптимальности в задачах выпуклого программирования. Методы условной оптимизации. Методы штрафных и барьерных функций. Методы проекции градиента, приведенного градиента, условного градиента. Метод проекции точки на множество.
Методы возможных направлений. Метод Зойтендейка в задачах выпуклого программирования с линейными ограничениями. Вспомогательная задача линейного программирования. Методы возможных направлений в задачах выпуклого программирования с нелинейными ограничениями.
Самостоятельная работа общим объемом 17 часов включает самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Операционное исчисление и УрМатФиз
Аннотация к учебному плану каф. РЛ-1, 6
Объем – 102 часов
Семестр 4 – экзамен
Содержание дисциплины, относящейся к спецглавам высшей математики, базируется на разделах общего курса высшей математики, читаемых в 1–3 семестрах. Основной задачей изучения курса является овладение математическими методами, используемыми в технической электродинамике (техническая электродинамика является важнейшей составляющей в подготовке специалистов данного профиля).
Операционное исчисление. Функции-оригиналы. Интеграл Лапласа. Поведение изображения в бесконечно удаленной точке. Основные теоремы операционного исчисления. Функция Хевисайда и ее изображение. Изображение кусочно-гладких и периодических оригиналов. Свертка двух оригиналов и ее изображение. Теоремы разложения. Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений.
Уравнения Лапласа и Пуассона. Дифференциальный оператор Лапласа. Уравнения Лапласа и Пуассона. Фундаментальные решения. Слабая сходимость и слабый предел. Дельта-функция. Обобщенное фундаментальное решение. Интегральная формула Грина. Объемный и логарифмический потенциалы. Гармонические функции. Краевые задачи для уравнения Лапласа и уравнения Пуассона. Условие разрешимости задачи Неймана. Задача Штурма — Лиувилля. Собственные числа и собственные функции. Метод Фурье для уравнений Лапласа и Пуассона. Функция Грина. Метод функции Грина для решения задач Дирихле и Неймана. Примеры решения задачи Дирихле методом функции Грина.
Уравнение Гельмгольца. Волновое уравнение как уравнение электромагнитных колебаний. Частные решения. Комплексная гармоническая функция. Уравнение Гельмгольца для амплитуды гармонических колебаний. Понятие монохроматической волны. Фундаментальные решения для уравнения Гельмгольца. Расходящиеся и сходящиеся волны. Обобщенное фундаментальное решение. Интегральное представление решения уравнения Гельмгольца. Формула Кирхгоффа. Задача для неограниченной области. Условия излучения. Метод функции Грина для решения первой краевой задачи.
Специальные функции. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя и Неймана. Рекуррентные соотношения. Ортогональность функций Бесселя. Задача Штурма — Лиувилля для уравнения Бесселя с граничными условиями первого и второго рода. Уравнение Лежандра, полиномы Лежандра и функции Лежандра. Присоединенные функции Лежандра. Задача Штурма — Лиувилля для уравнения Лежандра.
Краевые задачи для уравнения Гельмгольца. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца. Построение собственных функций (общая схема). Построение собственных функций для уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах.
Самостоятельная работа общим объемом 17 часов включает два домашних задания (объемом по 12 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Теория принятия решений
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-6
Объем – 68 часов
Семестр 6 – зачет
Целью учебной дисциплины является углубление математической подготовки студентов специальности 220100 — “Вычислительные машины, комплексы, системы и сети”. Она включает в себя методы принятия решений, играющие важную роль в некоторых разделах математического моделирования. Материал учебной дисциплины базируется на разделах общего курса высшей математики и курса теории вероятностей. Она используется в общепрофессиональных и специальных дисциплинах, связанных с вопросами экономики и управления.
Основные понятия теории принятия решений. Постановка задач и их классификация. Задачи многокритериальной оптимизации. Множество компромисса, ранжирование критериев. Основные этапы решения задачи принятия решений.
Задачи транспортного типа. Классическая транспортная задача. Транспортная задача с промежуточными пунктами. Задача о назначениях. Задача о кратчайшем пути. Симплексный метод решения задач транспортного типа.
Нелинейное программирование. Постановка задачи. Методы классического анализа. Общая задача на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа и теорема Куна — Таккера.
Марковские модели принятия решений. Принятие решений при конечном горизонте планирования. Принятие решений при бесконечном горизонте планирования. Методы решения задач принятия решений с марковскими моделями.
