В параграфе 2.4 отмечалось, что важным классом термодинамических процессов являются процессы, происходящие при постоянной теплоемкости, то есть политропические процессы. К таким процессам относятся адиабатический, изотермический, изобарический и изохорический процессы.
Для идеального газа нетрудно получить уравнение политропического процесса тем же способом, которым ранее было выведено уравнение Пуассона. Пусть молярная теплоёмкость идеального газа в политропическом процессе равна ![](..\images\ch2_6\fml1.gif) . Тогда в соответствии с первым началом термодинамики (1.5) имеем выражение:
, | (2.99) |
из которого следует:
. | (2.100) |
Подставляя это выражение в формулу (2.76) получим
![Формула](..\images\ch2_6\fml4.gif) | (2.101) |
или с учетом соотношения Майера (2.70)
. | (2.102) |
Сравнение формул (2.100) и (2.102) при условии, что ![](..\images\ch2_6\fml6.gif) , позволяет записать уравнение
, | (2.103) |
аналогичное уравнению (2.79). Здесь введен параметр
, | (2.104) |
который называется показателем политропы.
Из этой формулы можно также получить зависимость молярной теплоемкости ![](..\images\ch2_6\fml9.gif) от показателя политропы ![](..\images\ch2_6\fml10.gif) :
. | (2.105) |
Преобразование формулы (2.103) к виду:
![Формула](..\images\ch2_6\fml12.gif) | (2.106) |
и интегрирование полученного уравнения дает
. | (2.107) |
Уравнение (2.107) называется уравнением политропического процесса или политропы - кривой, описываемой таким уравнением.
Аналогично уравнениям адиабаты (2.86) и (2.87) уравнение политропы может быть переписано в других термодинамических координатах:
, | (2.108) |
. | (2.109) |
При адиабатическом процессе ![](..\images\ch2_6\fml16.gif) , что соответствует нулевой теплоемкости. Подставив ![](..\images\ch2_6\fml17.gif) в формулу (2.104) и сравнив получившееся выражение с (2.80), имеем ![](..\images\ch2_6\fml18.gif) , и уравнение политропы (2.107) становится уравнением адиабаты: ![](..\images\ch2_6\fml19.gif) .
Если процесс изотермический, то ![](..\images\ch2_6\fml20.gif) , так как при этом ![](..\images\ch2_6\fml21.gif) . В этом случае показатель политропы ![](..\images\ch2_6\fml22.gif) в пределе равен единице, и уравнение политропы (2.107) преобразуется в уравнение Бойля-Мариотта (2.11): ![](..\images\ch2_6\fml23.gif) . Обратим внимание на то, что поскольку при выводе уравнения политропы мы исключали величину ![](..\images\ch2_6\fml24.gif) , то этот вывод не может считаться полностью корректным для изотермического процесса.
Для изобарического процесса при ![](..\images\ch2_6\fml25.gif) показатель политропы ![](..\images\ch2_6\fml26.gif) , и уравнение (2.107) принимает форму: ![](..\images\ch2_6\fml27.gif) .
При изохорическом процессе ![](..\images\ch2_6\fml28.gif) должно стать равным ![](..\images\ch2_6\fml29.gif) , что соответствует случаю, когда показатель ![](..\images\ch2_6\fml30.gif) . Очевидно, переход в формуле (2.107) к указанному пределу некорректен. Это связано с тем, что при выводе уравнения политропы предполагалось, что ![](..\images\ch2_6\fml31.gif) (см. переход к формуле (2.103)).
Если умножить уравнение (2.100) на ![](..\images\ch2_6\fml32.gif) и сложить его с уравнением (2.102), предварительно умноженным на величину ![](..\images\ch2_6\fml33.gif) , то получим уравнение политропы в дифференциальном виде
. | (2.110) |
При ![](..\images\ch2_6\fml35.gif) это уравнение приобретает форме:
![Формула](..\images\ch2_6\fml36.gif) | (2.111) |
Отсюда имеем ![](..\images\ch2_6\fml37.gif) или ![](..\images\ch2_6\fml38.gif) . Из уравнения (2.110) также следует, что в процессе, при котором ![](..\images\ch2_6\fml39.gif) , давление постоянно: ![](..\images\ch2_6\fml40.gif) .
Для политропических процессов значение теплоёмкости и, соответственно, показателя политропы могут принимать любые значения. Отрицательные значения теплоёмкости, когда показатель политропы ![](..\images\ch2_6\fml41.gif) принимает значения от единицы до величины ( (см. формулу (2.105)), соответствуют таким условиям, при которых внутренняя энергия термодинамической системы убывает при передаче ей положительного количества теплоты. Это может быть осуществлено при принудительном расширении газа.
В соответствии с формулой (2.100) при ![](..\images\ch2_6\fml42.gif) величины ![](..\images\ch2_6\fml43.gif) и ![](..\images\ch2_6\fml44.gif) имеют различные знаки, и с ростом объёма газа его температура, а, следовательно, и внутренняя энергия, уменьшаются. С этим, в частности, связано понижение температуры идеального газа при его адиабатическом расширении, так как в этом процессе ![](..\images\ch2_6\fml45.gif) . Наоборот, при ![](..\images\ch2_6\fml46.gif) с ростом объёма газа его температура растёт. В соответствии с первым началом термодинамики этот рост должен быть обеспечен подводом к системе достаточного количества теплоты.
