Перейти к списку | Аннотация | Содержание
Аннотация
Книга является десятым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете» и посвящена теории функций одного комплексного переменного. В ней уделено внимание вопросам, связанным с конформными отображениями, а также применению теории к решению прикладных задач. Приведены примеры и задачи из физики, механики и разных отраслей техники.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Учебник может быть полезен преподавателям и аспирантам.
Содержание
| Предисловие | ||
| Основные обозначения | ||
| 1. | Комплексная плоскость | |
| 1.1. | Алгебраическая форма записи комплексного числа | |
| 1.2. | Тригонометрическая форма записи комплексного числа | |
| 1.3. | Бесконечно удаленная точка. Сфера Римана | |
| 1.4. | Геометрия на комплексной плоскости | |
| 1.5. | Задание множества точек на комплексной плоскости | |
| Вопросы и задачи | ||
| 2. | Последовательности и ряды комплексных чисел | |
| 2.1. | Последовательности комплексных чисел | |
| 2.2. | Комплексные числовые ряды | |
| 2.3. | Степенные ряды | |
| 2.4. | Круг сходимости | |
| 2.5. | Двусторонний степенной ряд | |
| Вопросы и задачи | ||
| 3. | Функции комплексного переменного | |
| 3.1. | Определение и геометрическое представление функции комплексного переменного | |
| 3.2. | Предел и непрерывность функций комплексного переменного | |
| 3.3. | Элементарные функции комплексного переменного | |
| 3.4. | Многозначная функция Arg z | |
| 3.5. | Логарифмическая функция | |
| 3.6. | Обратные тригонометрические функции | |
| Вопросы и задачи | ||
| 4. | Дифференцирование функций комплексного переменного | |
| 4.1. | Производная функции комплексного переменного | |
| 4.2. | Необходимые условия дифференцируемости | |
| 4.3. | Достаточные условия дифференцируемости | |
| 4.4. | Условия Коши - Римана в полярных координатах | |
| 4.5. | Правила дифференцирования функций комплексного переменного | |
| 4.6. | Аналитические функции | |
| 4.7. | Геометрический смысл аргумента и модуля производной | |
| 4.8. | Теорема о единственности аналитической функции | |
| 4.9. | Восстановление аналитической функции | |
| по ее действительной или мнимой части | ||
| 4.10. | Понятие об аналитическом продолжении | |
| Вопросы и задачи | ||
| 5. | Интегрирование функций комплексного переменного | |
| 5.1. | Понятие и вычисление интеграла от функции комплексного переменного | |
| 5.2. | Интегральные теоремы Коши | |
| 5.3. | Независимость интеграла от пути интегрирования | |
| 5.4. | Формула Ньютона - Лейбница | |
| 5.5. | Интегральная формула Коши | |
| 5.6. | Высшие производные аналитической функции | |
| 5.7. | Достаточные условия аналитичности функции | |
| Д.5.1. | Комплексный потенциал плоского векторного поля | |
| Вопросы и задачи | ||
| 6. | Функциональные ряды на комплексной плоскости | |
| 6.1. | Равномерная сходимость функциональных рядов | |
| 6.2. | Свойства равномерно сходящихся рядов | |
| 6.3. | Ряд Тейлора | |
| 6.4. | Разложение функций в ряд Тейлора | |
| 6.5. | Ряд Лорана | |
| 6.6. | Нахождение всевозможных разложений функции по заданным степеням | |
| 6.7. | Связь ряда Лорана с рядом Фурье | |
| Вопросы и задачи | ||
| 7. | Нули и особые точки аналитической функции | |
| 7.1. | Нули аналитической функции | |
| 7.2. | Изолированные особые точки | |
| 7.3. | Бесконечно удаленная точка как особая | |
| 7.4. | Классификация аналитических функций по их особым точкам | |
| Д.7.1. | Физическое толкование полюсов аналитической функции | |
| Вопросы и задачи | ||
| 8. | Вычеты в изолированных особых точках | |
| 8.1. | Вычет в конечной точке | |
| 8.2. | Вычисление вычета в полюсе | |
| 8.3. | Вычет в бесконечно удаленной точке | |
| 8.4. | Применение вычетов для вычисления интегралов | |
| 8.5. | Логарифмический вычет | |
| Д.8.1. | Вычисление интегралов от действительных функций | |
| Вопросы и задачи | ||
| 9. | Геометрические принципы теории функций комплексного переменного | |
| 9.1. | Взаимно однозначные отображения | |
| 9.2. | Свойства конформных отображений | |
| 9.3. | Теорема Римана | |
| 9.4. | Принцип соответствия границ | |
| 9.5. | Принцип максимума модуля функции | |
| 9.6. | Принцип симметрии | |
| Вопросы и задачи | ||
| 10. Конформные отображения | ||
| 10.1. | Линейное отображение | |
| 10.2. | Дробно-линейное отображение | |
| 10.3. | Целая степенная функция | |
| 10.4. | Показательная функция | |
| 10.5. | Функция Жуковского | |
| 10.6. | Тригонометрические и гиперболические функции | |
| 10.7. | Однозначные ветви многозначных обратных функций | |
| Д.10.1. | Отображение полуплоскости на внутренность прямоугольника | |
| Д.10.2. | Интеграл Кристоффеля - Шварца | |
| Вопросы и задачи | ||
| 11. Прикладные задачи | ||
| 11.1. | Предварительные замечания | |
| 11.2. | Непосредственное использование известного комплексного потенциала | |
| 11.3. | Обтекание цилиндрического тела | |
| 11.4. | Течение жидкости в каналах | |
| 11.5. | Задачи различного физического содержания | |
| Список рекомендуемой литературы | ||
| Предметный указатель | ||
