Глава 2. Электрические цепи однофазного синусоидального тока.

2.1. Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины.

Синусоидальным током называют ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (рис. 2.1):

Ток i(t) называют мгновенным. Максимальное значение тока называют амплитудой и обозначают I_m. Период T- это время, за которое совершается одно полное колебание. Частота равна числу колебаний в секунду f=1/T [Гц].

Угловая частота ω=2⋅π⋅f=2⋅π/T. Аргумент синуса, т.е. (ω⋅t+ψ), называеться фазой. Фаза характеризует состояние колебания в данный момент времени t. Начальная фаза тока-ψ.

Любая синусоидальная функция характеризуется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой. Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот, до нескольких килогерц, получают с помощью синхронных генераторов (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых и полупроводниковых генераторов, подробно рассматриваемых в разделе – электроника.

↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

2.2. Среднее и действующее значение синусоидального тока и ЭДС.

Принято среднее значение функции времени определять за период:

Для синусоидальной функции среднее значение за период равно нулю. Используется также понятие среднего значения синусоидальной функций за полпериода:

Аналогично среднее значение ЭДС за полпериода: E_ср=0.638⋅E_m.

Действующим значением синусоидальной функции называется ее среднеквадратичное значение за период:

Большинство измерительных приборов амперметров и вольтметров показывают действующее значение измеряемой величины.

↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

2.3. Сложение синусоидальных функций времени. Векторные диаграммы. Основы символического метода расчета.

Пусть требуется сложить два тока:

Тригонометрическому уравнению (1) можно дать геометрическую интерпретацию, если каждому синусоидальному значению поставить в соответствие вектор на плоскости в координатах X,Y (рис. 2.2):

Длиной вектора будет амплитуда тока, а фазой – начальная фаза синусоиды- ψ_k.

Совокупность векторов, соответствующая уравнениям для токов или напряжений, называется векторной диаграммой. Уравнению (1) можно поставить в соответствие другое уравнение, в котором каждая синусоида будет представлена в виде комплексного числа. Ток

можно записать по формуле Эйлера: С учетом (2) уравнение (1) примет вид: Уравнение (3) содержит два типа комплексных чисел: и оно может быть записано для каждой группы в отдельности, например: Исключая общие множители e^j⋅ω⋅t и 1/2⋅j получим: Комплексное число называется током в комплексной форме или комплексом тока по максимальному значению. Здесь I_m модуль комплекса по максимальному значению, а ψ фаза комплекса. Если за модуль комплекса принять не амплитудное, а действующее значение, то получим комплекс по действующим значениям I=I⋅e^j⋅ψ или просто комплекс тока.

Уравнение (5) для комплексов тока примет вид:

Геометрическая интерпретация уравнения (6) на комплексной плоскости приведена на рис.2.2б. Это так называемая комплексная векторная диаграмма является с учетом масштаба точным аналогом векторной диаграммы, приведенной на рис.2.2а. Комплекс тока I называют символом мгновенного тока i(t), а метод составления уравнений в комплексной форме – комплексным или символическим. Забегая вперед, отметим, что расчет цепей комплексным методом имеет значительные преимущества перед методом расчета по мгновенным значениям. ↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

2.4. Пассивные элементы электрической цепи.

Резистор, индуктивность и емкость являются пассивными элементами электрической цепи. Резистор r или активное сопротивление цепи – это элемент, в котором происходит рассеивание энергии в виде тепла или превращение электрической энергии в другой вид энергии: световую, химическую или механическую. Индуктивность L и емкость C называются реактивными элементами цепи, в них происходят накапливание энергии в виде магнитного или электрического поля; рассеивание энергии в таких элементах отсутствует. Идеальные элементы r,L,C на схеме обозначаются так, как это показано на рис. 2.3а.Б.

