Глава 5. Переходные процессы в линейных цепях.
Содержание главы:
- 5.1. Введение
- 5.2. Включение цепи r, L к источнику постоянного напряжения
- 5.3. Короткое замыкание цепи с резистором и индуктивностью
- 5.4. Включение цепи r, L к источнику гармонического напряжения
- 5.5. Включение в цепь r, C к источнику постоянного напряжения
- 5.6. Короткое замыкание в цепи с резистором и емкостью
- 5.7. Включение цепи r, C к источнику синусоидального напряжения
5.1. Введение.
В электрических цепях могут происходить включения и выключения пассивных и активных ветвей, короткие замыкания отдельных участков, различного рода переключения, внезапное изменение параметров и т.д. Такие изменения, называемые коммутационными изменениями, являются причиной перехода цепи из одного установившегося состояния к другому. Если к источнику подключаться цепь, ни один участок которой не обладает сколько-нибудь заметной индуктивностью или емкостью, в цепи практически мгновенно устанавливаться тот режим, который был изучен в главе 2. Но если хоть один участок цепи обладает индуктивностью или емкостью, токи и напряжения во всех участках цепи достигают своих новых, установившихся, значений постепенно. Процесс перехода цепи из одного установившегося режима к другому, называется переходным процессом, а сопутствующие ему токи и напряжения на отдельных участках цепи - переходными напряжениями и токами. Причина этого явления заключается в том, что возникновение электрического поля в емкости и магнитного поля в индуктивности связано с накоплением в этих полях определенных количеств энергии, а это накопление не может происходить мгновенно. Так, накопление в электрическом поле конденсатора запаса энергии С u2/2 требует сообщения ему заряда q=Cu. Если конденсатор должен получить этот заряд в момент коммутации мгновенно, то ток в цепи i=C dU/dt,t=0 должен быть бесконечно велик и в цепи, всегда имеющей конечное сопротивление, не будет соблюдаться второй закон Кирхгофа. При накоплении запаса энергии L i2/2 в магнитном поле индуктивного участка цепи ток должен измениться от 0 до I. Если допустить, что в такой цепи в момент коммутации изменение тока происходит мгновенно, то напряжение на индуктивности Ldi/dt,t=0 будет равно бесконечности, и в цепи не будет соблюдаться второй закон Кирхгофа. Вышеуказанное позволяет сформулировать основные законы коммутации:
В любой ветви с индуктивностью ток в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел до коммутации, и дальше начнет изменяться именно с этого значения
![](for/image007.png)
В любой ветви напряжение на емкости сохраняет в момент коммутации то значение, которое оно имело до коммутации, и дальше начнет изменяться именно с этого значения
![](for/image008.png)
Здесь iC(0-) и iL(0-) - напряжение на емкости и ток на индуктивности в момент времени непосредственно перед коммутацией, iC(0+) и iL(0+) - соответственно в момент времени, непосредственно следующий за коммутацией.
Основой при расчете переходных процессов служат дифференциальные уравнения, составленные для конкретной электрической цепи в соответствии с законами Кирхгофа. Важно сразу отметить, что для линейных цепей с сосредоточенными параметрами, все уравнения являются линейными с постоянными коэффициентами. Примем, что коммутирующие устройства - ключи - являются идеальными.
Решение линейных дифференциальных уравнений при заданных с исчерпывающей полнотой начальных условиях часто удобно представлять в виде суммы двух функций (принцип суперпозиций):
![](for/image013.png)
из которых первая функция f1(t) представляет собой частное решение заданного дифференциального уравнения, а вторая f2(t) - общее, удовлетворяет однородному уравнению (правая часть равна нулю). Частное решение выражает принужденный режим, задаваемый источником. Если источник есть постоянная величина или периодическая функция времени, тогда такой режим будет одновременно и установившемся. Общее решение выражает поведение цепи при отсутствии внешних источников. Функции, определяющие общее решение, называют свободными составляющими. Все сказанное можно с учетом (5.3) отразить в общепринятой форме запаси, например, для переходного тока i=ice+iпр напряжения u=u+uпр и сразу подчеркнуть, что законом коммутации должно удовлетворять только полное решение.