Принятие решений в условиях риска и неопределенности. Критерии принятия решений в условиях риска (критерий ожидаемого значения, критерий предельного уровня и др.) и неопределенности (критерии Лапласа, Севиджа, минимаксный и др.).
Элементы теории игр. Конечная игра двух игроков с нулевой суммой. Смешанные стратегии. Решение игры вида 2x2. Решение игры mxn. Игры с ненулевой суммой.
Элементы имитационного моделирования. Основные этапы имитационного моделирования. Моделирование случайных величин. Построение и эксплуатация имитационных моделей.
Самостоятельная работа общим объемом 34 часа включает домашнее задание (объемом 15 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Теория принятия решений
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-9
Объем – 51 час
Семестр 6 – зачет
Учебный курс относится к спецглавам высшей математики и включает в себя методы принятия решений. Материал спецглав базируется на разделах общего курса высшей математики и курса теории вероятностей. После изучения данной дисциплины студенты должны иметь представление об основных понятиях теории принятия решений, ориентироваться в задачах, решаемых в рамках этой теории и владеть методами решения этих задач. Материал учебного курса используется в ряде специальных дисциплин, связанных с вопросами экономики.
Основные понятия теории принятия решений. Постановка задач и их классификация. Задачи многокритериальной оптимизации. Множество компромисса, ранжирование критериев. Основные этапы решения задачи принятия решений.
Основы линейного программирования. Общая, каноническая и основная задачи линейного программирования. Графическое решение задачи линейного программирования. Симплекс-метод и симплекс-таблицы. Выбор начального допустимого решения. Двойственность в линейном программировании. Прямо-двойственная задача. Анализ на чувствительность. Целочисленное программирование.
Нелинейное программирование в теории принятия решений. Постановки задач. Методы классического анализа. Метод множителей Лагранжа и теорема Куна — Таккера. Методы выпуклого программирования.
Марковские модели принятия решений. Принятие решений при конечном горизонте планирования. Принятие решений при бесконечном горизонте планирования. Методы решения задач принятия решений с марковскими моделями.
Принятие решений в условиях риска и неопределенности. Критерии принятия решений в условиях риска (критерий ожидаемого значения, критерий предельного уровня и др.) и неопределенности (критерии Лапласа, Севиджа, минимаксный и др.).
Элементы теории игр. Конечная игра двух игроков с нулевой суммой. Смешанные стратегии. Решение игры вида 2x2. Решение игры mxn. Игры с ненулевой суммой.
Самостоятельная работа общим объемом 17 часов включает домашнее задание (объемом 10 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Теория вероятностей и математическая статистика
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-1, 2, 3, 4
Объем – 102 часа
Семестр 4 – экзамен
Учебный курс включает теорию вероятностей и основные понятия математической статистики — два специальных раздела, завершающих математическую подготовку специалиста-инженера одной из приборостроительных специальностей. Сюда также входит операционное исчисление, являющееся частью единой базовой подготовки по математике студентов МГТУ. Учебный курс опирается на основные раздела курса Высшей математике, читаемых в 1–3 семестрах.
Операционное исчисление. Изображения и оригиналы. Преобразование Лапласа и его обращение. Основные свойства преобразования Лапласа. Изображение кусочно-непрерывного оригинала. Свертка двух оригиналов. Теоремы разложения. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений и систем операционным методом.
Элементарная теория вероятностей. Алгебра случайных событий. Классическое, геометрическое и аксиоматическое определения вероятности реализации случайного события. Теорема сложения вероятностей, монотонность. Условная вероятность. Теорема умножения. Независимые случайные события. Формула полной вероятности и формула Байеса. Формула Бернулли и следствия из нее.
Случайные величины. Скалярные случайные величины. Функции распределения и ее свойства. Дискретные случайные величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятностей и ее основные свойства. Равномерное и нормальное распределения. Функция Лапласа. Многомерные случайные величины (случайные векторы). Функция распределения случайного вектора. Дискретные и непрерывные случайные векторы. Плотность распределения вероятностей непрерывного случайного вектора. Независимые случайные величины. Функция случайных величин.
Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. Ковариация и коэффициент корреляции. Ковариационная матрица. Многомерный нормальный закон распределения.
Основные теоремы теории вероятностей. Закон больших чисел и его основное содержание. Неравенства Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Теорема Муавра —Лапласа.
