4.3. Электропроводность проводников

     Электропроводность проводников следовало бы рассматривать с позиций квантовой механики, однако, это - сложная для вводного курса задача. Поэтому воспользуемся полуклассическим подходом для вычисления электропроводности проводников.

     Рассмотрим проводник, у которого при отсутствии внешнего электрического поля занятые состояния электронов в -пространстве будут ограничены поверхностью Ферми, которую для простоты будем считать сферой, не пересекающей границы первой зоны Бриллюэна (см. рис. 4.9).

     При появлении внешнего поля на электроны будет действовать сила . Они начнут ускоряться в соответствии со вторым законом Ньютона:

     Электроны через время приобретут дополнительную скорость:

     Можно считать, что распределение электронов по состояниям, изображенное на рис. 4.9, как бы сместиться на некоторое расстояние. Очевидно, что через достаточно большое время скорость электронов и смещение распределения электронов на рис. 4.9 могут стать очень большими. Однако, необходимо учитывать столкновения электронов как друг с другом, так и с различными препятствиями.

     Совершенная кристаллическая решетка, согласно разд.4.1, не может быть препятствием для движения электронов с волновыми векторами, не попадающими на границы зон Бриллюэна. Электрон может сталкиваться лишь с другими электронами и с различными несовершенствами (дефектами) кристаллической решетки, которые принято разделять на динамические и статические.

     К динамическим дефектам относятся, например, фононы и магноны; взаимодействие электрона с ними напоминает столкновение с движущейся частицей, отсюда и их название. На самом же деле движущийся фонон искажает кристаллическую решетку (см. разд. 3.1), и электрон отклоняется искаженным ее участком.

     К статическим дефектам относятся все дефекты кристаллической решетки, рассмотренные в главе 2; взаимодействие электрона с ними напоминает столкновение с покоящейся (статической) частицей, отсюда и такое название. Концентрация динамических дефектов возрастает при увеличении температуры, а статических дефектов - приблизительно остается постоянной.

     Из-за столкновений электрон будет ускоряться какое-то среднее время , называемое временем релаксации, после чего произойдет столкновение, скорость электрона изменится и примет случайное, в среднем равное нулю значение. За время до столкновения электрон приобретет среднюю скорость направленного движения, называемую дрейфовой скоростью, равную:

     Это обеспечит протекание тока плотности:

     Вспомнив закон Ома: , получаем для коэффициента электропроводности выражение:

     Для удельного сопротивления получается выражение:

     Через обозначена средняя частота столкновений электрона.

     Для анализа зависимости необходимо рассмотреть зависимость от температуры и концентрации дефектов.

     Можно считать, что динамические и статические дефекты при не слишком больших их концентрациях воздействуют на движущиеся электроны независимо друг от друга. Тогда можно считать частоту столкновений электрона с дефектами состоящей из двух слагаемых:

     Первое слагаемое не зависит от температуры. Второе слагаемое зависит: во-первых, от концентрации фононов и от механизмов столкновений электронов с фононами, во-вторых, от столкновений электронов друг с другом.

     При столкновениях электронов друг с другом необходимо учитывать законы сохранения энергии, импульса и принцип Паули. Принцип Паули приводит к дополнительным значительным ограничениям на волновые векторы электронов после столкновения: электрон должен оказаться в состоянии, не занятом другими электронами. Как уже отмечалось выше, при всех температурах до температур плавления в проводниках заняты (с вероятностью очень близкой к единице) практически все состояния с энергией меньшей энергии Ферми на величину порядка нескольких . Таких занятых состояний, находящихся на рис. 4.10 внутри самой малой сферы, - значительное большинство, и именно в них не может оказаться электрон после столкновения; из-за чего столкновения не происходят, даже если они разрешены законами сохранения энергии и импульса.