Переходные процессы будем исследовать классическим методом, который заключается в интегрировании дифференциальных уравнений, связывающих токи и напряжения цепи. В результате интегрирования появляться постоянные, которые определяются из начальных условий. Начальными условиями называют значения действующих токов в индуктивностях и напряжений на емкостях, т.е. те величины, которые в момент коммутации (t=0) не изменяются скачком.
Начнем изучение переходных процессов с расчета простейших цепей, содержащих резисторы и только один реактивный элемент, т.е. индуктивность или емкость.
5.2. Включение цепи r, L к источнику постоянного напряжения.
![](img/lec5_1.jpg)
Рассмотрим включение источника постоянного напряжения u(t)=U в цепь последовательно соединенных r, L элементов рис. 5.1. Для послекоммутационного периода ( t>0 и t=0), применив закон Кирхгофа, получим:
![](for/image026.png)
а затем составим дифференциальные уравнения рассматриваемой цепи
![](for/image027.png)
полагая
![](for/image028.png)
Решение этого уравнения, согласно (5.3) можно считать известным:
![](for/image029.png)
Первое слагаемое iпр есть частное решение уравнения (5.6) и выражает принужденное (установившееся) значение равное U/r. Второе слагаемое ice=Aept представляет собой решение однородного уравнения, т.е. уравнения (5.5) при равенстве нулю правой части. Здесь p и A - соответственно корень характеристического уравнения и постоянная интегрирования. Для рассматриваемой цепи p=-r/L, а постоянная A определяется по начальному току в индуктивности i(0+). Так как ток в индуктивности до момента коммутации отсутствовал (нулевые начальные условия), то при t=0 для полного решения (5.6) имеет место.
![](for/image037.png)
Именно здесь проявилось действие закон коммутации (5.1), распространено на полное решение. Окончательно из (5.6) находим, что
![](for/image038.png)
где
![](for/image039.png)
- постоянная времени.
Переходное напряжение на индуктивности можно найти из формулы
![](for/image040.png)
Графики переходного тока и напряжения, построенные по формулам (5.8) и (5.9) приведены на рис. 5.2.
![](img/lec5_2s.jpg)
Чтобы оценить влияние параметров цепи на переходные процесс, свободную составляющую тока ice для различных моментов времени, выраженных через t.
Тогда
![](for/image043.png)
![](for/image044.png)
и.т.д.
Следовательно постоянная времени t равна промежутку времени в течении которого свободная составляющая тока убывает в е раз. Практически можно считать, что переходный процесс заканчивается спустя t=(4…5)τ.
5.3. Короткое замыкание цепи с резистором и индуктивностью.
Рассмотрим теперь цепь, питаемую от источника постоянного тока (рис. 5.3), в которой после коммутации (замыкания ключа) индуктивность с током (i(0-)≠0) оказывается замкнутой на резистор r2.
![](img/lec5_3.jpg)
В образовавшемся при этом контуре благодаря энергии, запасенной в магнитном поле индуктивности, ток исчезает мгновенно: ЭДС самоиндукции, обусловленная убыванием магнитного потока, стремиться поддержать ток в контуре за счет энергии исчезающего магнитного поля. Принужденный ток в данном случае равен нулю, переходной ток в контуре являться свободным, постепенно приближающимся к нулю. Свободный ток удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению:
![](for/image048.png)
общее решение которого:
![](for/image049.png)
A - постоянная интегрирования, вычисляемая из начальных условий:
![](for/image050.png)
где iпр(-0) - ток индуктивности в момент, непосредственно предшествующей короткому замыканию. При t=0 из (5.10) имеем:
![](for/image052.png)
т.е.
![](for/image053.png)
На рис. 5.4 изображены графики спада тока и напряжения на индуктивности
![](img/lec5_4s.jpg)
![](for/image054.png)
С энергетической точки зрения процесс короткого замыкания цепи r, L характеризуется тем, что вся запасенная в индуктивности до коммутации энергия ее магнитного поля
![](for/image057.png)
в течение переходного процесса выделяется в резисторе r в виде тепла.
5.4. Включение цепи r, L к источнику гармонического напряжения.
Пусть источник с напряжением
![](for/image058.png)
включается в цепь с последовательным соединением резистора r и индуктивности L.
