6.4. Распределение Ферми-Дирака
Перейдем к анализу статистических свойств ферми-частиц, т.е. частиц, обладающих полуцелым спином. Напомним, что ферми-частицы подчиняются принципу (запрету) Паули, согласно которому в одном и том же состоянии одновременно не может находится более одного фермиона. Таким образом, фермионы являются частицами-индивидуалистами. Рассмотрим идеальный ферми-газ, т.е систему, состоящую из невзаимодействующих фермионов.
Как и в предыдущем параграфе решим сначала вспомогательную задачу - найдем число возможных распределений шаров по ячейкам пенала при условии, что в каждой ячейке не может находится более одного шара (рис. 6.5) . Темными кружками будем отмечать шары, находящиеся в ячейках, светлыми - отсутствие шара в ячейке. Число ячеек и число шаров должны удовлетворять условию .
Число всевозможных перестановок черных и белых кружков по ячейкам пенала равно . При этом перестановки только черных кружков в силу тождественности частиц не приводят к новым распределениям. Число таких перестановок равно . Перестановки местами светлых кружков (пустых ячеек) тоже не дают новых распределений, их число равно . Таким образом, число различных распределений шаров по ячейкам в данном случае равно
| (6.44) |
Для иллюстрации полученного результата рассмотрим распределение двух шаров по четырем ячейкам (рис.6.6). Число таких распределений равно
шести. Точно такой же ответ следует из (6.44)
Поскольку фермионы в силу запрета Паули являются частицами-индивидуалистами, то выражение (6.44) определяет число возможных распределений фермионов по ячейкам, т.е. статистический вес макросостояния системы фермионов.
Вывод статистического распределения, которому подчиняются ферми-частицы, проводится подобно тому, как это было сделано выше для бозе-частиц. Рассмотрим шестимерное фазовое пространство с координатами . Разобьем его с помощью изоэнергетических поверхностей
на тонкие энергетические слои, так что . Пусть в пределы -го слоя попадает ячеек (каждая объемом ) и частиц. Тогда, согласно (6.44) , статистический вес подсистемы из частиц есть
Статистический вес всей системы равен произведению статистических весов ее отдельных подсистем
| (6.45) |
Для того, чтобы найти наиболее вероятное распределение частиц по ячейкам, нужно найти максимум статистического веса (6.45) при условии, что полное число частиц системы и полная энергия системы остаются постоянными, т.е.
Как и в случае бозе-частиц, вместо максимума статистического веса будем искать максимум энтропии . С учетом (6.45) для энтропии системы ферми-частиц получаем следующее выражение
Воспользуемся формулой Стирлинга , справедливой при . Поскольку и , то
| (6.46) |
где . Слагаемое в (6.46) можно в дальнейшем не учитывать, поскольку при решении задачи на экстремум энтропии варьироваться будут только числа частиц в слое , а от них не зависит.
Для отыскания максимума энтропии (6.46) воспользуемся, как и в разделе 6.3, методом множителей Лагранжа. Рассмотрим функцию
где и - множители Лагранжа. Приравнивая нулю частные производные этой функции по , получаем
Отношение представляет собой среднее число ферми-частиц , приходящихся на одну ячейку, т.е. на одно квантовое состояние. Наиболее вероятное значение , как следует из решения задачи на экстремум, есть
| (6.47) |
Множители Лагранжа и находятся точно также, как и в случае бозе-частиц. Используя тот же самый метод, что и в разделе 6.3 , для имеем
Записывая в виде , где - химический потенциал, и подставляя и в (6.47) , получаем
Освобождаясь от индекса , приходим к окончательному выражению
| (6.48) |
Соотношение (6.48) называется распределением Ферми-Дирака. Оно определяет среднее число ферми-частиц, находящихся в квантовом состоянии с энергией .