Основные понятия математической статистики. Основная задача математической статистики. Случайная выборка и выборка для случайной величины. Выборочная характеристика и выборочный закон распределения. Требования, предъявляемые к точечным оценкам (несмещенность, эффективность, состоятельность). Метод максимального правдоподобия. Понятие интервальной оценки. Общая схема построения интервальных оценок. Построение интервальных оценок для параметров нормального распределения.
Самостоятельная работа общим объемом 34 часа включает два домашних задания (объемом 8 и 10 часов), контрольную работу, а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Теория вероятностей и математическая статистика
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-5, 7
Объем – 170 часов
Семестр 4 – экзамен
Учебный курс включает вспомогательную часть (кратные интегралы и числовые ряды) и основную часть (теория вероятностей и математическая статистика). Цель курса — дать студенту представление и практические навыки для исследования вероятностных моделей, а также научить основным приемам обработки экспериментальных данных.
Двойной и тройной интегралы. Двойной интеграл. и его вычисление. Замена переменных в двойном интеграле. Приложения двойных интегралов. Несобственные двойные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра. Тройной интеграл и его вычисление. Замена переменных в тройном интеграле. Приложения тройных интегралов.
Числовые ряды. Сумма числового ряда. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд. Свойства сходящихся рядов. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов. Ряды Дирихле. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Элементарная теория вероятностей. Алгебра случайных событий. Вероятность случайного события и ее свойства. Условные вероятности. Теорема умножения. Независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Биномиальная схема и формула Бернулли.
Одномерные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные и непрерывные случайные величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Функция плотности вероятности и ее свойства. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Функция Лапласа и ее свойства.
Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора. Дискретные и непрерывные случайные векторы. Функция плотности вероятности непрерывного случайного вектора. Зависимые и независимые случайные величины.
Числовые характеристики случайных величин. Условные законы распределения. Математическое ожидание и дисперсия. Ковариация и коэффициент корреляции. Ковариационная и корреляционная матрицы. Числовые характеристики основных законов распределения. Условные числовые характеристики. Функциональные преобразования случайных величин. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева и теорема Чебышева. Центральная предельная теорема.
Основные понятия математической статистики. Основные задачи математической статистики. Точечные оценки неизвестных параметров. Метод моментов и метод максимального правдоподобия. Интервальное оценивание. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения. Проверка статистических гипотез. Мощность критерия. Правило Неймана — Пирсона. Критерии согласия. Обработка экспериментальных данных. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов. Линейная регрессионная модель..
Самостоятельная работа общим объемом 51 час включает два домашних задания (объемом 18 и 20 часов), контрольную работу, а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Теория вероятностей и математическая статистика
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-6
Объем – 153 часа
Семестр 3 – экзамен
Дисциплина включает кратные интегралы и числовые ряды; теорию вероятностей и математическая статистику. Главная задача учебного курса — дать студенту практические навыки исследования вероятностных моделей, используемых в инженерной практике, а также научить основным приемам обработки экспериментальных данных.
Двойной и тройной интегралы. Двойной интеграл. и его вычисление. Замена переменных в двойном интеграле. Приложения двойных интегралов. Несобственные двойные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра. Тройной интеграл и его вычисление. Замена переменных в тройном интеграле. Приложения тройных интегралов.
Числовые ряды. Сумма числового ряда. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд. Свойства сходящихся рядов. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов. Ряды Дирихле. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Элементарная теория вероятностей. Алгебра случайных событий. Вероятность случайного события и ее свойства. Условные вероятности. Теорема умножения. Независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Биномиальная схема и формула Бернулли.
Одномерные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные и непрерывные случайные величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Функция плотности вероятности и ее свойства. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Функция Лапласа и ее свойства.
Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора. Дискретные и непрерывные случайные векторы. Функция плотности вероятности непрерывного случайного вектора. Зависимые и независимые случайные величины.
Числовые характеристики случайных величин. Условные законы распределения. Математическое ожидание и дисперсия. Ковариация и коэффициент корреляции. Ковариационная и корреляционная матрицы. Числовые характеристики основных законов распределения. Условные числовые характеристики. Функциональные преобразования случайных величин. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева и теорема Чебышева. Центральная предельная теорема.
