Совместное применение первой и второй теоремы Карно позволяет получить следующее неравенство:

Знак равенства в этой формуле соответствует случаю описания обратимой тепловой машины, а знак меньше - описанию необратимой тепловой машины.

Формулу (3.41) можно преобразовать в виду

Выражение (3.42) в свою очередь дает

или

Если полученное выражение записать через количество теплоты, подводимой к рабочему телу от нагревателя и холодильника , то оно примет окончательную форму

Формула (3.45) представляет собой частный случай неравенства Клаузиуса.

Для получения неравенства Клаузиуса в общем случае рассмотрим тепловую машину, рабочее тело которой при совершении кругового термодинамического процесса обменивается теплотой с достаточно большим числом тепловых резервуаров, имеющих температуры , ,..., . При этих теплообменах рабочее тело получает от тепловых резервуаров теплоты , ,..., . Работа такой тепловой машины будет равна: . При использовании этого выражения необходимо учитывать, что теплоты могут иметь отрицательный знак в случае, если в при теплообмене с -тым резервуаром теплота отбирается от рабочего тела.

Применительно к рассматриваемой тепловой машине неравенство (3.45) может быть записано в виде

или

Величина называется приведенным количеством теплоты, и она равна количеству теплоты, полученной системой, при абсолютной температуре , деленной на эту температуру.

При переходе к бесконечному числу тепловых резервуаров, с которыми рабочее тело тепловой машины обменивается теплотой, суммирование в формуле (3.47) может быть заменено интегрированием по замкнутому термодинамическому циклу:

Из этой формулы следует, что сумма приведенных количеств теплоты на замкнутом цикле для любой термодинамической системы не может быть больше нуля. Неравенство (3.48) было получено в 1862 году Клаузиусом и носит его имя.

Неравенство Клаузиуса позволяет отличать обратимые и необратимые круговые термодинамические процессы. В случае, если термодинамический цикл состоит только из обратимых процессов (изотермических и адиабатических), неравенство (3.48) переходит в равенство Клаузиуса

имеющее принципиальное значение для построения равновесной термодинамики.

Случай строгого неравенства в формуле (3.48) соответствует описанию необратимых круговых термодинамических процессов, и это выражение применяется в неравновесной термодинамике.