Глава 1. Электрические цепи постоянного тока.

1.1. Основные понятия об электрической цепи.

Электрической цепью называют совокупность гальванически соединенных друг с другом источников электрической энергии и ее потребителей (нагрузок), в которых может возникать электрический ток. С помощью источников тот или иной вид энергии (энергия сжигаемого топлива, падающей воды, атомная и химическая энергия и т.д.) преобразуется в электрическую энергию.

Приемники, наоборот, преобразуют электрическую энергию в другие ее виды (механическую, тепловую, химическую, энергию светового излучения и т.д.).

Графическое изображение электрической цепи с помощью условных обозначений ее элементов называется электрической схемой цепи.

Электрические цепи подразделяются на разветвленные и неразветвленные. Простейшая неразветвленная цепь представлена на рис.1.1. Во всех элементах неразветвленной цепи действует один и тот же ток. Разветвленная цепь (рис.1.2) имеет в своем составе ветви, узлы, контуры. Ветвь - это участок цепи, состоящий из последовательно соединенных элементов и заключенный между двумя узлами. В каждой ветви существует свой ток.

Узел - это точка в электрической схеме цепи, где гальванически соединяются не менее трех ветвей. Любой замкнутый путь на схеме называется контуром. Независимым называется контур, содержащий хотя бы одну ветвь, не включенную в иной контур.

Пример разветвленной электрической цепи приведен на рис.1.2. В схеме два узла обозначенные буквами «а» и «b», три ветви, расположенные между узлами и два независимых контура.

↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

1.2. Ток, напряжение и мощность в электрической цепи.

Электрический ток и напряжение являются основными величинами, характеризующими состояние электрических цепей. Электрический ток в проводниках представляет явление упорядоченного движения электрических зарядов под действием электрического поля. Под словами ток понимают также интенсивность или силу тока, измеряемую количеством электрического заряда q, прошедшего через поперечное сечение проводника в единицу времени:

где Δq - электрический заряд, прошедший за время Δt через поперечное сечение проводника.

Следовательно, ток характеризует скорость изменения заряда во времени.

В системе СИ заряд измеряется в кулонах (Кл), время - в секундах, а ток - в амперах (А).

Ток является скалярной алгебраической величиной, знак которой зависит от направления движения одноименных зарядов, а именно условно принятого положительного заряда. Для однозначного определения знака тока достаточно произвольно выбрать одно из двух возможных направлений за положительное, которое отмечается стрелкой (см. рис.1.2). Перед началом анализа электрической цепи необходимо отметить во всех ветвях положительные направления токов, выбор которых может быть произвольным. Закон изменения тока во времени может быть выражен функцией времени произвольной формы.

Постоянным называется ток, значение которого неизменно во времени при неизменных параметрах электрической цепи. Постоянный ток принято обозначать буквой I.

Прохождение электрического тока в цепи связано с преобразованием или потреблением энергии. Для определения энергии, затрачиваемой при перемещении заряда между двумя рассматриваемыми точками проводника, вводят новую величину - напряжение.

Электрическим напряжением между двумя точками называют количество энергии, затрачиваемой на перемещение заряда из одной точки в другую.

где W – энергия электрического поля. При измерении энергии в джоулях (Дж) и заряда в кулонах (Кл) напряжение измеряется в вольтах (В).

Для однозначного определения знака напряжения между двумя выводами рассматриваемого участка цепи одному из выводов условно приписывают положительную полярность, которую отмечают либо знаком "+", либо стрелкой, направленной от вывода (рис.1.3). Напряжение положительно, если его полярность совпадает с выбранной.

Обычно условно положительную полярность напряжения выбирают согласованной с выбранным положительным напряжением тока, когда стрелки для тока и напряжения совпадают. В цепях постоянного тока напряжение принято обозначать буквой U.

Из определения напряжения (1.2) получается выражение энергии W, затраченной на перемещение заряда q на участке цепи с напряжением U к моменту времени t :

Дифференцирование этого равенства во времени дает выражение мгновенной мощности p - скорости изменения энергии во времени :

Мощность измеряется в Ваттах (Вт). Мощность в электрической цепи постоянного тока обозначается буквой P и равна P=UI. Она является алгебраической величиной, знак которой определяется знаком напряжения и тока: при совпадении этих знаков мощность положительна (Р > 0), что соответствует потреблению энергии в рассматриваемом участке цепи; при несовпадении знаков тока и напряжения мощность отрицательна (P < 0), что означает выделение ее из участка цепи (такой участок является источником энергии).

↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

1.3. Источники в электрических цепях.

Под источником в электротехнике понимают электротехническое устройство, производящее электрическую энергию и питающее электрическую цепь. Источники являются причиной появления токов и напряжений в цепи. Электрическая энергия постоянного тока может быть получена путем преобразования различных видов энергии: химической (гальванические элементы и аккумуляторы), механической (генераторы постоянного тока), тепловой (термоэлектрогенераторы), лучистой, например, световой (солнечные батареи). Все источники электрической энергии характеризуются определенным значением либо электродвижущей силы Е (э.д.с.)-источники напряжения, либо тока I-источники тока. В источниках (активных элементах цепи) за счет энергии сторонних сил совершается перенос положительных зарядов от меньшего потенциала к большему. Работа сторонних сил, затрачиваемая на перенос единичного заряда от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом, называется электродвижущей силой - Э.Д.С. источника и обозначается, в цепях постоянного тока, буквой Е. Э.Д.С. источника численно равна напряжению между зажимами источника при отсутствии в нем тока.