Основные понятия математической статистики. Основные задачи математической статистики. Точечные оценки неизвестных параметров. Метод моментов и метод максимального правдоподобия. Интервальное оценивание. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения. Проверка статистических гипотез. Мощность критерия. Правило Неймана — Пирсона. Критерии согласия. Обработка экспериментальных данных. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов. Линейная регрессионная модель..
Самостоятельная работа общим объемом 51 час включает два домашних задания (объемом 10 и 14 часов), контрольную работу, а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Теория вероятностей и математическая статистика
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-8
Объем – 102 часа
Семестр 3 – экзамен
Дисциплина относится к спецглавам высшей математики и направлена на углубление общей математической подготовки студентов приборостроительных специальностей. Теория вероятностей представлена достаточно полно, в то время как математическая статистика дана кратко. Основная цель дисциплины — формирование вероятностных понятий и представлений, необходимых при построении моделей реальных процессов и явлений.
Элементарная теория вероятностей. Алгебра случайных событий. Вероятность случайного события. Условные вероятности. Теорема умножения. Независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Биномиальная схема и формула Бернулли.
Случайные величины и случайные векторы. Одномерные случайные величины. Функция распределения. Дискретные и непрерывные случайные величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Функция плотности вероятности. Равномерное распределение, нормальное распределение. Функция Лапласа. Функция распределения случайного вектора. Функция плотности вероятности. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения.
Числовые характеристики случайных величин. Начальные и центральные моменты; математическое ожидание и дисперсия. Ковариация и коэффициент корреляции. Ковариационная и корреляционная матрицы. Числовые характеристики основных законов распределения. Функциональные преобразования случайных величин.
Основные теоремы теории вероятностей. Закон больших чисел. Неравенства и теоремы Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Теорема Лапласа как частный случай центральной предельной теоремы.
Основные понятия математической статистики. Основные задачи математической статистики. Точечные оценки неизвестных параметров распределения. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия. Интервальное оценивание. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения. Распределения "хи-квадрат", Стьюдента и Фишера.
Проверка статистических гипотез. Мощность критерия. Правило Неймана — Пирсона и его применение (проверка статистических гипотез о математических ожиданиях и дисперсиях). Критерии согласия и правила их применения.
Обработка экспериментальных данных. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов. Линейная регрессионная модель. Статистический анализ регрессионной модели.
Самостоятельная работа общим объемом 17 часов включает два домашних задания (объемом 8 и 9 часов).
Теория вероятностей и математическая статистика
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-9
Объем – 153 часа
Семестр 2
Семестр 3 – экзамен
Годовой учебный курс включает три части, условно: дискретную вероятность; кратные интегралы и ряды; теорию вероятностей и математическую статистику. Материал учебного курса активно используется в специальных дисциплинах, читаемых студентам профилирующей кафедрой.
Дискретная вероятность. Понятие пространства элементарных событий. Случайные события. Классическое и геометрическое определения вероятности. Основные свойства вероятности. Условные вероятности. Теорема умножения. Независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Биномиальная схема и формула Бернулли.
Двойной и тройной интегралы. Определение двойного интеграла и его свойства. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Приложения двойных интегралов. Несобственные двойные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра. Определение тройного интеграла и его свойства. Вычисление тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле. Приложения тройных интегралов.
Числовые ряды. Сумма числового ряда. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Свойства сходящихся рядов. Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов. Ряды Дирихле. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Одномерные случайные величины и случайные векторы. Функция распределения и ее свойства. Дискретные и непрерывные случайные величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Функция плотности вероятности (ФПВ) и ее свойства. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Функция Лапласа. Функция распределения случайного вектора. Дискретные и непрерывные случайные векторы Функция плотности вероятности непрерывного случайного вектора. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения.
Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия. Ковариация и коэффициент корреляции. Ковариационная и корреляционная матрицы. Двумерный нормальный закон распределения. Условные числовые характеристики. Функциональные преобразования случайных величин. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева и теорема Чебышева. Центральная предельная теорема.
Основные понятия математической статистики. Основные задачи математической статистики. Точечные оценки неизвестных параметров. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия. Интервальное оценивание. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения. Проверка статистических гипотез. Мощность критерия. Правило Неймана — Пирсона. Критерии согласия и правила их применения. Обработка экспериментальных данных. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов. Линейная регрессионная модель.