![](for/image059.png)
Для решения дифференциального уравнения цепи для послекоммутационного периода ( t>0 и t=0 ) следуя общему методу, находим сначала частное решение, хорошо известное из теории синусоидальных токов.
![](for/image060.png)
Затем записываем уже известное решение однородного дифференциального уравнения цепи r, L содержащее постоянную интегрирования
![](for/image061.png)
и, наконец, полное решение в виде
![](for/image062.png)
Далее, устанавливаем начальные условия для тока в индуктивности. Так как цепь была разомкнута до коммутации, то имеем нулевые начальные условия.
![](for/image063.png)
При t=0 из (5.18) устанавливаем, что
![](for/image064.png)
а полный переходной ток
![](for/image065.png)
Его график представлен на рис. 5.5
![](img/lec5_5s.jpg)
5.5. Включение в цепь r, C к источнику постоянного напряжения.
Пусть при t=0 незаряженная емкость C подключается через резисторr к источнику постоянного напряжения u(t)=U (нулевые начальные условия uc(0)=0) рис. 5.6
![](img/lec5_6.jpg)
По второму закону Кирхгофа уравнение для послекоммутационного периода имеет вид: ui+uc=U, где ui, uc - соответственно переходной ток в цепи и переходное напряжение на емкости. С учетом того, что i=C (duc)/dt получаем дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи.
![](for/image073.png)
Решение этого уравнения, согласно (5.3), известно
![](for/image074.png)
Первое слагаемое uc чн=U - частное решение уравнения (5.21), выражает принужденное значение, когда емкость зарядиться до напряжения источника. Второе слагаемое uc оо=Aept - решение однородного дифференциального уравнения, полученные из (5.21), и содержит корень характеристического уравнения, равный для этой цепи p=-1/(rC), и постоянную интегрирования A, вычисляемую из начальных условий. Для любой цепи с резистором и емкостью они устанавливают на основании второго закона коммутации. Так при t=0 из (5.22) находим
![](for/image079.png)
отсюда A=-U и переходное напряжение на емкости будет изменяться по закону
![](for/image081.png)
Для тока получим
![](for/image082.png)
![](img/lec5_7s.jpg)
5.6. Короткое замыкание в цепи с резистором и емкостью.
Пусть емкость С была заряжена от источника постоянного напряжения да напряжения uc(0-)=U ( рис. 5.8) Для послекоммутационного периода t≥0 в короткозамкнутом контуре принужденное напряжение на емкости и принужденный ток в цепи будут равны нулю, и, по определению, в нем может существовать только свободный режим.
![](img/lec5_8.jpg)
![](for/image085.png)
Постоянная интегрирования A находится из начальных условий при t=0:
![](for/image086.png)
Для напряжения на емкости теперь получим
![](for/image087.png)
, а для тока
![](for/image088.png)
С энергетической точки зрения режим короткого замыкания цепи rc характеризуется переходом энергии, запасенной до коммутации в электрическом поле емкости
![](for/image090.png)
в тепло,
![](for/image091.png)
Графики изменения uc, и i приведены на рис. 5.9
![](img/lec5_9s.jpg)
5.7. Включение цепи r, C к источнику синусоидального напряжения.