1.3.1. Источник напряжения.

Идеальный источник напряжения - это активный элемент, напряжение на зажимах которого не зависит от тока, протекающего через источник. Внутреннее сопротивление r₀ идеального источника напряжения равно нулю.

Условные графические изображения источников постоянного напряжения приведены на рис.1.4 (а, б), где стрелками обозначены положительные направления э.д.с. и напряжений на зажимах источника.

Идеальный источник напряжения - это активный элемент, напряжение на зажимах которого не зависит от тока, протекающего через источник. Внутреннее сопротивление r₀ идеального источника напряжения равно нулю.

На рисунке 1.5 представлена вольтамперная характеристика U=f(I) идеального источника напряжения (кривая «a»), где на осях обозначены: -напряжение на зажимах источника, I-ток, протекающий через источник. Такой источник, судя по его вольтамперной характеристике, способен отдавать во внешнюю цепь бесконечно большую мощность. Очевидно, что, в действительности, такого источника не существует. Реальный источник напряжения обладает внутренним сопротивлением r₀. Его схема замещения имеет вид рис.1.4(а), а вольтамперная характеристика-кривая «в» на рис.1.5, которая математически может быть описана уравнением:

1.3.2. Источник тока.

Наряду с понятием источника э.д.с. при расчетах электрических цепей пользуются понятием - источник тока.

Идеальным источником тока называется активный элемент, который поддерживает во внешней цепи ток, не зависящий от напряжения на его зажимах. Внутреннее сопротивление идеального источника тока r₀= ∞. Для изображения источника тока используется обозначение, представленное на рис.1.6(а). Направление двойной стрелки соответствует положительному направлению тока источника.

Вольтамперная характеристика источника тока имеет вид рис.1.7, где зависимость«a»-вольтамперная характеристика идеального источника тока, а зависимость «в»-вольтамперная характеристика реального источника тока, имеющего конечное внутреннее сопротивление. На схеме реальный источник изображается в виде идеального источника тока и подключенного параллельного ему сопротивления (рис.1.6 б). Необходимо отметить, что обе схемы замещения реальных источников электрической энергии (рис.1.4 а и рис.1.5 б) являются эквивалентными (они имеют одну и ту же вольтамперную характеристику) с точки зрения токов, напряжений и мощностей во внешних участках электрической цепи. Если внутреннее сопротивление источника r₀ много больше сопротивления пассивного сопротивления приемника (нагрузки) r_н, т.е. r₀ > r_н, то ток источника при изменении r_н остается практически неизменным. В этом случае источник электрической энергии выступает в роли источника тока; в случае, когда r₀ << r_н, напряжение на зажимах источника остается практически неизменным при изменении r_н. В этом случае в качестве источника электрической энергии рассматривается источник напряжения.

↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

1.4. Сопротивление или резистивный элемент.

Под резистивным элементом или сопротивлением понимают такой идеализированный пассивный элемент, в котором электрическая энергия необратимо преобразуется в какой-либо другой вид энергии, например, в тепловую, механическую, световую. Запасания энергии электрического или магнитного полей в сопротивлении не происходит. По свойствам к этому идеальному элементу довольно близки такие реальные устройства, как угольные радиосопротивления, реостаты, лампы накаливания. Символическое изображение резистивного элемента представлено на рис. 1.8, где указаны принятые положительные направления напряжения и тока.

Основное уравнение элемента, связывающее ток и напряжение, его вольт-амперная характеристика, определяется законом Ома, который устанавливает пропорциональность напряжения и тока:

Коэффициент пропорциональности в выражении (1.6) равный отношению напряжения и тока, является электрическим сопротивлением

Размерность сопротивления – Ом. Обратная величина-отношение тока к напряжению - представляет собой электрическую проводимость [1/Ом]

В теории линейных электрических цепей принимают сопротивление и проводимость постоянными величинами, не зависящими от тока и напряжения.

Электрическое сопротивление цилиндрического проводника:

где l-длина проводника, м;

S-площадь поперечного сечения проводника, мм²;

ρ-удельное сопротивление материала проводника, (Ом•мм²)/м;

Для определения сопротивления металлических проводников при повышении температуры пользуются выражением:

где r₀-сопротивление при исходной температуре (обычно 20° С);

α - температурный коэффициент сопротивления;

t - температура, для которой определяется сопротивление r;

t₀ - исходная температура.

Линейное алгебраическое соотношение (1.6) между напряжением и током, называемое вольтамперной характеристикой, можно представить в виде прямой, проходящей через начало координат (рис.1.9), с угловым коэффициентом, равным значению сопротивления.

Мощность, выделяемая в виде тепла, в резистивном элементе согласно соотношениям (1.3) и (1.6) выражается законом Джоуля-Ленца:

Мощность в сопротивлении является квадратичной функцией тока или напряжения, она не может принимать отрицательных значений, следовательно, энергия всегда поступает от источника в элемент.

↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

1.5. Задача анализа цепи. Законы Кирхгофа.

