4.1. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

     Основным уравнением нерелятивистской квантовой механики является временное уравнение Шредингера

     где - оператор полной энергии частицы (оператор Гамильтона). Это уравнение позволяет найти волновую функцию как функцию координат и времени, определить плотность вероятности нахождения частицы в любой точке пространства в любой момент времени и тем самым полностью описать квантовое состояние частицы, движущейся в силовом поле.

     В квантовой механике существует класс задач о движении в силовых полях, для которых силовая функция не зависит явно от времени, т.е. . Такие силовые поля называются стационарными силовыми полями, в этом случае силовая функция имеет смысл потенциальной энергии частицы. В стационарных полях квантовая система может находиться в состояниях с определенным значением энергии . Эти состояния называются стационарными состояниями, а задачи о движении частиц, находящихся в таких состояниях, - стационарными задачами квантовой механики. Именно анализу стационарных состояний квантовых систем и будет посвящено дальнейшее изложение в этой главе.

     Найдем общий вид волновой функции, соответствующей стационарному состоянию. Поскольку оператор в уравнении (4.1) не зависит явно от времени, то волновую функцию следует искать в виде произведения двух функций

     одна из которых - - зависит только от координат, а другая - - только от времени. Подставляя волновую функцию (4.2) в уравнение (4.1), и разделив затем обе части уравнения на , получаем

     В уравнении (4.3) левая часть зависит только от времени, а правая - только от координат. Выполнение этого равенства возможно лишь в том случае, если левая и правая части уравнения равны постоянной величине, обозначим ее буквой . Таким образом, из (4.3) получаем два уравнения - одно для функции , а другое - для функции

     Уравнение (4.4a) определяет собственные значения и собственные функции оператора полной энергии (гамильтониана) . Следовательно, константа представляет собой не что иное, как полную энергию квантово-механической системы. Перепишем уравнение (4.4a) с учетом вида оператора

     где - оператор Лапласа. Уравнение (4.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Его решения - функции и соответствующие значения энергии - определяются конкретным видом потенциальной энергии частицы . Часто уравнение Шредингера для стационарных состояний записывают в следующей форме

     Перейдем теперь к анализу временной функции . Решение уравнения (4.4b) имеет вид

     где - некоторая константа. Без потери общности можно положить , так как функция входит во все выражения лишь в виде произведения с функцией , которая также определяется с точностью до произвольного множителя. Поэтому нет смысла вводить еще одну произвольную постоянную и для функции .

     Таким образом, волновая функция частицы, находящейся в стационарном квантовом состоянии, имеет вид

     Из (4.8) следует, что волновая функция стационарного состояния гармонически зависит от времени с частотой

     Этот результат показывает, что соотношение де Бройля , первоначально применявшееся в случае свободного движения частицы, справедливо также и в случае движения частицы в произвольном стационарном силовом поле.

     Важно отметить, что для стационарных состояний плотность вероятности местонахождения частицы не зависит от времени. Действительно,

     Можно показать, что в стационарных состояниях от времени также не зависит вектор плотности потока вероятности и средние значения физических величин.

     С учетом соотношения (4.9) условие нормировки волновой функции

     принимает вид

     Координатную часть волновой функции в стационарных задачах часто называют просто волновой функцией, учитывая, что зависимость от времени определяется соотношением (4.8) .