Самостоятельная работа общим объемом 51 час включает два домашних задания (объемом 8 часов во 2-м семестре и 20 часов в 3-м семестре), две контрольных работы, а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Теория вероятностей и математическая статистика
Аннотация к учебному плану каф. РЛ-1, 6
Объем – 119 часов
Семестр 5 – экзамен
Дисциплина относится к спецглавам высшей математики и включает основные понятия теории вероятностей и математической статистики. Материал дисциплины базируется на разделах общего курса высшей математики, читаемых на 1–4 семестрах. Основная цель данного курса — дать студенту представление и практические навыки для исследования вероятностных моделей, используемых в инженерной практике технолога, а также научить основным приемам обработки экспериментальных данных.
Элементарная теория вероятностей. Алгебра случайных событий. Вероятность случайного события. Условные вероятности. Теорема умножения. Независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Биномиальная схема и формула Бернулли.
Случайные величины. Одномерные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Плотность распределения и ее свойства. Случайные векторы и их функции распределения. Непрерывные случайные векторы. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения.
Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия. Ковариация и коэффициент корреляции. Ковариационная и корреляционная матрицы. Числовые характеристики основных законов распределения. Функциональные преобразования случайных величин.
Основные теоремы теории вероятностей. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева и теорема Чебышева. Центральная предельная теорема.
Основные понятия математической статистики. Основные задачи математической статистики. Точечные оценки неизвестных параметров. Метод моментов. Интервальное оценивание. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения. Распределения “хи-квадрат”, Стьюдента и Фишера. Проверка статистических гипотез. Ошибки первого и второго рода при проверке статистических гипотез, мощность критерия. Проверка стандартных гипотез, критерии согласия.
Обработка экспериментальных данных. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов. Линейная регрессионная модель.
Элементы теории случайных процессов. Понятие случайного процесса. Случайная функция. Математическое ожидание. Корреляционная функция и ее свойства. Действие линейного оператора на случайный процесс. Стационарный случайный процесс. Преобразование стационарного случайного процесса при его прохождении через линейную динамическую систему. Процесс Пуассона, процесс размножения и гибели, уравнение Колмогорова. Цепи Маркова.
Самостоятельная работа общим объемом 51 час включает два домашних задания (объемом 12 и 10 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Теория вероятностей и математическая статистика
Аннотация к учебному плану каф. РЛ-2, 3
Объем – 102 часов
Семестр 5 – экзамен
Учебный курс относится к спецглавам высшей математики и включает основные понятия теории вероятностей и математической статистики. Материал учебного курса базируется на разделах общего курса высшей математики, читаемых на 1 – 4 семестрах. Основная цель курса — дать студенту представление и практические навыки для исследования вероятностных моделей, используемых в инженерной практике технолога, а также научить основным приемам обработки экспериментальных данных.
Элементарная теория вероятностей. Алгебра случайных событий. Вероятность случайного события. Свойства вероятности. Условные вероятности. Теорема умножения. Независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Биномиальная схема и формула Бернулли.
Случайные величины. Одномерные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Плотность распределения и ее свойства. Случайные векторы и их функции распределения. Свойства функции распределения случайного вектора. Непрерывные случайные векторы. Понятие зависимости и независимости случайных величин. Условные законы распределения.
Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия. Ковариация и коэффициент корреляции. Ковариационная и корреляционная матрицы. Числовые характеристики основных законов распределения. Функциональные преобразования случайных величин. Числовые характеристики функций случайных аргументов.
Основные теоремы теории вероятностей. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева и теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.
Основные понятия математической статистики. Основные задачи математической статистики. Точечные оценки неизвестных параметров. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия. Интервальное оценивание. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения. Распределения “хи-квадрат”, Стьюдента и Фишера. Проверка статистических гипотез. Ошибки первого и второго рода при проверке статистических гипотез, мощность критерия. Проверка стандартных гипотез, критерии согласия.
Обработка экспериментальных данных. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов. Линейная регрессионная модель.
Самостоятельная работа общим объемом 51 час включает два домашних задания (объемом 10 и 12 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Математический анализ (теория поля и ряды)
Аннотация к учебному плану каф. РЛ-2, 3
Объем – 170 часов
Семестр 3 – экзамен
Материал курса является базовым для дальнейшего изучения специальных глав высшей математики и подготовки студентов по специальности. Учебный курс включает три самостоятельных раздела: 1) кратные, криволинейные и поверхностные интегралы; 2) теорию поля; 3) теорию функций комплексного переменного. Целью изучения курса является формирование у студентов твердых теоретических знаний по указанным разделам высшей математики и умения применять эти знания при решении практических задач.
