3.8. Матричная форма квантовой механики

      Представление физических величин эрмитовыми операторами, действующими на волновую функцию, не является единственно возможным математическим аппаратом квантовой механики. В 1925 г. еще до открытия Э.Шредингером основного уравнения для волновой функции, В.Гейзенберг предложил в квантовой механике каждой физической величине ставить в соответствие некоторую матрицу с бесконечным числом строк и столбцов.

      Такая "матричная" форма квантовой механики была развита в работах В.Гейзенберга, М.Борна, П.Иордана и других физиков параллельно, а на первом этапе даже независимо от волновой теории с использованием операторов. И только позже Э.Шредингер показал, что представления физических величин операторами и матрицами эквивалентны, хотя математический аппарат этих двух методов решения задач квантовой механики оказывается различным.

      Связь между операторами и матрицами физических величин установим, считая для упрощения выкладок, что спектры рассматриваемых квантовомеханических операторов являются дискретными, хотя все обсуждаемые ниже соотношения были обобщены Дираком и на случай операторов с непрерывными спектрами.

      Пусть , - известный набор собственных функций некоторого квантовомеханического оператора . Из свойств собственных функций эрмитовых операторов следует, что любую регулярную функцию можно разложить в ряд по собственным функциям оператора:

     причем коэффициенты этого разложения определяются по формулам

      Если теперь в качестве функции взять функцию , являющуюся результатом действия на функцию оператора физической величины , то из (3.85) и (3.86) следует равенство

     где

      Величины можно рассматривать как элементы некоторой бесконечной матрицы

     Эту матрицу называют матрицей оператора (или физической величины ) в системе собственных функций оператора , или, как говорят, в - представлении. В квантовой механике при этом используются координатное, импульсное, энергетическое и другие представления.

      Каждую величину называют матричным элементом, соответствующим переходу из состояния в состояние . Матричный элемент имеет два индекса. Первый - есть номер строки, а второй - номер столбца матрицы.

      Для матричных элементов применяется также обозначение, предложенное Дираком,

      Такой символ можно рассматривать как сконструированный из обозначения физической величины (или соответствующего ей оператора ) и символов и . Формально, каждую собственную функцию (начальное состояние) представляет некоторый базисный вектор бесконечномерного пространства, который называют кет-вектором. Собственную функцию (конечное состояние) представляет вектор , который называют бра-вектором. Такие названия происходят от английских и , образующих слово (скобка).

      Заметим, что обозначение следует рассматривать как сокращенную запись выражения , где - единичный (тождественный) оператор, для которого . Поэтому

      Итак, оператор физической величины в -представлении определяется матрицей , элементы которой определяются соотношением (3.88). При этом эрмитову оператору всегда соответствует эрмитова матрица, для матричных элементов которой справедливо соотношение .

      Определим некоторые алгебраические операции над матрицами Гейзенберга:

     1. Сложение матриц. Если , то для матричных элементов матрицы выполняется равенство

     2. Умножение матриц. Если , то матричные элементы матрицы определяются по правилу перемножения матриц

      При этом произведение матриц, как и произведение операторов, не коммутативно, то есть в общем случае .

     3. Так как правила сложения и умножения матриц определены, то можно определить простейшие функции матриц. Так например, под функцией будем понимать следующий ряд из матриц

      Отметим одно важное свойство матриц Гейзенберга физических величин в квантовой механике. Если определить матричные элементы оператора в собственном - представлении, когда , то из (3.88) получаем

     Это означает, что матрица оператора в собственном представлении является диагональной матрицей, то есть матрицей, у которой отличны от нуля лишь элементы с , причем эти диагональные элементы являются собственными значениями оператора .

      Таким образом, важная задача квантовой механики об определении собственных значений квантовомеханического оператора в матричной формулировке сводится к нахождению такого преобразования матрицы, которое приводит ее к диагональному виду.

      Представление квантовой механики в матричной форме позволяет формулировать уравнения квантовой механики так, что в них не фигурирует волновая функция, а сами уравнения по форме совпадают с уравнениями классической механики, но с тем принципиальным отличием, что в этих уравнениях классические физические величины заменены соответствующими матрицами.

      В некоторых случаях при решении задач квантовой механики матричная форма оказывается даже удобнее операторной. Но в нашем курсе при решении задач квантовой механики мы будем использовать только операторную форму квантовой механики с использованием волновой функции и волнового уравнения Шредингера. Примеры решения некоторых задач квантовой механики в матричной форме можно найти в учебниках по теоретической физике.