Этот случай отличается от рассмотренного в п. 5.5. только тем, что источник представлен гармонической функцией, т.е., например,
![](for/image093.png)
Принужденное напряжение на емкости
![](for/image094.png)
а переходное напряжение на емкости
![](for/image095.png)
Если принять, что емкость не была заряжена, то постоянная интегрирования определяется при нулевых начальных условиях, т.е. uc(0-). При t=0
![](for/image097.png)
Отсюда:
![](for/image098.png)
а для переходного напряжения на емкости получим
![](for/image099.png)
Кривая изменения напряжения изображена на рис. 5.10
![](img/lec5_10s.jpg)
Теперь перейдем к рассмотрению переходных процессов в электрической цепи, состоящей из последовательно соединенных r, L, C элементов. Здесь по аналогии с r, L и r, C цепями возможны случаи, когда цепь подключается к источнику постоянного напряжения или к источнику переменного напряжения, в частности, синусоидального напряжения, или цепь образует замкнутый контур без источников, но емкость к моменту коммутации была заряжена. Составленный по второму закону Кирхгофа дифференциальных уравнений для каждого из названных случаев имеет решение в форме (5.3), где первое слагаемое выражает принужденный режим, задаваемый видом функции в правой части, а второе выражает свободный режим в цепи при отсутствии внешних источников. Именно здесь и проявляется отличие рассматриваемой цепи, состоящее в том, что наличие в ней одновременно двух реактивностей разных знаков приводит к появлению квадратного характеристического уравнения и двух его корней p1 и p2. Теперь переходное напряжение на емкости равно
![](for/image102.png)
а ток в той же ветви
![](for/image103.png)
Две постоянные интегрирования A1 и A2 определяться из двух начальных условий в сочетании с двумя законами коммутации. Так, если непосредственно перед коммутацией заданы Uc(0-) и iL(0-) т.е. начальные условия, то выполнение законов коммутации приводит к равенствам
![](for/image108.png)
![](for/image109.png)
где Uc чн(0+) и ic n0(0+) - принужденные значения для момента времени непосредственно после коммутации. Когда они известны, так же как начальные условия Uc чн(0-) и ic n0(0-) и корни p1 и p2 можно найти напряжения A1 и A2 и завершить решения (5.33) и (5.34). Проиллюстрируем все вышеизложенное на случае разряда емкости на цепь r , L (рис. 5.11).
![](img/lec5_11.jpg)
Отсутствие источников питания означает, что в цепи для послекоммутационного периода t≥0 имеет место свободный режим и по второму закону Кирхгофа можно установить, что
![](for/image115.png)
Т.к.
![](for/image116.png)
то при подстановке ice в равенство для Uc чн получим
![](for/image117.png)
Для решения этого дифференциального уравнения составим характеристической многочлен
![](for/image118.png)
Характер свободного режимам будет определяться видом корней этого уравнения, т.е. только параметрами цепи r, L, C. Так как эти корни определяться формулой
![](for/image119.png)
то характер свободного процесса зависит от знака подкоренного выражения.
Рассмотри возможных три случая.
Случай 1
Пусть d> ω0, тогда согласно (5.40) корни характеристического уравнения p1 и p2 - отрицательные действительные числа, что делает свободный процесс обязательно затухающим.
Так как при разряде емкости принужденные напряжения и токи равны нулю, то полные их значения, как это следует из (5.33) и (5.34) будут равны свободным UC=UC CB, i=ice. Из начальных условий определяем значения постоянных интегрирования: при t<0, uc (0-)=U0 и i(0-)=0. Воспользовавшись равенством (5.35) и (5.36) получим
![](for/image126.png)
И окончательно
![](for/image127.png)
![](for/image128.png)
![](for/image129.png)
Кривые изменения напряжений на емкости и на индуктивности, тока и их составляющих приведены на рис. 5.12
Случай 2
Пусть d= ω0, тогда корни характеристического уравнения станут одинаковыми p=p1=p2 и общее решение уравнения (5.38) дается в этом случае формулой
![](for/image132.png)
А для свободного тока
![](for/image133.png)
Подставляя значения A1 и A2 в формулы (5.44) и (5.45) найдем ток и напряжение на емкости
![](for/image134.png)
Определяем также напряжение на индуктивности
![](for/image135.png)
Кривые изменения i, UL, UCC по форме не отличаться от приведенных на рис 5.12
![](img/lec5_12.jpg)
Случай 3
Если d< ω0, то корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные, а решение уравнения (5.38) при комплексных корнях его характеристического уравнения может быть записано в виде
![](for/image139.png)
![](for/image140.png)
где A и χ - постоянные интегрирования
так как начальные условия такие же как в двух предыдущих случаях, то по формулам (5.49) получим
![](for/image142.png)
![](for/image143.png)
![](for/image144.png)
подставляя значения A, χ из (5.50) в уравнения (5.49) после некоторых преобразований получаем
![](for/image145.png)
![](for/image146.png)
![](for/image147.png)
Где
![](for/image148.png)
Кривые изменений UC, i показаны на рис. 5.13
![](img/lec5_13.jpg)
Основываясь на этих материалах можно рекомендовать обучающимся самостоятельно рассмотреть случаи выключения цепи r, L , C к источнику постоянного или переменного напряжения.