Рассуждая аналогичным образом, можно на основании формулы (2.102) установить связь между приращением температуры и давлением. При ![](..\images\ch2_6\fml47.gif) с ростом давления температура газа будет возрастать, а при ![](..\images\ch2_6\fml48.gif) - уменьшаться.
Работа газа в политропическом процессе может быть определена с помощью интеграла (1.13) при подстановке в него уравнения политропы (2.107), аналогично тому, как это сделано в формуле (2.97):
. | (2.112) |
Интегрирование в выражении (2.112) дает формулу для определения работы в политропическом процессе
, | (2.113) |
где: ![](..\images\ch2_6\fml51.gif) и ![](..\images\ch2_6\fml52.gif) - начальные давление и объём газа, ![](..\images\ch2_6\fml53.gif) - его конечный объём.
Из этой формулы, в частности, следует, что работа при расширении газа всегда остаётся положительной, независимо от того, какое значение принимает показатель политропы, больше или меньше единицы.
Нетрудно видеть, что для адиабатического процесса при ![](..\images\ch2_6\fml54.gif) выражение (2.113) переходит в формулу (2.95). Для изобарического процесса, при ![](..\images\ch2_6\fml55.gif) , выражение (2.113) дает
, | (2.114) |
где учтено, что при этом процессе ![](..\images\ch2_6\fml57.gif) .
Формула (2.113) неприменима для описания изохорического процесса, так как при выводе уравнения политропы (2.103) исключался случай ![](..\images\ch2_6\fml58.gif) . Но из формулы (2.100) очевидно, что работа газа в изохорическом процессе равна нулю.
Другим процессом, не описывающимся соотношением (2.113), является изотермический процесс. Как было сказано выше, он является предельным случаем политропического процесса при ![](..\images\ch2_6\fml59.gif) . Работу в изотермическом процессе можно найти, если перед интегрированием в формулу (2.112) в соответствии с законом Бойля-Мариотта подставить ![](..\images\ch2_6\fml60.gif) . Тогда имеем
![Формула](..\images\ch2_6\fml61.gif) | (2.115) |
или
, | (2.116) |
где учтено постоянство температуры в этом процессе: ![](..\images\ch2_6\fml63.gif) .
Поскольку внутренняя энергия идеального газа не изменяется в изотермическом процессе, количество теплоты, полученное газом, также может быть посчитано по этой формуле, то есть в этом процессе ![](..\images\ch2_6\fml64.gif) . При изотермическом расширении идеального газа работа совершается только за счёт теплоты, подведённой из окружающей среды.
В заключение параграфа сведем все полученные формулы в таблицу.
Термодинамический процесс | Показатель политропы | Теплоемкость | Работа |
Изотермический | 1 | | |
Изобарический | 0 | | |
Изохорический | | | 0 |
Адиабатический | | 0 | |
Задача 2.3. Какова молярная теплоёмкость одноатомного газа и показатель политропы для процесса, в котором работа, совершаемая газом, в два раза превосходит количество теплоты, передаваемое ему?
Решение: Так как по условию задачи , то в соответствии с первым началом термодинамики имеем:
или
![](..\images\ch2_6\fml77.gif) .
Тогда, с учетом одноатомности газа (число степеней свободы ), молярную теплоемкость можно определить по формуле:
![](..\images\ch2_6\fml79.gif) ,
а показатель политропы соответственно будет равен:
Задача 2.4. Какая работа совершается одним молем идеального газа в политропическом процессе с показателем политропы при изменении температуры газа на ?
Решение: Используя уравнение политропы (2.108): и уравнение Клапейрона-Менделеева для одного моля , перепишем (2.113) в виде:
![](..\images\ch2_6\fml85.gif) .
Отсюда имеем:
![](..\images\ch2_6\fml86.gif) .
Следовательно, работа, совершаемая одном молем идеального газа в процессе с постоянной теплоёмкостью, определяется только разностью температур конечного и начального состояний газа.
Таким образом, для идеального газа работа, а, следовательно, и количество теплоты, в политропических процессах определяются только конечным и начальным состояниями системы, так как путь перехода из одного состояния в другое определён теплоёмкостью газа (показателем политропы). Однако даже при рассмотрении только политропических процессов, работу и количество теплоты нельзя считать функцией состояния системы, так как переход из одного состояния в другое может быть осуществлен последовательностью различных политропических процессов.
Задача 2.5. Какое количество теплоты передано одноатомному газу в процессе, описанном в условии задачи 2.4?
Решение: В соответствии с формулой (2.105) имеем:
![](..\images\ch2_6\fml87.gif) .
Тогда количество теплоты будет равно:
![](..\images\ch2_6\fml88.gif) .
Отсюда, в частности, следует, что при равенстве показателя политропы показателю адиабаты для одноатомного газа: , количество теплоты .
|