3.7. Одновременное измерение разных физических величин

      Важным вопросом в квантовой механике является вопрос о возможности одновременного точного измерения в некоторой квантовой системе двух различных физических величин. В качестве таких наблюдаемых величин могут выступать, например, координата и проекция импульса частицы, кинетическая и потенциальная энергии частицы, две различные компоненты момента импульса и др. Можно ли организовать физический эксперимент так, чтобы в нем эти две величины были измерены одновременно и точно?

      Некоторая физическая величина при этом считается точно измеримой в данной квантовой системе, если каждое измерение ее в ансамбле одинаковых систем приведет к одному и тому же значению результата измерения. При этом предполагается идеальность эксперимента, исключающая приборные ошибки в измерениях.

      Из выводов предыдущего параграфа следует, что физическая величина может быть точно измерена только в такой системе, квантовое состояние которой описывается волновой функцией, являющейся одной из собственных функций соответствующего этой физической величине оператора .

      При этом, вовсе не обязательно, чтобы в этом квантовом состоянии другая физическая величина была бы также точно измерима. Эти физические величины и будут одновременно точно измеримы только в том случае, если соответствующие им операторы и имеют общую систему собственных функций.

      Покажем, что если два оператора и имеют общую систему собственных функций, то между ними существуют некоторые коммутационные соотношения, и результаты последовательного действия операторов на волновую функцию не зависят от порядка их применения. Действительно, пусть функции () являются функциями как оператора так и оператора . Тогда выполняются следующие соотношения

     Здесь и - собственные значения операторов и , соответствующие их общей собственной функции .

      Отсюда следует, что

     Но так как любая волновая функция может быть представлена в виде линейной комбинации собственных функций: , то в силу линейности квантовомеханических операторов и для любой волновой функции должно выполняться коммутационное соотношение

     которое в операторной форме может быть записано в виде

     Разность операторов называют коммутатором операторов и и обозначают обычно символом

     Два оператора, коммутатор которых равен нулю, называют коммутирующими операторами.

      Таким образом, мы приходим к важному выводу квантовой механики:

     Если две разные физические величины и могут быть одновременно точно измерены, то соответствующие им операторы и должны быть коммутирующими операторами, то есть для них должно выполняться соотношение (3.77).

      Таким образом, коммутативность операторов служит выражением возможности одновременного точного измерения соответствующих им физических величин. Обратно, некоммутативность операторов указывает на невозможность такого одновременного точного измерения двух соответствующих им физических величин.

      По этому правилу проверим, можно ли одновременно точно измерить координату частицы и проекцию ее импульса? Для этого найдем коммутатор операторов и :

     Тем самым, показано, что

      Следовательно, нельзя одновременно точно измерить координату частицы и проекцию ее импульса. Как и следовало ожидать, этот вывод совпадает с выводом, полученным ранее ( раздел 2.3) при анализе соотношений неопределенностей Гейзенберга.

      При одновременном измерении у квантовой частицы ее координаты и проекции импульса результаты измерений в квантовом ансамбле будут разбросаны относительно средних значений, и эти флуктуации можно охарактеризовать средними квадратами отклонений или дисперсиями

      Покажем, что найденное значение для коммутатора позволяет оценить связь между этими дисперсиями. С целью упрощения выкладок, ограничимся рассмотрением одномерного движения частицы, выбрав систему расчета, для которой и . В этом случае

      Будем считать также, что волновая функция нормирована, и поэтому , причем на бесконечности квадрат модуля волновой функции достаточно быстро (быстрее, чем ) стремится к нулю.

      При этих предположениях рассмотрим несобственный интеграл, зависящий от некоторого действительного параметра и имеющий положительные значения для всех значений этого параметра

      Запишем это соотношение в виде

     Здесь

      Условие положительности интеграла , значение которого записано в виде квадратного трехчлена (3.80), на основании теоремы о корнях квадратного уравнения можно записать в виде

      Подставляя в (3.81) вместо , , их значения, получаем, что всегда выполняется неравенство , которое можно записать как

      Если величины и назвать неопределенностями координаты и проекции импульса, то (3.82) принимает вид

     Аналогично могут быть получены еще два неравенства для других координат

      Сравнение полученных соотношений с формулами (2.16) показывает, что соотношения неопределенностей Гейзенберга являются следствием общих положений квантовой механики.

      Легко убедиться, что операторы кинетической и потенциальной энергий не коммутируют. Поэтому, хотя оператор полной энергии

     есть сумма таких операторов, нельзя утверждать, что в квантовой системе полная энергия системы есть сумма кинетической и потенциальной энергий. Это означает, что принципиально нельзя одновременно точно измерить кинетическую и потенциальную энергию движущейся частицы. Поэтому нельзя измерить полную энергию частицы, измеряя одновременно ее кинетическую и потенциальную энергии.

      Еще раз подчеркнем, что в квантовой механике математическим объектам и операциям над ними всегда соответствуют физические объекты и законы, управляющие их движением. Известный физик-теоретик А.В.Фок в своей книге "Начала квантовой механики" отмечал, что можно составить целый словарь для перевода математического языка квантовой механики на физический язык. В качестве примера приведем одну из страничек такого словаря

     

Математика	Физика
Волновая функция	Состояние квантовой частицы
Квадрат модуля	Плотность вероятности обнаружения частицы
Условие нормировки	Достоверность наличия частицы
Линейный эрмитов оператор	Физическая величина
Собственная функция оператора , соответствующая собственному значению	Состояние квантовой частицы, в котором значение физической величины равно
Квадрат модуля коэффициента в разложении волновой функции в ряд по собственным функциям оператора	Вероятность при измерении получить значение
Интеграл	Среднее значение (математическое ожидание) физической величины в заданном квантовом состоянии
Коммутативность операторов и :	Принципиальная возможность одновременно наблюдать и точно измерить физические величины и

     Можно порекомендовать каждому, изучающему квантовую механику, самостоятельно продолжить заполнение страниц такого словаря.