1.3. Термодинамический цикл Карно
В соответствии с первым началом термодинамики (1.2), при осуществлении кругового процесса, из-за возвращения рабочего тела в исходное состояние, его внутренняя энергия за цикл не изменяется. Поэтому совершенная рабочим телом механическая работа равна разности подведенной  и отведенной  теплоты:
 . | (1.12) |
 . | (1.13) |
Максимальным тепловым коэффициентом полезного действия обладает цикл Карно, который является обратимым и состоит из следующих друг за другом изотермических и адиабатических процессов (см. рис. 1.3). Для организации простейшего кругового процесса достаточно использования двух изотерм и двух адиабат. Возможность осуществления такого циклического процесса связана с тем, что с помощью адиабатического процесса всегда возможен переход между любыми изотермами, а с помощью изотермического - между любыми адиабатами. | Рис. 1.3.
Термодинамический цикл Карно |
 , | (1.14) |
а внутренняя энергия задается формулой
 . | (1.15) |
Необходимо отметить, что феноменологическая термодинамика, основанная на использовании общих принципов или начал, использует конкретный вид этих функций, полученных из результатов экспериментов или рассчитанных с помощью методов статистической физики.
Для рассматриваемого случая реального газа можно получить уравнение адиабаты. Подстановка формул (1.14) и (1.15) уравнение для адиабатического процесса:  , позволяет получить дифференциальное уравнение
 , | (1.16) |
интегрирование которого дает уравнения адиабат для процессов 2-3 и 4-1 (см. рис. 1.3) в виде:
 , | (1.17) |
 . | (1.18) |
Уравнения (1.17) и (1.18) могут быть разрешены в явном виде относительно переменных  и  :
 , | (1.19) |
 , | (1.20) |
или относительно переменных  и  :
 , | (1.21) |
 . | (1.22) |
Для изотермических процессов 1-2 и 3-4 запишем общие выражения для получаемой  и отдаваемой  теплоты:
 , | (1.23) |
 . | (1.24) |
В этих формулах учтено то, что для реального газа при изотермическом процессе может происходить изменение внутренней энергии.
Тогда в соответствии с формулой (1.13) имеем выражение для к.п.д. цикла Карно
 . | (1.25) |
Подставляя в эту формулу выражения для  и  из уравнений (1.21) и (1.22) имеем
 . | (1.26) |
 . | (1.27) |
 , | (1.28) |
которое может выполняться при произвольных значениях  ,  ,  и  только в том случае, если функции  и  представляют собой одинаковые зависимости от температур  и  и не зависят соответственно от  ,  и  ,  .
Следовательно, к.п.д. цикла Карно является функцией температуры нагревателя  и холодильника  и может быть записан в виде
 . | (1.29) |
Отметим, что проведенный анализ не позволяет сделать заключение о зависимости или независимости конкретного вида этой функции от физико-химических свойств рабочего тела.
Для идеального газа по приведенной выше методики можно получить соотношение
 . | (1.30) |
Задача 1.2. Рассчитать к.п.д. термодинамического цикла Карно для тепловой машины, использующей в качестве рабочего тела один моль реального газа, описываемого уравнением Ван-дер-Ваальса. Использовать уравнение состояния  и выражение для внутренней энергии  газа Ван-дер-Ваальса.
Решение: Подстановка в формулу (1.16) приведенных в условии задачи выражений для уравнения состояния и внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса дает:
 .
Полученное выражение может быть приведено к виду:
 ,
 .
Интегрирование полученного дифференциального уравнения дает уравнение адиабаты газа Ван-дер-Ваальса:
 .
Применение этого уравнения для двух адиабатических процессов позволяет получить условия:
 ,
 ,
которые в свою очередь дают:
 .
Далее, подстановка в формулы (1.23) и (1.24) выражений для функций  и  , и выполнение интегрирования позволяет вычислить подводимую  и отводимую  теплоты:
 ,
 .
Подстановка этих выражений в формулу (1.13), с учетом полученного выше соотношения для объемов, дает выражение для к.п.д. машины Карно, при использовании в ней газа Ван-дер-Ваальса:
 .
Задача 1.3. Рассчитать к.п.д. термодинамического цикла Карно для тепловой машины, использующей в качестве рабочего тела фотонный газ. Использовать уравнение состояния  и выражение для внутренней энергии  фотонного газа. Термодинамический цикл Карно для фотонного газа приведен на рис. 1.4. | Рис. 1.4.
Термодинамический цикл Карно для фотонного газ |
Решение: Фотонный газ представляет собой электромагнитные волны, заполняющие объем, ограниченный стенками, нагретыми до некоторой температуры  .
Применение формулы (1.16) для приведенных в условии задачи выражений для уравнения состояния и внутренней энергии фотонного газа позволяет получить дифференциальное уравнение адиабатического процесса:
 .
Данное дифференциальное уравнение преобразуем к виду:
 .
Интегрирование этого дифференциального уравнения позволяет записать уравнение адиабаты фотонного газа в форме:
 .
Тогда, применение этого уравнения для двух адиабатических процессов позволяет получить условия:
 ,
 ,
 ,
 .
Подстановка в формулы (1.23) и (1.24) выражения для функций  и  из условия задачи, и выполнение интегрирования позволяет вычислить подводимую  и отводимую  теплоты:
 ,
 .
 .
Учет полученных выше соотношений между объемами  ,  и  ,  позволяет записать к.п.д. машины Карно, рабочим телом которой является фотонный газ, в виде:
 .
Как следует из проведенных расчетов к.п.д. машины Карно одинаков при использовании в ней в качестве рабочего тела идеального газа, газа Ван-дер-Ваальса и фотонного газа.
|