Задача анализа электрической цепи формулируется следующим образом: заданы схемы электрической цепи со значениями всех ее элементов, а также напряжения и токи источников, действующих в цепи, требуется найти токи в ветвях и напряжения на элементах цепи. Для определения искомых токов и напряжений необходимо составить уравнения цепи, которые определяются только геометрической конфигурацией и способами соединения элементов цепи. Эти уравнения составляются на основе двух законов Кирхгофа, которые связывают токи ветвей, сходящихся в узлах, и напряжения элементов, входящих в контуры.

Первый закон Кирхгофа, выражающий закон сохранения заряда, формулируется так: в любой момент алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю.

Знак тока при записи первого закона Кирхгофа определяется выбором положительных направлений токов ветвей: например, токам, входящим в узел, приписывают условно знак плюс, а токам, выходящим из узла - знак минус. Так, для узла, изображенного на рис.1.10 второй закон Кирхгофа, выражающий закон сохранения энергии, формулируется следующим образом: в любой момент алгебраическая сумма напряжений в ветвях контура равна нулю.

Суммирование напряжений производится с учетом их положительных направлений и выбранного направления обхода контура. Если положительное направление напряжения ветви совпадает с напряжением обхода контура, то оно входит в (1.13) со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

Часто используется другая формулировка второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма э.д.с. источников, действующих в контуре, равна алгебраической сумме напряжений на элементах контура.

При этом напряжения на элементах контура и э.д.с. источников входят в уравнение (1.14) со знаком плюс, если их положительные направления совпадают с направлением обхода контура, в обратном случае слагаемые в (1.14) берутся со знаком минус. Например, для схемы (рис.1.11) при обходе по часовой стрелке уравнение второго закона Кирхгофа запишется следующим образом:

Для разветвленной цепи, содержащей q узлов и k ветвей, при определении неизвестных токов следует составить k уравнений по первому и второму законам Кирхгофа, т.к. число неизвестных токов

равно числу ветвей цепи. Причем число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, равно (q-1), а число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, - (k-(q-1)).

Уравнение второго закона Кирхгофа может быть записано для участка цепи между точками «а» и «b» (см. рис.1.12). При этом контур замыкается по стрелке, указывающей положительное направление напряжения между точками «a» и «b».

Таким образом, можно всегда определить напряжение между двумя любыми точками электрической цепи.

Пример 1.1.

Записать уравнения по законам Кирхгофа для расчета токов цепи, представленной на рис.1.13.

Решение.

Цепь содержит 3 ветви и два узла: «a» и «b», следовательно, по первому закону Кирхгофа составим одно уравнение, а остальные два – по второму закону Кирхгофа. Выбрав положительные направления токов I₁,I₂,I₃ такими, как показано на рисунке 1.13, и обходя контур I и II по часовой стрелке, получим

После решения и подстановки числовых значений, полученные результаты могут быть либо положительными, либо отрицательными. В случае отрицательного значения действительное направление тока будет противоположным указанному на рисунке.

↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

1.6. Режимы работы электрических цепей.

Как указывалось выше, любая электрическая цепь состоит из источников и нагрузок (приемников). При включении различного количества приемников с изменением их параметров будут изменяться напряжения, токи и мощности в электрической цепи, от значений которых зависит режим работы цепи и ее элементов. Наиболее характерными являются следующие режимы: номинальный, согласованный, холостого хода и короткого замыкания.

Номинальным называется режим, при котором приемник работает со значениями тока, напряжения и мощности, на которые он рассчитан, и которые называются его номинальными (или техническими) данными. Номинальные мощности и токи многих элементов электрических цепей (двигателей, генераторов, резисторов и др.) устанавливаются, исходя из нагревания их до наибольшей допускаемой температуры. Номинальные данные указываются в справочной литературе, технической документации или на самом элементе.

С учетом номинальных напряжений и токов источников и приемников производится выбор проводов и других элементов электрических цепей.

Согласованным называется режим, при котором мощность, отдаваемая источником или потребляемая приемником, достигает максимального значения. Это возможно при определенном соотношении (согласовании) параметров электрической цепи, откуда и вытекает название данного режима.

Под режимом холостого хода понимается такой режим, при котором приемник отключен от источника. При этом источник не отдает энергию во внешнюю цепь, а приемник не потребляет ее.

Режимом короткого замыкания называется режим, возникающий при соединении между собой выводов источника, приемника или соединительных проводов, а также иных элементов электрической цепи, между которыми имеется напряжение. При этом сопротивление в месте соединения оказывается практически равным нулю. При коротких замыканиях могут возникать недопустимо большие токи, электрическая дуга, возможно резкое снижение напряжения, поэтому режим короткого замыкания рассматривают, как аварийный.

Энергетические установки работают чаще всего в режиме, при котором токи и мощности не превышают номинальных значений, а напряжения близки к номинальным.

Рассмотрим простейшую неразветвленную цепь (рис.1.14 а). В этой цепи участок amb представляет собой простейший пассивный двухполюсник, являющийся приемником, участок anb - простейший активный двухполюсник, являющийся источником.

Для рассматриваемой цепи по второму закону Кирхгофа можно написать:

Формула для определения соотношения между напряжением U и э.д.с. источника E, полученная из (1.16),

называется внешней характеристикой источника, которая связывает напряжения на зажимах источника с величиной тока через источник (рис.1.14 б).