Обсудим следствия, вытекающие из распределения Ферми-Дирака. Прежде всего отметим, что не может быть больше единицы, поскольку числитель выражения (6.48) равен единице, а в знаменателе к единице прибавляется положительная величина - экспонента. Это означает, что в одном квантовом состоянии не может находиться более одной ферми-частицы, что согласуется с принципом Паули. Поскольку , то говорят, что распределение (6.48) определяет вероятность заполнения энергетического уровня с энергией при температуре .
Химический потенциал для ферми-частиц может быть только положительным, т.е. . Иначе при экспонента в знаменателе в (6.48) обратилась бы в бесконечность, а числа заполнения - в нуль, чего, естественно, быть не может. Напомним, что для бозе-частиц химический потенциал отрицателен.
Рассмотрим случай малых чисел заполнения, т.е. будем считать, что
Это условие выполняется при или . Пренебрегая единицей по сравнению с экспонентой в знаменателе выражения (6.48) , получаем
где . Таким образом, мы приходим к заключению, что распределение Ферми-Дирака при малых числах заполнения, или, как говорят, в случае разреженного ферми-газа, переходит в классическое распределение Больцмана. В предыдущем параграфе было показано, что в распределение Больцмана в случае малых чисел заполнения переходит и распределение Бозе-Эйнштейна. Следовательно, можно сделать вывод, что разреженные квантовые газы (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются вырожденными и подчиняются классической статистике. Подчеркнем, что хотя квантовая статистика в данном случае приводит к тем же результатам, что и классическая, квантовая природа частиц газа остается неизменной.
На рис. 6.7 приведены графики распределений Ферми-Дирака и Больцмана. При эти распределения, как уже отмечалось, совпадают. Кардинальное различие между ними наблюдается при . Классические частицы могут накапливаться в одном и том же состоянии в большом количестве. Для них тем больше, чем меньше энергия состояния . Что же касается ферми-частиц, то максимальное
их число в одном квантовом состоянии не может превышать единицу, что согласуется с запретом Паули.
Химический потенциал , который, как уже отмечалось, имеет размерность энергии, в случае ферми-частиц называют энергией Ферми или уровнем Ферми и обозначают . При этом распределение Ферми-Дирака (6.48) принимает вид
| (6.49) |
Именно это выражение мы и будем использовать в дальнейшем изложении.
Отметим, что поскольку для фермионов , то также больше нуля. В дальнейшем будет показано, что энергия Ферми является медленно меняющейся функцией температуры . Вид этой функции для электронного газа в металле рассмотрен в разделе 6.5 .
Для того, чтобы выявить физический смысл энергии Ферми, рассмотрим зависимость распределения Ферми-Дирака от температуры. Начнем наш анализ со случая . Конечно, утверждение о том, что абсолютный нуль температур не достижим, остается в силе. Говоря о , мы будем считать, что рассматриваемая температура может быть сколь угодно близка к абсолютному нулю, т.е. . Обозначим через значение энергии Ферми при .
Из вида распределения (6.49) следует, что в случае
Это означает, что все квантовые состояния с энергиями оказываются занятыми фермионами, а все состояния с энергиями - свободными. Таким образом, при энергия Ферми является максимальной энергией, которой могут обладать ферми-частицы.
График зависимости от при представлен на рис. 6.8.
Распределение Ферми-Дирака в этом случае представляет собой ступенчатую функцию единичной высоты, обрывающуюся при . Вид зависимости от энергии частиц при температурах, отличных от нуля, приведен на рис. 6.9.
В этом случае резкий скачок от единицы до нуля становится более размытым и происходит в области энергий, шириной порядка нескольких . Чем выше температура, тем шире область, в которой меняется от единицы до нуля, и тем более плавно происходит переход от заполненных состояний к незаполненным. Отметим, что, как следует из (6.49), при любой температуре значение при равно .
Наряду с энергией Ферми при анализе поведения ферми-частиц вводятся также импульс Ферми и скорость Ферми, определяемые соотношениями
| (6.50) |
При это максимальные импульс и скорость, которыми может обладать ферми-частица.
|