3.2. Уравнение Шредингера

      Как, зная структуру силового поля, в котором движется частица, определить волновую функцию, описывающую квантовомеханическое состояние этой частицы? Как, зная волновую функцию в начальный момент времени, описать эволюцию волновой функции во времени? Ответы на эти вопросы дает основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, сформулированное Э.Шредингером в 1926 г.

      Общее временное уравнение Шредингера, позволяющее определить в любой момент времени волновую функцию для частицы массы , движущейся в силовом поле , описываемом скалярной потенциальной функцией , имеет вид

      Здесь - мнимая единица, а - рационализированная постоянная Планка. Стандартным символом в (3.8) обозначен дифференциальный оператор Лапласа, который в декартовой системе координат имеет вид

      В общем случае в задачах квантовой механики дифференциальное уравнение в частных производных (3.8) должно решаться с учетом определенных начальных и граничных условий на волновую функцию.

      Начальное условие задает значение волновой функции в начальный момент времени .

      Граничные условия являются следствием регулярности волновой функции, обеспечивая, в частности, ее непрерывность. Эти условия формулируются на границах областей, где потенциальная функция терпит разрывы первого или второго рода. Сюда же относятся условия на волновую функцию в бесконечно удаленных точках пространства, которые обеспечивают выполнение условия нормировки (3.4).

      Уравнение Шредингера, как и законы классической механики Ньютона, законы термодинамики, уравнения электродинамики Максвелла и другие основные физические уравнения, не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как некоторое научное положение, справедливость которого доказывается согласием результатов расчетов, выполненных с помощью уравнения Шредингера, с данными экспериментов. Такое согласие установлено для большого числа явлений в атомной и ядерной физике. Квантовые эффекты, предсказанные с помощью уравнения Шредингера, лежат в основе многих технических устройств, приборов и технологий.

      Уравнение Шредингера тесно связано с гипотезой де Бройля и вытекающим из неё корпускулярно-волновым дуализмом материи. Действительно, непосредственной проверкой легко убедиться, что для свободной частицы, с кинетической энергий , движущейся в отсутствие силовых полей () в направлении оси , решением соответствующего уравнения Шредингера

     является волновая функция

     соответствующая плоской волне де Бройля. Этот факт позволяет утверждать, что и в общем случае уравнение Шредингера является волновым уравнением. Линейность этого уравнения обуславливает принцип суперпозиции квантовых состояний, физическое содержание которого обсуждалось в предыдущем параграфе.

      Как уже указывалось, квантовая механика содержит в себе классическую механику как некоторый предельный случай. Значит, соответствующий предельный переход можно осуществить и в основном уравнении квантовой механики. Уравнение Шредингера после такого предельного преобразования должно перейти в основное уравнение классической механики.

      Связь между квантовой и классической механикой аналогична связи между волновой и геометрической оптикой. В обоих случаях переход от одной теории к другой соответствует переходу от относительно больших длин волн (частицы или излучения) к малым длинам волн, если их сравнивать с характерным размером области неоднородности силового поля или оптических свойств среды. Этот вывод иллюстрирует следующая таблица

     

Волновая оптика	Квантовая механика
Геометрическая оптика	Классическая механика

     В таком сравнении теорий траектория движения классической частицы является аналогом светового луча в геометрической оптике.

      Формально, малость длины волны де Бройля для частицы можно обеспечить, считая квант действия некоторым параметром задачи и осуществляя предельный переход по этому параметру. Действительно, по формуле де Бройля (2.2) при длина волны де Бройля также стремится к нулю. Поэтому переход от квантовой теории к классической в уравнении Шредингера (3.8) можно осуществить, выполняя в нем предельный переход . В курсах теоретической физики анализируются результаты такого предельного перехода и доказывается, что при общее временное уравнение Шредингера (3.8) переходит в уравнение Гамильтона-Якоби классической механики.

      Следует отметить, что с помощью волновых функций, найденных из решений уравнения Шредингера, можно описывать квантовые состояния только нерелятивистских частиц, которые движутся со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме. Переход к релятивистским скоростям частиц в квантовой механике был впервые осуществлен для электрона П.Дираком в 1928 г. Такой переход потребовал принципиально новых физических идей для описания квантовых состояний релятивистских частиц, результатом применения которых явилось создание релятивистской квантовой механики. В основе этой теории лежит уравнение Дирака, которое обобщает уравнение Шредингера и в настоящее время широко используется в квантовой электродинамике и теории элементарных частиц.