Очевидно, что напряжение на зажимах источника U тем больше, чем меньше его внутреннее сопротивление при одном и том же токе через источник.

В идеальном источнике напряжения r₀=0, U=E во всем диапазоне изменения тока (рис.1.14 б кривая 2).

Если умножить (1.16) на ток I , то получим соотношение между мощностями

Произведение EI представляет собой мощность, вырабатываемую источником. Правая часть (1.18) содержит потери мощности во внутреннем сопротивлении источника I²r₀, и мощность, потребляемую приемником I²r. Если из вырабатываемой мощности вычесть потери мощности во внутреннем сопротивлении источника, получим мощность UI, отдаваемую источником во внешнюю цепь.

Мощность, отдаваемая источником в данной цепи, равна мощности, потребляемой приемником

Вырабатываемая источником мощность определяется произведением:

причем положительные направления э.д.с. и тока совпадают. Отдаваемая им мощность:

где направления напряжения и тока противоположны, а мощность, потребляемая приемником, определяется произведением:

где положительные направления тока и напряжения совпадают. Такие взаимные направления тока и э.д.с., а также тока и напряжения характерны для источников и приемников в любых электрических цепях (рис.1.15 а,б).

Отношение мощности, отдаваемой источником, к вырабатываемой им мощности называется коэффициентом полезного действия (КПД) источника:

Пользуясь полученными соотношениями, установим, как будут меняться значения тока, напряжения, мощности при изменении сопротивления r, т.е. в различных режимах работы источника. При отключении источника с помощью выключателя В (рис. 1.14 а) электрическая цепь будет работать в режиме холостого хода. В этом случае следует считать r равным бесконечности, при этом I=E/(r+ r₀)=0. Вследствие чего оказываются равными нулю падение напряжения Ir₀, потери мощности I² r и мощности EI и UI. Т.к. Ir₀=0, то согласно (1.17) U=U_x=E. Уменьшение сопротивления r приводит к увеличению тока I, падения напряжения Ir₀0, мощности EI. Напряжение U при этом уменьшается. О характере изменения мощности приемника можно судить, анализируя выражение:

Зависимость P_потр=f(I) представлена на рис.1.16.

Уменьшение сопротивления r , а значит увеличение тока I приводит к возрастанию Р_потр и при r = r₀ Р_потр = Р_max, что соответствует режиму согласованной нагрузки. В согласованном режиме U = 0.5E, Р_потр = 0.5, Р_выр, η = 0.5. Дальнейшее уменьшение r приводит к уменьшению Р_потр.

Для номинального режима работы характерно следующее соотношение сопротивлений r >> r₀, что обеспечивает поступление основной части вырабатываемой мощности к приемнику. При этом к.п.д. принимает значения, близкие к 1 , U_ном = I_ном r >> I_ном r₀ и согласно (1.17) U близко к E.

В режиме короткого замыкания r = 0 и ток короткого замыкания оказывается намного больше номинального тока: I_к = E/r₀>>I_ном

При коротком замыкании U=I_к r=0, Р_потр=UI_к=0. Мощность Р_выр=EI_к значительно возрастает и преобразуется в теплоту в сопротивлении r₀. Последнее может привести к выходу из строя изоляции и даже к перегоранию проводов.

На внешней характеристике источника рис.1.14, б, которая подчиняется уравнению (1.17) и представляет собой прямую при E=const и r₀= const, указаны точки, соответствующие режимам холостого хода, короткого замыкания и номинальному режиму работы источника. Здесь же приведена внешняя характеристика идеального источника э.д.с. (кривая 2 на рис.1.14 б), для которого r₀=0, U=E=const.

↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

1.7. Уравнение баланса мощности в электрических цепях.

В любой электрической цепи сумма мощностей всех источников электрической энергии должна быть равна сумме мощностей всех приемников. На основании (1.11), (1.21 - 1.23), (1.25), можно записать в общем виде уравнение баланса мощности для любой электрической цепи

Чтобы уравнение баланса мощности давало более наглядное представление о характере энергетических процессов, целесообразнее составлять его для действительных направлений э.д.с., напряжений и токов.

↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

1.8. Методы расчета электрических цепей.

Задача расчета электрической цепи ставится следующим образом. Задана схема электрической цепи, значения ее элементов и параметры источников. Требуется определить токи в ветвях и падение напряжения на элементах. Данная задача решается путем составления и решения системы уравнений, запись которых определяется выбранным методом расчета.

Перед составлением уравнений необходимо указать на схеме положительные направления известных и неизвестных величин.

1.8.1. Метод непосредственного использования законов Кирхгофа.

Данный метод целесообразен в следующих случаях:

• для расчета неразветвленных электрических цепей;
• если известна величина части токов, но неизвестны величины такого же количества источников или элементов цепи;
• для определения падения напряжения между какими-либо двумя точками электрической цепи;
• для проверки правильности расчетов, проведенных любым другим методом.

Проверка может быть также осуществлена путем составления уравнения баланса мощности.

Задавшись положительными направлениями искомых величин, составляют уравнения сначала по первому закону Кирхгофа, максимальное число которых должно быть на единицу меньше числа узлов схемы. Недостающие уравнения следует составить по второму закону Кирхгофа.