Кратные и криволинейные интегралы. Двойной интеграл и его свойства. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Тройной интеграл и его свойства. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Криволинейный интеграл первого рода и второго рода. Свойства криволинейного интеграла и методы его вычисления. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала. Поверхностный интеграл первого и второго рода и его свойства.
Теория поля. Скалярные и векторные поля. Векторные линии векторного поля. Поток векторного поля. Формула Остроградского, дивергенция векторного поля. Соленоидальное векторное поле и его свойства. Формула Стокса. Вихрь (ротор) векторного поля. Потенциальное векторное поле и его свойства. Оператор Гамильтона.
Ряды. Числовые ряды и их сходимость. Необходимое признак сходимости. Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница. Функциональные ряды и равномерная сходимость. Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Условия разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
Теория функций комплексного переменного. Предел последовательности комплексных чисел. Бесконечно удаленная точка. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Основные элементарные функции, их свойства. Формулы Эйлера. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши — Римана. Аналитические функции. Комплексный интеграл. Теорема Коши и интегральная формула Коши. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора и ряд Лорана. Классификация изолированных особых точек. Бесконечно удаленная точка как особая точка. Вычет аналитической функции. Основная теорема о вычетах. Вычет в бесконечно удаленной точке. Применение вычетов для вычисления контурных интегралов.
Самостоятельная работа общим объемом 68 часов включает два домашних задания (объемом 14 и 12 часов), контрольную работу, а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Теория формальных языков
Аннотация к учебному плану каф. ИУ-5, 7
Объем – 51 час
Семестр 6 – зачет
Дисциплина относится к спецглавам высшей математики и включает в себя основы теории формальных языков. Целью изучения этой дисциплины является дальнейшее углубление специализированной математической подготовки студентов, специальность которых связана с разработкой и сопровождением программного обеспечения. Материал дисциплины является естественным продолжением курса дискретной математики, читаемом студентам кафедр ИУ-5, 7 в 3-м семестре.
КС-грамматики и КС-языки. Понятие порождающей грамматики, классификация грамматик. Контекстно-свободные грамматики (КС-грамматики), их классификация. Приведенная и нормальная формы КС-грамматики, алгоритмы преобразования. КС-язык как решение системы уравнений. КС-языки и регулярные языки. Лемма о разрастании для регулярных языков и КС-языков.
МП-автоматы. Автоматы с магазинной памятью (МП-автоматы). Язык, допускаемый МП-автоматом. Теорема о совпадении класса КС-языков и класса языков, допускаемых МП-автоматами. Детерминированные МП-автоматы. Замкнутость класса КС-языков. Сетевые грамматики Вудса.
Синтаксический анализ формальных языков. Основные стратегии синтаксического анализа КС-языков: нисходящий и восходящий анализ. Автоматные модели, лежащие в основе синтаксического анализа: магазинные преобразователи и расширенные МП-автоматы. Однопроходный нисходяший анализ. LL(k)-грамматики и LL(k)-анализаторы. Однопроходный восходящий анализ. LR(k)-грамматики. Грамматики предшествования. Параметрические грамматики и проблема беступикового однозначного анализа.
Семантика формальных языков. Формальные языки и ассоциативные исчисления. Примеры ассоциативных исчислений. Представление о семантике ассоциативного исчисления. Истинность, выполнимость, общезначимость. Подходы к определению семантики языков программирования: операциональный, денотационный и логический (аксиоматический). Применение методов формальной семантики к анализу программ.
Самостоятельная работа общим объемом 17 часов включает домашнее задание (объемом 12 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Уравнения математической физики и преобразование Фурье
Аннотация к учебному плану каф. РЛ-2, 3
Объем – 102 часа
Семестр 4 – экзамен
Дисциплина относится к спецглавам высшей математики и включает операционное исчисление и некоторые разделы уравнений математической физики. Содержание курса базируется на общем курсе высшей математики, читаемом на 1–3 семестрах. Основной задачей изучения курса является овладение методами операционного исчисления и уравнений математической физики, необходимыми для дальнейшей подготовки студентов специальностей РЛ-2, 3 (лазерная техника и технологии, оптико-электронные приборы и технологии).