     Процессы, изображенные на рис. 4.10а (слева), возможны, так как для них выполнены закон сохранения энергии и импульса и обеспечено выполнение принципа Паули). Процессы, изображенные на рис. 4.10а (справа), - невозможны, поскольку состояние 4 занято и электрон после столкновения не может в нем оказаться. Крайне маловероятны и процессы изображенные на рис. 4.10б (слева), хотя состояния 3 и 4 свободны; для их осуществления потребуется дополнительная энергия намного превосходящая (суммарная энергия электронов в состояниях 3 и 4 значительно превосходит суммарную энергию электронов в состояниях 1 и 2). Поэтому в процессах столкновений участвуют только электроны, волновые векторы которых находятся только в очень тонком слое вблизи поверхности Ферми (см. рис. 4.10а (слева)). И из этой малой доли электронов не все смогут сталкиваться из-за ограничений, налагаемых законом сохранения импульса. Например, столкновения электронов с волновыми векторами, отмеченными на рис. 4.10б (справа), невозможны из-за невыполнения закона сохранения импульса. По этим причинам электроны, находящиеся в металле на малых расстояниях порядка межатомных и быстро двигающиеся, сталкиваются тем не менее сравнительно редко. Результатом этого является очень большая длина свободного пробега электронов, достигающая (см. задачу 4.3) иногда десятков и сотен тысяч межатомных расстояний. Как показывают расчеты и анализ опытных данных, столкновения электронов с фононами - более частые, чем электронов с электронами.

     Рассмотрим поэтому подробнее столкновения электронов с фононами, поскольку они более частые и обеспечивают главный вклад в электросопротивление. Число фононов при температурах порядка комнатной пропорционально температуре (см. разд. 3.3); поэтому считают, что частота столкновений электронов с фононами пропорциональна температуре. Согласно (4.22) вклад в электросопротивление от динамических дефектов окажется также пропорциональным температуре. Экспериментальные данные (см. рис. 4.11) хорошо подтверждают этот вывод.

     Зависимость удельного сопротивления от температуры характеризуют величиной температурного коэффициента сопротивления: . Заметим, что при одной и той же температуре величина , вычисленная по данным рис. 4.11 для сплавов разного состава, оказывается различной, поскольку равна отношению тангенса наклона кривой (они приблизительно одинаковы для всех кривых) к величине , разной для сплавов разного состава (см. задачу 4.2). По этой причине для сплавов с большим вкладом статических дефектов в удельное сопротивление величина оказывается очень малой.

     По кривым, изображенным на рис. 4.11, видно, что вклады в удельное сопротивление проводника от динамических и статических дефектов можно считать аддитивными. Концентрация статических дефектов и связанное с ней удельное сопротивление проводника при температуре вблизи абсолютного нуля пропорциональны концентрации атомов примеси.

     В технике особо широко используются материалы с наименьшими и наибольшими значениями . Первые необходимы для создания наиболее компактных и экономичных проводов и электротехнических изделий, а вторые - для различных нагревателей и датчиков.

     Проводники с наименьшим сопротивлением. Для создания таких материалов обеспечивают минимальное количество дефектов. Для уменьшения концентрации статических дефектов используют наиболее чистые металлы, и их дополнительный отжиг, способствующий уменьшению концентрации - "залечиванию" дефектов и уменьшению (см. рис. 4.11). Для уменьшения концентрации динамических дефектов желательно применять охлаждение проводников, однако это обычно не выгодно экономически; поэтому ограничиваются обычно борьбой с перегревом изделия, например с помощью обдува воздухом, циркуляции жидкости вокруг или внутри проводов.

     В качестве наиболее эффективных проводников чаще всего используют хорошо очищенные медь, алюминий или серебро.

     Проводники с наибольшим сопротивлением. Для создания таких проводников обеспечивают максимальное количество дефектов в материале. Для этого используют сплавы атомов сильно различающихся строением электронных оболочек, но хорошо смешиваемые друг с другом. В таком случае кристаллическая решетка состоит из беспорядочно чередующихся атомов, которые затрудняют движение электронов, сильно рассеивая их.

     Наиболее часто как материал с наибольшим сопротивлением используют сплав никеля с хромом (так называемый нихром), который обладает еще и хорошими антикоррозионными свойствами до температур порядка 1400 К.