В качестве примера составим систему уравнений для определения токов в электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 1.17 с известными сопротивлениями и величинами и направлениями источников э.д.с. и напряжений. Поскольку данная цепь имеет пять ветвей с неизвестными токами, необходимо составить пять уравнений. Выбрав положительные направления токов в ветвях, для узлов «а» и «б» составим уравнения по первому закону Кирхгофа, а для контуров «агда», «абга» и «бвгб» при обходе последних по часовой стрелке - уравнения по второму закону Кирхгофа.

1.8.2. Метод эквивалентных структурных преобразований.

В основе различных методов преобразования электрических схем лежит понятие эквивалентности, согласно которому напряжения и токи в ветвях схемы, не затронутых преобразованием, остаются неизменными.

Преобразования электрических схем применяются для упрощения расчетов.

Рассмотрим наиболее типичные методы преобразования.

Последовательное соединение элементов

При последовательном соединении элементов через них протекает один и тот же ток I (рис.1.18). Согласно второму закону Кирхгофа, напряжение, приложенное ко всей цепи

Для последовательного соединения сопротивлений r₁,r₂...r_n (рис.1.18) с учетом (1.6) будем иметь:

Ток в цепи с последовательным соединением элементов равен:

а напряжение на n-ом элементе равно

При последовательном соединении источников напряжения они заменяются одним эквивалентным источником с напряжением U_экв, равным алгебраической сумме напряжений отдельных источников.

Причем со знаком «+» берутся напряжения, совпадающие с напряжением эквивалентного источника, а со знаком «-» - несовпадающие (рис. 1.19).

Параллельное соединение элементов

Соединение групп элементов, при котором все элементы находятся под одним и тем же напряжением, называется параллельным (рис.1.20). Согласно первому Кирхгофа, ток всей цепи I равен алгебраической сумме токов в параллельных ветвях, т.е.

На основании этого уравнения с учетом (1.8) для параллельного соединения резистивных элементов получаем:

где g_экв -эквивалентная проводимость.

Токи и мощности параллельно соединенных ветвей при U=const (рис.1.20) не зависят друг от друга и определяются по формулам:

Мощность всей цепи равна :

где r_э=1/g_э -эквивалентное сопротивление цепи.

При увеличении числа параллельных ветвей эквивалентная проводимость электрической цепи возрастает, а эквивалентное сопротивление соответственно уменьшается. Это приводит к увеличению тока I. Если напряжение остается постоянным, то увеличивается также общая мощность Р. Токи и мощности ранее включенных ветвей не изменяются.

Рассмотрим частные случаи параллельного соединения резистивных элементов.

а) параллельное соединение двух элементов

б) параллельное соединение n ветвей с одинаковыми сопротивлениями

Эквивалентное преобразование резистивного треугольника в звезду

Под соединением треугольником (рис.1.21.а) понимается такое, при котором конец одного элемента соединяется с началом второго, конец второго- с началом третьего, а конец третьего - с началом первого. Узловые точки 1,2,3 подключаются к остальной части электрической цепи. Соединение звездой получается при объединении начал или концов сопротивлений в одну точку (рис.1.21.б).

При расчете электрических цепей, оказывается, полезно преобразовать треугольник в звезду или совершить преобразование звезды в треугольник.

Замена треугольника эквивалентной звездой должна производиться таким образом, чтобы после указанной замены токи в остальной части цепи, а также напряжения между точками 1 и 2 , 2 и 3,3 и 1 остались без изменения.

С помощью законов Кирхгофа можно получить следующие формулы для определения сопротивлений эквивалентной звезды:

При замене резистивных элементов, соединенных звездой, эквивалентным треугольником, пользуются следующими формулами:

1.8.3. Метод контурных токов.

Метод контурных токов дает возможность упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом расчета по законам Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений, которые приходится решать совместно. Этот метод заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются на основании второго закона Кирхгофа так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах. На рис. 1.22 в виде примера показана двухконтурная цепь, в которой I₁₁ и I₂₂ - контурные токи. Токи в сопротивлениях r₁ и r₂ равны соответствующим контурным токам; ток в сопротивлении r₃ являющемся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I₁₁ и I₂₂, так как эти токи направлены в ветви r₃ встречно.

Число уравнений, записываемых для контурных токов по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров, то есть для электрической схемы с числом узлов q и числом ветвей p задача нахождения контурных токов сведется к решению системы p-q+1 уравнений. Так, в схеме рис. 1.22 q=2, p=3; следовательно, число уравнений равно 3-2+1=2 (число уравнений независимых контуров).

Положительные направления контурных токов задаются произвольно. Направление обхода каждого контура принимается обычно совпадающим с выбранным положительным направлением контурного тока; поэтому при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа падение напряжения от заданного контурного тока в сопротивлениях, входящих в контур, берется со знаком плюс. Падение напряжения от тока смежного контура в общем сопротивлении берется со знаком минус, если контурные токи в этом сопротивлении направлены встречно, как это, например, имеет место в схеме рис.1.22., где направление обоих контурных токов выбрано по ходу часовой стрелки.