Реальные катушки индуктивности и конденсаторы рассеивают часть энергии - этот факт учитывается с помощью добавочных сопротивлений r_K для катушки и r_утечки для кондесаторов рис. 2.3б. В проволочных сопротивлениях и катушках индуктивности учитывают также межвитковую емкость C_M рис.2.3б.; в реальном конденсаторе можно учесть паразитную индуктивность подводящих контактов L_доб, рис.2.3б.

Рассматривая пассивные элементы цепи r, L, C ответим на следующие вопросы:

1. Каково соотношение между мгновенным значением тока и напряжения на каждом элементе? Каков вид векторов тока и напряжения?
2. Какова мгновенная мощность p(t) и накопленная энергия магнитного или электрического полей?
3. Каково соотношение тока и напряжения на элементе в комплексной форме, как изображаются вектора тока и напряжения на комплексной плоскости?

Под мгновенным значением мощности p(t) понимают произведение мгновенного значения напряжения u(t) на элементе цепи на мгновенное значение протекающего по элементу тока i(t):

↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

2.5. Резистивный элемент.

Пусть ток в резисторе:

Мгновенное значение напряжения на резисторе:

Векторы тока и напряжения на резисторе приведены на рис.2.4б:

Закон Ома для резистора имеет вид: I_m=U_m/R

Пусть м гновенная мощность p(t) равна:

Временные диаграммы i(t),u(t),p(t) приведены на рис. 2.4в. Мощность p(t) имеет постоянную составляющую или среднее значение, называемое активной мощностью P:

В комплексной форме напряжение на резисторе записывается в виде:

Векторы тока и напряжения на комплексной плоскости приведены на рис.2.4 г. ↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

2.6. Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока.

Индуктивный элемент учитывает явления накапливания энергии магнитного поля и характеризуется зависимостью потокосцепления ψ от тока i:

Мгновенное значение напряжения на индуктивности:

Здесь e_L - ЭДС, наводимая изменяющимся во времени магнитным потоком. Если принять ток в катушке i(t)=I_m⋅sin(ω⋅t+ψ) то напряжение запишется в виде: Векторы тока и напряжения показаны на рис. 2.5б. Напряжение опережает ток в катушке на угол π/2. Закон Ома для индуктивности: где - индуктивное сопротивление катушки, измеряется в Омах (Ом).

Сопротивление x_L - частотно зависимая величина, увеличивается с ростом частоты, рис. 2.5в.

Мгновенная мощность:

Мощность называется реактивной и измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАр). Временные диаграммы i(t),u(t),p(t) для катушки приведены на рис.2.5г. Средняя мощность равна нулю, т.е. рассеивание мощности или потери отсутствуют. Энергия магнитного поля катушки равна:

Временная диаграмма W(t), приведена на рис.2.5д. Максимальная энергия магнитного поля катушки:

Так как напряжение на катушке:

то

Здесь - индуктивное сопротивление в комплексной форме. Оператор отражает дифференцирование тока в формуле напряжения на индуктивности. Закон Ома в комплексной форме: Вектора тока и напряжения на комплексной плоскости приведены на рис.2.5е. ↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

2.7. Емкостный элемент в цепи синусоидального тока.

Емкость отражает явление накапливания энергии электрического поля и характеризуется зависимостью заряда q от напряжения:

Мгновенное значение напряжения на конденсаторе:

Пусть тогда напряжение на конденсаторе:

Это напряжение отстает от тока на угол π/2. Векторы тока и напряжения приведены на рис.2.6 б.

Закон Ома для емкости:

где - емкостное сопротивление, измеряется в омах (Ом). Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты. Зависимость X_C от частоты приведена на рис.2.6в. Мгновенная мощность на конденсаторе: Q- реактивная мощность конденсатора. Временные диаграммы i(t),u_C(t),p(t) приведены на рис.2.6г. Среднее значение мощности равно нулю, т.е. рассеивание мощности или потери отсутствуют. Энергия электрического поля в конденсаторе равна: График W_C(t) приведен на рис.2.5д. Максимальная энергия электрического поля равна:

Так как:

то Здесь j⋅x_C - емкостное сопротивление в комплексной форме. Закон Ома в комплексной форме:

Векторы Ú_C и Í приведены на рис. 2.5е.

↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

2.8. Последовательное соединение элементов r, L, C.

Для схемы рис.2.7 уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем в виде:

Пусть тогда:

Вектор тока и векторная диаграмма напряжений приведены на рис.2.8 Векторы напряжений на активном и реактивном элементах ортогональны, а векторы напряжений на L и C смещены на π

В комплексной форме уравнение (8) примет вид:

Здесь

На комплексной плоскости сопротивления r, j⋅x_L, -j⋅x_C, Z – образуют треугольник сопротивления, рис. 2.9.

Если сопротивления умножить на Í, получим диаграмму напряжений, рис. 2.10.

Сравнивая уравнения (8) и (9), отметим, что дифференциальные уравнения (8) после замены мгновенных значений их комплексными символами переводится в уравнение алгебраическое (9). Это одно из преимуществ комплексного метода расчета.Введение понятия комплексного сопротивления, позволяет написать закон Ома для всей цепи в комплексной форме:

Таким образом, для целей переменного тока можно составлять уравнения, по структуре сходной с уравнениями для цепей постоянного тока. В современных условиях контроль над технологическими процессами, потреблением электрической энергии, режимом работы электрооборудования, измерением неэлектрических величин осуществляется с помощью электроизмерительных приборов. Эти приборы измеряют ток, напряжение, мощность, частоту, электрическую энергию и т.д.

↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

2.9. Параллельное соединение элементов r, L, C.

Для схемы рис.2.11 составим уравнение по первому закону Кирхгофа для мгновенных значений:

Если то Здесь

Единица измерения проводимостей - сименс (Сим). Векторная диаграмма токов приведена на рис. 2.12.

Уравнение (11) в комплексной форме: Здесь

Проводимости g, -j⋅b_L, j⋅x_C, Y образуют треугольник проводимости, рис. 2.13.

Комплексная векторная диаграмма токов для уравнения (12) приведена на рис. 2.14.

2.9.1. Мощность в цепи синусоидального тока. Комплексная мощность.

Пусть в цепи (рис. 2.15) ток равен

Мгновенное напряжение будет сдвинуто по отношению к току на угол ψ, отличный от 0 и ±π/2. Мгновенная мощность для этой цепи примет вид: тогда: Выразим сопротивления через модуль Z: Подставив (14) в (13), получим:

Временные диаграммы i(t),u(t),p(t) приведены на рис. 2.16.

Мощность p(t) имеет постоянную составляющую, т.е. среднюю мощность, или активную мощность: и переменную составляющую. Амплитуда переменной составляющей

называется полной мощностью, измеряется в вольт-амперах. Мощности P и S связаны по закону треугольника мощностей, рис. 2.17.

Третья составляющая в этом треугольнике – мощность реактивная: Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных; полезная мощность измеряется ваттметром.

Пример.

График мгновенной мощности приведен на рис. 2.19.

Максимальное и минимальное значения мощности соответственно равны 800 и 200 ВА. Определить полную активную и реактивную мощности цепи.

Решение:

Размах значений мощности 1000 ВА, амплитудное значение 500ВА, это полная мощность S. Среднее значение мощности:

Реактивная мощность:

Отношение активной мощности к полной, (рис.2.17) равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности:

Для лучшего соотношения между мощностью электрической машины и других приборов и их габаритными размерами коэффициент мощности стремятся сделать максимально возможным. Высокий коэффициент мощности желателен для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям. Чтобы выразить мощность через комплексы токов и напряжений воспользуемся следующим соображением: пусть заданы комплексы Активная мощность должна быть равна: где Отсюда следует, что при определении комплекса мощности фаза тока должна быть взята с обратным знаком, т.е. комплекс тока должен быть заменен на сопряженный. Полная комплексная мощность: ↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

2.10. Законы Кирхгофа и уравнение энергетического баланса в комплексной форме.