Операционное исчисление. Преобразование Лапласа и его свойства. Основные теоремы операционного исчисления. Единичная функция Хевисайда. Изображение кусочно-гладких и периодических оригиналов. Свертка оригиналов. Теоремы разложения. Понятие слабой сходимости и слабого предела. Дельта-функция и ее изображение по Лапласу. Передаточная функция. Решение линейных дифференциальных уравнений с гладкой и кусочно-гладкой правой частью.
Ряды Фурье. Ортогональные системы функций. Ряд Фурье, коэффициенты Фурье. Свойство минимальности коэффициентов Фурье. Тригонометрический ряд Фурье как суперпозиция простых гармоник. Коэффициенты Эйлера — Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме. Спектральная последовательность.
Интеграл Фурье. Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье. Спектральная функция. Ряды Фурье и интеграл Фурье функции двух независимых переменных.
Волновое уравнение. Волновое уравнение как уравнение электромагнитных колебаний. Некоторые частные решения волнового уравнения (монохроматическая волна, плоская монохроматическая волна, сферическая монохроматическая волна). Уравнение Гельмгольца. Комплексная амплитуда гармонических колебаний как решение уравнения Гельмгольца. Формула Кирхгоффа.
Функции Бесселя. Уравнение Бесселя и его частные решения. Функции Бесселя, рекуррентные соотношения. Интегральное преобразование Фурье — Бесселя.
Самостоятельная работа общим объемом 34 часа включает два домашних задания (объемом по 12 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Управление движением
Аннотация к учебному плану каф. ФН-2
Объем – 102 часа
Семестр 7 – зачет
Дисциплина ориентирована на углубленную подготовку студентов специальности “Прикладная математика” и включает основы дифференциально-геометрического метода в нелинейной теории управления. Она базируется на разделах общего курса высшей математики, читаемых на 1 и 2 курсе, а также на курсах дифференциальной геометрии и устойчивости движения, читаемых студентам названной специальности.
Введение. Нелинейные динамические системы с управлением. Фазовое и расширенное фазовое пространство состояний, фазовые и интегральные кривые. Связь с векторными полями. Первые интегралы. Производная функции в силу системы и производная Ли. Коммутатор векторных полей. Алгебра Ли векторных полей.
Преобразование аффинных систем. Системы с управлением и выходом. Аффинные системы и замена зависимых переменных. Эквивалентные аффинные системы и канонические виды. Условия эквивалентности аффинной системы со скалярным управлением системе канонического вида в стационарном случае.
Локальные условия эквивалентности. Матрица управляемости аффинной системы и ее связь с регулярностью эквивалентной системы канонического вида. Локальные условия эквивалентности. Системы линейных однородных уравнений с частными производными первого порядка и их геометрическая интерпретация. Метод Якоби. Распределения и теорема Фробениуса. Случай нестационарных аффинных систем.
Структура фазовых пространств. Функции и их фазовые графики. Структура фазовой плоскости. Свойства фазовых графиков. Необходимые и достаточные признаки фазовых графиков. Построение фазовых графиков функций.
Терминальное управление. Задачи терминального управления. Множества достижимости и управляемость систем с управлением. Необходимые и достаточные условия достижимости и управляемости систем канонического вида и аффинных систем. Определение времени движения по фазовому графику. Задачи быстродействия. Построение программных решений задач терминального управления. Структурный анализ аффинных систем с одним управлением.
Минимально фазовые системы. Выход аффинной системы и его относительный порядок. Нормальная форма аффинной системы с выходом. Уравнения нулевой динамики. Минимально фазовые аффинные системы. Задача реализации заданного выхода и ее решение на основе концепции обратной задачи динамики.
Задача стабилизации. Задача стабилизации положений равновесия аффинных систем. Стабилизация минимально фазовых систем. Оценка области стабилизируемости.
Самостоятельная работа общим объемом 34 часа включает домашнее задание (объемом 16 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Устойчивость движения
Аннотация к учебному плану каф. ФН-2
Объем – 68 часов
Семестр 6 – зачет
Дисциплина является составной частью математической и естественно-научной подготовки специалиста по прикладной математике. Ее содержание базируется на курсах дифференциальных уравнений и линейной алгебры, читаемых во втором семестре. Также используются некоторые сведения из курса математического анализа, читаемого в 1-м и 2-м семестрах.