Для заданной электрической схемы с двумя независимыми контурами (рис.1.22) могут быть записаны два уравнения по второму закону Кирхгофа, а именно:

здесь (r₁+r₃) и (r₂+r₃) - собственные сопротивления контуров 1 и 2, r₃ - общее сопротивление контуров 1 и 2. После определения контурных токов, легко найти и токи всех ветвей.

Пример 1.2

Найти токи в схеме (рис. 1.23) при помощи метода контурных токов.

• r₁ = r₂ = r₃ = r₄ = r₅ = 10 Ом
• E₁ = E₅ = 50 В; E₃ = 90 В

Решение:

Выбираем направление всех контурных токов I₁₁, I₂₂ , I₃₃ по часовой стрелке.

Записываем систему уравнений:

После подстановки численных значений:

выразим I₁₁ и I₃₃ через I₂₂ :

и подставим во второе уравнение системы

получаем в итоге I₂₂=7A, I₁₁=I₃₃=6A

В соответствии с выбранным положительным направлением токов в ветвях окончательно получим:

1.8.4. Метод узловых напряжений.

Метод узловых напряжений заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа определяются напряжения в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Эти искомые напряжения называются узловыми напряжениями, причем положительное направление их указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

Напряжение на какой - либо ветви равно, очевидно, разности узловых напряжений концов данной ветви; произведение же этого напряжения на проводимость данной ветви равно току в этой ветви. Таким образом, зная узловые напряжения в электрической цепи, можно найти токи в ветвях.

Если принять потенциал базисного узла равным нулю, то напряжения между остальными узлами и базисным узлом будут равны также потенциалам этих узлов. Поэтому данный метод называется также методом узловых потенциалов.

При наличии одной ветви с э.д.с и бесконечной проводимостью целесообразно принять за базисный узел один из узлов, к которому примыкает данная ветвь, тогда напряжение данного узла становится известным и число неизвестных сокращается на одно.

Число неизвестных в методе узловых напряжений равно числу уравнений, которые надо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. Метод узловых напряжений имеет преимущество перед методом контурных токов в том случае, когда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа, или если (q-1) < (p-q+1), или, что то же 2(q-1) < p, где q - число узлов, p - число ветвей.

На рис. 1.24 в виде примера изображена электрическая схема, содержащая три узла. Примем потенциал φ₃=0 (базисный узел). Составим уравнения для узлов 1 и 2 по первому закону Кирхгофа:

Каждые из этих токов можно выразить через узловые потенциалы и э.д.с. ветвей:

Подставив (1.40) в (1.39), сгруппировав члены при φ₁ и φ₂ и перенеся члены с э.д.с. в правую часть, получим:

где

Таким образом, множителем при φ₁, является коэффициент G₁₁, равный сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в первом узле (1.42). G₁₂ равняется сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих узел 1 с узлом 2, взятой со знаком минус. Ток I₁₁ называют узловым током первого узла. Это расчетная величина, равная алгебраической сумме токов, полученной от деления э.д.с. ветвей, подходящих к узлу 1, на величину сопротивлений этих ветвей. Если э.д.с. направлена к узлу, то берется в I₁₁ со знаком плюс, если от узла, то со знаком минус. Так же определяют G₂₂, G₂₁, I₂₂ (см. 1.42).Если между какими-либо двумя узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна нулю. Решив систему (1.41) относительно φ₁, и φ₂, определим узловые напряжения цепи. Искомые токи определяют либо по закону Ома, либо по второму закону Кирхгофа для участка цепи, содержащей э.д.с.

Частным случаем метода узловых напряжений является метод двух узлов.

При наличии n ветвей между точками a и b применение метода узловых напряжений позволяет ограничиться составлением и решением одного уравнения для определения напряжения U_ab между узлами a и b. Задавшись положительным направлением напряжения U_ab (см. рис.1.25) и учитывая направления э.д.с в ветвях в соответствии с изложенным выше , получим формулу для определения напряжения U_ab:

где произведения E_kg_k берутся со знаком плюс , если э.д.с. действует от узла b к a и со знаком минус при обратном направлении . Токи ветвей определяются по выражению , составленному по второму закону Кирхгофа , при выбранном положительном направлении тока.

Пользуясь методом двух узлов можно произвести замену искомых параллельных ветвей, содержащих источники э.д.с., одной эквивалентной.

Участок цепи (рис. 1.25, а) будет эквивалентен цепи на (рис. 1.25, б), если при любых значениях тока I , подтекающего из всей остальной, не показанной на рисунке части схемы, напряжение на зажимах a и b (U_ab) в обеих схемах будет одинаковым. Составив уравнения для обеих схем (1.25. а и б) и приравняв коэффициенты при U_ab и токи, получим выражения для определения E_экв и g_экв.

При подсчетах по формуле (1.45) следует иметь в виду следующее: если в какой-либо ветви схемы э.д.с. отсутствует, то соответствующее слагаемое в числителе (1.44) выпадает, но проводимость этой ветви в знаменателе (1.45) остается.

Пример 1.3

В электрической цепи рис.1.26

Пользуясь методом узлового напряжения, определить токи в ветвях.

Решение.

При указанных положительных направлениях напряжения U_ab и токов в ветвях по формуле (1.43) определим U_ab

Воспользовавшись формулой (1.44), определим токи в ветвях:

1.8.5. Метод наложения.