Первый закон Кирхгофа: Второй закон Кирхгофа: Уравнения энергетического баланса: ↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

2.11. Резонанс в цепях синусоидального тока.

Реактивные сопротивления и проводимость являются частотно-зависимыми величинами. Следовательно, при последовательном или параллельном соединении элементов L и C возможна на какой-то частоте полная компенсация реактивных сопротивлений или проводимостей. Режим, при котором наступает компенсация, называют резонансом. При резонансе входное сопротивление цепи становится активным, входное напряжение совпадает по фазе с входным током, а полная мощность будет активной. Угловая частота, ω₀, при которой наступает резонанс, называется резонансной или собственной угловой частотой цепи. Различают две разновидности резонанса: резонанс напряжений и резонанс токов.

2.11.1. Резонанс напряжений.

Может возникнуть в цепи с последовательным соединением L и C рис. 2.20а.

Для этой цепи запишем: Условие резонанса: откуда резонансная частота . Настройку цепи в резонанс, изменение параметров цепи при частотах, отличных от резонансной можно увидеть, если построить частотные характеристики сопротивлений, тока в цепи и напряжений на r,L,C. На рис. 2.20б, в, г приведены частотные характеристики реактивных сопротивлений суммарного реактивного сопротивления: модуля полного сопротивления: модуля входного тока: а также АЧХ напряжений:

По графику j⋅x_Σ(ω) определена резонансная частота ω₀, по графику Z(ω) можно увидеть, что сопротивление цепи при резонансе минимально и равно активному сопротивлению, по графику I(ω) - что ток в цепи при резонансе максимален. Графики U_r(ω), U_L(ω), U_C(ω) имеют ярко выраженный избирательный характер, т.е. имеют максимальные значения на резонансной частоте или вблизи нее. Можно также отметить, что напряжения U_C, U_L при резонансе могут превышать значение входного напряжения. Это хорошо иллюстрируется с помощью векторных диаграмм напряжения приведенных на рис.2.20д, е, ж при частотах ω≤ω₀, ω=ω₀ и ω≥ω₀. Обратите также внимание на значения угла φ на этих частотах и сопоставьте эти значения с характером реактивных сопротивлений на соответствующих частотах. При частотах ω≤ω₀, реактивное сопротивление носит емкостной характер и cos(φ)≤0.

2.11.2. Резонанс токов.

Может возникнуть в цепи с параллельным соединением L и C рис. 2.21а.

Для этой цепи запишем уравнение по первому закону Кирхгофа: Компенсация реактивных проводимостей и реактивных токов: произойдет на резонансной частоте Для анализа явления резонанса токов построим частотные характеристики реактивных проводимостей, рис.2.21б, модуля полной проводимости: модуль полного тока:

Здесь отмечена резонансная частота, полная проводимость цепи при резонансе минимальна и полный ток минимален. Векторные диаграммы токов, построенные для частот ω≤ω₀, ω=ω₀ и ω≥ω₀ рис. 2.21е, д, ж, позволяют убедиться, что токи в катушке и конденсаторе могут значительно превышать полный ток.

↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

2.12. Резонанс напряжений и токов в разветвленных цепях.

Мы рассмотрели резонанс в последовательном и параллельном контурах с идеальными элементами L и C. Рассмотрим другие более сложные примеры. Для цепи рис. 2.22 запишем условие резонанса, определим резонансную частоту и ток в цепи.

Входные сопротивления цепи: Выделим действительные и мнимые части сопротивлений: Компенсация реактивных сопротивлений произойдет на частоте ω₀: Входное сопротивление при резонансе минимально и равно: Входной ток при резонансе максимален и равен:

Для цепи, приведенной на рис.2.23 , возможен резонанс токов. Запишем входную проводимость цепи:

Выделим действительные и мнимые части проводимостей: Условие резонанса: Входной ток:

В разветвленных цепях с L и C возможны несколько резонансов. Так в цепи рис. 2.24 возможны и резонанс токов в ветвях L,C и резонанс напряжений для всей цепи.