Полученные в предыдущих параграфах распределения Больцмана (5.23) и Максвелла (5.62) описывают зависимость концентрации молекул от координат ![](..\images\ch5_6\fml1.gif) и функцию распределения по скоростям ![](..\images\ch5_6\fml2.gif) соответственно. При этом распределение Больцмана описывается в пространстве координат ![](..\images\ch5_6\fml3.gif) , ![](..\images\ch5_6\fml4.gif) и ![](..\images\ch5_6\fml5.gif) , а распределение Максвелла в пространстве скоростей ![](..\images\ch5_6\fml6.gif) , ![](..\images\ch5_6\fml7.gif) и ![](..\images\ch5_6\fml8.gif) .
Если ввести 6-мерное пространство, координатами молекулы в котором являются величины ![](..\images\ch5_6\fml9.gif) , ![](..\images\ch5_6\fml10.gif) , ![](..\images\ch5_6\fml11.gif) , ![](..\images\ch5_6\fml12.gif) , ![](..\images\ch5_6\fml13.gif) и ![](..\images\ch5_6\fml14.gif) , то функция распределения в таком пространстве будет зависеть от этих шести переменных: ![](..\images\ch5_6\fml15.gif) . Считая пространственные переменные ![](..\images\ch5_6\fml16.gif) , ![](..\images\ch5_6\fml17.gif) , ![](..\images\ch5_6\fml18.gif) и компоненты скорости ![](..\images\ch5_6\fml19.gif) , ![](..\images\ch5_6\fml20.gif) , ![](..\images\ch5_6\fml21.gif) статистически независимыми друг от друга, на основании формулы (5.10) можно записать:
![Формула](..\images\ch5_6\fml22.gif) | (5.76) |
или
, | (5.77) |
где выражение для кинетической энергии имеет вид:
. | (5.78) |
Формула (5.77) называется функцией распределения Максвелла-Больцмана. Она может быть использована в случае, когда полная энергия молекулы ![](..\images\ch5_6\fml25.gif) равна сумме её потенциальной энергий ![](..\images\ch5_6\fml26.gif) во внешнем силовом поле и кинетической энергии ![](..\images\ch5_6\fml27.gif) её поступательного движения: ![](..\images\ch5_6\fml28.gif) .
При получении закона распределения Максвелла-Больцмана предполагалось, что температура газа не зависит от координаты точки. В частности, температура газа на всех высотах над поверхностью Земли при термодинамическом равновесии должна быть одинакова. С этим утверждением связан парадокс, всесторонне рассмотренный Максвеллом. Дело в том, что при движении вверх молекулы газа должны затрачивать свою кинетическую энергию на преодоление силы тяжести, и поэтому их средняя кинетическая энергия (а следовательно и температура) должна уменьшаться. Но этого не происходит вследствие того, что при этом не все молекулы, из-за недостатка их кинетической энергии, смогут преодолеть силу тяжести. Молекулы, имеющие недостаточную кинетическую энергию, не могут подняться высоко, что приведет, в соответствии с распределением Больцмана, к уменьшению их концентрации с высотой. Поэтому температура газа останется неизменной.
Функция распределения в более общем случае, когда кинетическая энергия зависит только от скорости ![](..\images\ch5_6\fml29.gif) , а потенциальная - только от радиус-вектора ![](..\images\ch5_6\fml30.gif) микрочастицы, имеет вид:
, | (5.79) |
где постоянная ![](..\images\ch5_6\fml32.gif) определяется из условия нормировки (5.5):
. | (5.80) |
Здесь: ![](..\images\ch5_6\fml34.gif) - объем, занимаемый системой в координатном пространстве, ![](..\images\ch5_6\fml35.gif) - соответствующий объем в пространстве скоростей.
Формула (5.79) позволяет описывать равновесное распределение для достаточно произвольной термодинамической системы.
Полученные выше функции распределения описывают случай, когда полная энергия частицы ![](..\images\ch5_6\fml36.gif) принимает непрерывный ряд значений. При статистическом описании системы, частицы которой могут принимать только некоторый дискретный набор значений энергии ![](..\images\ch5_6\fml37.gif) , необходимо использовать вместо функции распределения вероятность нахождения частицы в состоянии со значением энергии ![](..\images\ch5_6\fml38.gif) : ![](..\images\ch5_6\fml39.gif) . В случае дискретных состояний можно записать следующее выражение для этой вероятности ![](..\images\ch5_6\fml40.gif) :
, | (5.81) |
где величина ![](..\images\ch5_6\fml42.gif) определяется из условия нормировки (5.2):
. | (5.82) |
Если полное число частиц в системе равно ![](..\images\ch5_6\fml44.gif) , то число частиц ![](..\images\ch5_6\fml45.gif) в состоянии с энергией ![](..\images\ch5_6\fml46.gif) определяется по формуле:
. | (5.83) |
Формула (5.81) называется распределением Больцмана для дискретных состояний.
Задача 5.4. Рассчитать среднее значение полной энергии случайных тепловых колебаний тела, подвешенного на пружине (осциллятора).
Решение: Кинетическая энергия тела, совершающего одномерные колебания имеет вид:
![](..\images\ch5_6\fml48.gif) ,
а потенциальная энергия соответственно равна:
![](..\images\ch5_6\fml49.gif) ,
где: - масса тела, - жесткость пружины.
Функцию распределения для рассматриваемого случая в соответствии с формулами (5.79) и (5.80) можно записать в виде
![](..\images\ch5_6\fml52.gif) .
Среднее значение полной энергии равно сумме средних значений кинетической и потенциальной энергий:
![](..\images\ch5_6\fml53.gif) ,
которые, в соответствии с формулой (5.6), равны:
![](..\images\ch5_6\fml54.gif) ,
![](..\images\ch5_6\fml55.gif) .
Таким образом, средние значения кинетической и потенциальной энергии равны между собой. А среднее значение полной энергии осциллятора равно удвоенному значению кинетической (или потенциальной) энергии:
![](..\images\ch5_6\fml56.gif) .
|