При расчете по методу наложения ток в любой ветви электрической цепи определяется как алгебраическая сумма токов, вызываемых в данной ветви каждой из э.д.с. в отдельности, в предположении равенства нулю всех остальных э.д.с.

Порядок расчета цепи методом наложения следующий. Из электрической цепи удаляют все источники э.д.с. и напряжений, кроме одного. Сохранив в электрической цепи все резистивные элементы, в том числе и внутренние сопротивления источников, производят расчет электрической цепи. Подобным образом поступают столько раз, сколько имеется в цепи источников. Результирующий ток каждой ветви определяют как алгебраическую сумму токов от всех источников.

Метод наложения весьма удобен для анализа явлений происходящих в электрических цепях при изменении их параметров.

1.8.6. Метод эквивалентного генератора.

Метод эквивалентного генератора используется в случае, когда необходимо найти ток, напряжение или мощность в одной ветви. При этом вся остальная часть цепи, к которой подключена данная ветвь, рассматривается в виде двухполюсника (рис.1.27 а). Двухполюсник называют активным, если он содержит источники электрической энергии, и пассивным - в противоположном случае. Будем обозначать активный двухполюсник буквой А, а пассивный - буквой П.

Различают две модификации метода эквивалентного генератора: метод эквивалентного источника напряжения и метод эквивалентного источника тока.

Рассмотрим метод эквивалентного источника напряжения. Этот метод базируется на теореме Тевенина, согласно которой ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником (генератором) напряжения. Э.д.с. этого источника равна напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви, а внутреннее сопротивление равно эквивалентному входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви (рис. 1.27, б).

Опуская доказательство этой теоремы, после замены активного двухполюсника эквивалентным источником в соответствии с этой схемой имеем:

Пример 1.4

В электрической цепи (рис.1.28 а).

Пользуясь методом эквивалентного генератора определить I и напряжение U_ab.

Решение.

При отключенном сопротивлении r (рис.1.28 б) по закону Ома и на основании второго закона Кирхгофа получим:

После замены источников их внутренними сопротивлениями получим схему, изображенную на рисунке 1.28в, Между точками а и b последовательно соединены три участка цепи: участок с параллельно соединенными резисторами r₁ и r₃; участок, на котором параллельно соединены резисторы r₂ и r₄, и участок, содержащий резистор r₀. В соответствии с этим, внутреннее сопротивление эквивалентного генератора (сопротивление относительно точек а и b) будет:

По формуле (1.47) и закону Ома получим

↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

1.9. Нелинейные электрические цепи постоянного тока.

1.9.1. Нелинейные элементы электрических цепей, их вольтамперные характеристики и сопротивления.

Нелинейным элементом электрической цепи считается элемент, значения параметров которого зависят от значения тока данного элемента или напряжения на его выводах.

К нелинейным элементам электрических цепей относятся разнообразные полупроводниковые приборы, устройства, содержащие намагничивающие обмотки с ферромагнитными магнитопроводами (при переменном токе), лампы накаливания, электрическая дуга и др.

Нелинейные элементы дают возможность решать многие технические задачи, так, с помощью нелинейных элементов можно осуществить преобразование переменного тока в постоянный, усиление электрических сигналов, генерирование электрических сигналов различной формы, стабилизацию тока и напряжения, изменение формы сигнала и т.д. Нелинейные элементы широко используются в радиотехнических устройствах, в устройствах промышленной электроники, автоматики, измерительной и вычислительной техники.

Важнейшей характеристикой нелинейных элементов является вольт-амперная характеристика (в.а.х.), представляющая собой зависимость между током нелинейного элемента и напряжением на его выводах.

ВАХ нелинейных элементов весьма разнообразны и для некоторых из них представлены на рис. 1.29 а...д.

Там же приведены условные графические обозначения соответствующих элементов. Условное обозначение любого нелинейного резистивного элемента показано на рисунке 1.30.а. Имея в.а.х. нелинейного элемента, можно определить его сопротивления при любых значениях тока или напряжения. Различают два вида сопротивлений нелинейных элементов: статическое и дифференциальное.

Статическое сопротивление дает представление о соотношении конечных значений напряжения и тока нелинейного элемента и определяется в соответствии с законом Ома. Например, для точки А в.а.х. (рис.1.29.а) статическое сопротивление

где m_U и m_I -масштабные коэффициенты напряжения и тока.

Дифференциальное сопротивление позволяет судить о соотношении приращений напряжения и тока и определяется следующим образом:

К нелинейным электрическим цепям, то есть к цепям, содержащим нелинейные элементы , применимы основные законы электрических цепей: законы Ома и законы Кирхгофа , которые записываются для мгновенных значений токов и напряжений. Для расчета нелинейных электрических цепей применяется в большинстве случаев графоаналитический метод. Кроме того используется метод кусочно - линейной аппроксимации, когда в предлагаемом диапазоне изменения тока или напряжения нелинейного элемента его в.а.х. можно заменить прямой линией. При этом расчет можно производить и аналитическим методом. Следует отметить, что к той части электрической цепи, которая содержит только линейные элементы, применимы все методы расчета и преобразования электрических цепей, рассмотренные ранее.

1.9.2. Графоаналитический метод расчета нелинейных электрических цепей.