Введение. Постановка задачи. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову решения системы дифференциальных уравнений. Глобальная и локальная устойчивость, область притяжения, экспоненциальная устойчивость. Сведение задачи на исследование устойчивости решения системы дифференциальных уравнений к случаю тривиального решения.
Линейные системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Критерий Гурвица. Типы точек покоя для системы двух и трех линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Точки покоя нелинейных автономных систем. Исследование устойчивости по первому приближению. Понятие о типе точки покоя нелинейной системы.
Автономные системы. Положительно (отрицательно) определенные, знакоопределенные, радиально неограниченные функции. Теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости положений равновесия автономных систем.
Неавтономные системы. Положительно (отрицательно) определенные, знакоопределенные, радиально неограниченные функции, зависящие от независимой переменной. Равномерная устойчивость и равномерная асимптотическая устойчивость. Теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия неавтономной системы.
Функции сравнения. Классы функций сравнения, их свойства и использование в теории устойчивости. Лемма Барбалата, теоремы Лассаля — Йошизавы и Лассаля.
Приложения теории устойчивости. Устойчивость по части переменных. Устойчивость каскадно-связных систем. Устойчивость при наличии возмущений.
Самостоятельная работа общим объемом 17 часов включает домашнее задание (объемом 11 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса.
Численные методы
Аннотация к учебному плану каф. РЛ-1, 6
Объем – 85 часов
Семестр 6 – зачет
Дисциплина относится к спецглавам высшей математики и включает основы численных методов: элементы теории погрешностей, численное интегрирование и дифференцирование, численное решение дифференциальных уравнений. Дисциплина базируется на общем курса высшей математики, читаемом студентам в 1–4 семестрах и является важной составной частью специальной подготовки инженеров в области радиоэлектронных систем.
Введение. Теория погрешностей. Машинное представление чисел. Погрешности арифметических операций.
Численное дифференцирование и интегрирование. Численное дифференцирование. Оптимальный выбор шага численного дифференцирования. Методы численного интегрирования. Погрешности формул численного интегрирования. Формула Рунге.
Численное решение задачи Коши для уравнений первого порядка. Задача Коши для уравнения первого порядка. Методы Рунге — Кутты. Погрешность формул. Правило Рунге. Методы Адамса. Методы прогноз-коррекция. Задача Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Достоинства и недостатки методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений.
Численные методы решения краевых задач. Краевая задача для уравнения второго порядка. Методы пристрелки, конечных разностей, прогонки, конечных элементов решения краевой задачи. Вариационные методы решения краевой задачи. Методы решения краевых задач для систем уравнений.
Самостоятельная работа общим объемом 51 час включает два домашних задания (объемом по 10 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса и время на подготовку к проведению лабораторных работ.
Численные методы
Аннотация к учебному плану каф. РЛ-2, 3
Объем – 102 часа
Семестр 6 – экзамен
Дисциплина относится к спецглавам высшей математики и включает основы вычислительной математики. Учебный материал базируется на общем курсе высшей математики, читаемом на 1–3 семестрах. В результате изучения курса студент должен овладеть основами современных численных методов и получить навыки использования вычислительной техники для решения прикладных задач. Особое внимание уделено методологии проведения вычислительного эксперимента (в частности, проблеме выбора алгоритма, определению области его применимости, оценке качества получаемых результатов).
Предмет вычислительной математики. Математические модели, вычислительные алгоритмы. Роль вычислительной техники в современных научных исследованиях и решении научно-технических задач.
Интерполяция и приближение. Постановка задачи приближения функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяционная формула Ньютона. Многочлены Чебышева. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье. Наилучшее равномерное приближение. Интерполяция и приближение сплайнами.
Численное интегрирование. Простейшие квадратурные формулы. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул. Ортогональные многочлены и квадратурные формулы Гаусса.
Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Вычисление корней нелинейного уравнения. Метод Ньютона. Решение систем линейных и нелинейных уравнений. Прямые и итерационные методы. Выбор метода решения системы уравнений.
Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем. Разностные сетки и сеточные функции Аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем. Методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие задачи для дифференциальных уравнений. Интегро-интерполяционный метод, консервативные разностные схемы, вариационно-разностные методы (метод Ритца, Бубнова — Галеркина). Исследование вычислительного алгоритма на устойчивость.
Самостоятельная работа общим объемом 51 час включает домашнее задание (объемом по 12 часов), а также самостоятельную проработку теоретического материала курса и время на подготовку к проведению лабораторных работ.