Предположим, что имеется электрическая цепь, схема которой приведена на рис. 1.30, а. В этой цепи нелинейный резистивный элемент r соединен с активным линейным двухполюсником A, который может быть любой сложности.

Расчет данной электрической цепи следует начать с замены активного двухполюсника эквивалентным генератором с параметрами E_экв=U_x и r_0экв (рис. 1.30, б) согласно методу эквивалентного генератора. Для дальнейшего расчета целесообразно воспользоваться методом графического решения двух уравнений с двумя неизвестными. Одним из уравнений следует считать зависимость I(U) нелинейного элемента, которой соответствует его в.а.х., приведенная на рис.1.30в. Другое уравнение, связывающее тот же ток I и то же напряжение U, нетрудно получить по второму закону Кирхгофа. Применив его к цепи с эквивалентным генератором (рис. 1.30, б), получим:

Поскольку зависимость I=f(U) линейная, график I=f(U) может быть построен по двум точкам (рис.1.30,в). Например, в режиме холостого хода эквивалентного генератора I=0 и U=U_x=E_экв, в режиме короткого замыкания U=0, I=I_к=E_экв/r_0экв.

Очевидно, искомые ток I и напряжение U определяются точкой Б пересечения в.а.х. I(U) нелинейного элемента и графика I=f(U) эквивалентного генератора.

Если к двухполюснику будут подключены два нелинейных элемента r₁ и r₂, соединенные последовательно (рис. 1.31 а), то перед расчетом согласно методике, изложенной выше, необходимо заменить их эквивалентным нелинейным элементом r_э (рис. 1.31 б) с эквивалентной в.а.х. I(U) (рис.1.31в). Построение эквивалентной в.а.х. I(U) производится на основании следующего соображения: при любом значении тока I напряжение U равно сумме напряжений U₁ и U₂ нелинейных элементов (рис. 1.31а), то есть

Задавшись несколькими значениями тока I по в.а.х. I(U₁) и I(U₂) нелинейных элементов r₁ и r₂, находят соответствующие напряжения U₁ и U₂ , после чего согласно выражению (1.50) определяют напряжение U и строят в.а.х. I(U). На рис. 1.31, в показано в качестве примера определение при токе I напряжение U одной из точек (А) в.а.х. I(U).

Когда двухполюсник представляет собой источник с заданным напряжением, после построения I(U) можно при любом напряжении U найти ток I, а затем с помощью в.а.х. I(U₁) и I(U₂ ) напряжения U₁ и U₂.

При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис.1.32) для определения в.а.х. I(U) эквивалентного нелинейного элемента r_э (рис.1.33) необходимо воспользоваться тем, что при любом напряжении U токи связаны соотношением:

Задавшись несколькими значениями напряжения U, по в.а.х. I(U₁) иI₂ (U) (рис.1.33б) нелинейных элементов r₁ и r₂ находят соответствующие токи I₁ и I₂, после чего согласно (1.51) определяют ток I и строят в.а.х. I(U).

При смешанном соединении нелинейных элементов следует сначала построить в.а.х. участка с параллельным соединением элементов. После этого строят в.а.х. всей цепи. Имея в распоряжении все в.а.х., нетрудно определить токи и напряжения всех элементов цепи.

↑ Вверх, к содержанию раздела ↑

1.10. Мостовые электрические цепи.

Широкое распространение в технике получили мостовые цепи. Один из вариантов такой цепи приведен на рис.1.34. Выводы а и d резисторов r₁...r₄ присоединены к источнику постоянного тока, к точкам b и c с помощью подвижных контактов (движков) присоединен приемник r₅. Ветви с сопротивлениями r₁...r₅ называют плечами моста, ветви с источником и нагрузкой – диагоналями. Изменяя с помощью движков места подключения b и с приемника, можно изменять не только значения напряжения U₅ и тока I₅ приемника в широких пределах, но также и их направления. Действительно, переместив верхний движок к выводу а, нижний - к выводу d, согласно второму закону Кирхгофа и закону Ома получим U₅=U и I₅=U/r₅ ; изменив положение движков на противоположное, будем иметь U₅=-U, I₅=(-U)/r₅ . Нулевые значения напряжения U₅ и тока I₅ или равновесное состояние моста, может быть при таких положениях движков, при которых выполняется следующее соотношение между сопротивлениями:

Равновесное состояние моста используется для измерения сопротивлений. Если, например, в электрической цепи рис.1.34. r₁ - элемент, сопротивление которого требуется определить, r₂=const, то, включив вместо приемника r₅ измерительный прибор, например вольтметр, и изменяя значения сопротивлений r₃ и r₄, можно добиться равновесного состояния моста, а затем по (1.51) подсчитать сопротивление r₁.

Если r₁ - элемент, сопротивление которого изменяется под действием тех или иных параметров (температуры, давления и др.), то при неизменных r₂, r₃ и r₄ напряжение U₅ будет также изменяться. В этом случае измерительный прибор может быть отградуирован на значения параметра, оказывающего воздействие на сопротивление r₁ и, таким образом, оказывается возможным измерять неэлектрические величины.

Для расчета мостовых цепей можно использовать преобразование треугольника резистивных элементов в эквивалентную звезду и наоборот, либо воспользоваться методом эквивалентного генератора, особенно если в цепи имеется нелинейный резистивный элемент (см. пример 1.4).