ГЛАВА 1. Квантовые свойства излучения
 
 

1.2. Квантовая теория излучения

     Объемная плотность энергии равновесного излучения. Рассмотрим основные положения теории равновесного теплового излучения. Для этого, не ограничивая общности выводов, предположим, что полость с идеально отражающими стенками имеет форму куба с ребром . Поместим в эту полость малое по размерам абсолютно черное тело, имеющее температуру . За счет испускания и поглощения электромагнитных волн этим телом полость равномерно заполнится равновесным тепловым излучением с определенной объемной плотностью энергии , зависящей от температуры. Эту интегральную объемную плотность энергии теплового излучения можно разложить по спектру частот, то есть представить в виде
     
Формула 1.12.(1.12)
      Здесь функция определяет объемную плотность энергии излучения, приходящуюся на единичный интервал частот вблизи частоты . Назовем ее спектральной плотностью энергии теплового излучения при данной температуре .
      Очевидно, что спектральная плотность энергии теплового излучения связана с испускательной способностью абсолютно черного тела, находящегося в равновесии с этим излучением. Эту связь можно установить, рассмотрев излучение вблизи элементарной площадки , выделенной на поверхности абсолютно черного тела (рис. 1.7).
      Тепловое излучение в любой точке пространства вблизи выделенной площадки равномерно распределено по всевозможным направлениям в пределах телесного угла . Поэтому плотность энергии излучения, приходящегося на телесный угол , то есть падающего на площадку под углом к ее нормали, можно записать в виде
Рис.1.7
Рис. 1.7.
     
Формула 1.13.(1.13)
      Но, если излучение с такой плотностью энергии, распространяясь со скоростью света в вакууме , падает на площадку под углом к нормали, то за время на эту площадку попадает вся энергия излучения, заключенная в заштрихованном на рис. 1.7 объеме, то есть равная
     
Формула 1.14.(1.14)
      Суммируя энергии излучения, падающего под всевозможными углами, находим полный поток энергии излучения, падающего на единицу поверхности в единицу времени:
     
Формула 1.15.(1.15)
      В состоянии термодинамического равновесия такой же поток должен излучаться с единицы поверхности абсолютно черного тела. Но этот поток энергии, по определению, есть энергетическая светимость абсолютно черного тела. Поэтому
     
Формула 1.16.(1.16)
      Проведенные выше выкладки справедливы и для каждой спектральной составляющей излучения на частоте . Поэтому аналогичным соотношением связаны спектральная испускательная способность абсолютно черного тела и спектральная объемная плотность энергии равновесного теплового излучения :
     
Формула 1.17.(1.17)
     Формула Рэлея-Джинса. В рассмотренной выше полости кубической формы с идеально отражающими стенками тепловое излучение как электромагнитное поле может существовать только в виде суперпозиции прямых и отраженных волн, то есть в виде стоячих электромагнитных волн, имеющих узлы на стенках полости.
      Направим оси декартовой системы координат вдоль трех взаимно перпендикулярных ребер кубической полости (рис. 1.8) и обозначим через , и - единичные орты вдоль соответствующих осей координат. Тогда для волны, распространяющейся строго вдоль оси , условие образования стоячей волны требует, чтобы
Рис.1.8
Рис. 1.8.
     то есть на длине между отражающими стенками должно укладываться целое число длин полуволн. Так как для такой волны волновой вектор , где , то условие образования стоячей волны в направлении оси можно записать и как условие на волновое число:
      Аналогичные рассуждения для волн, распространяющихся вдоль осей и , позволяют сформулировать общий вывод о том, что для стоячей волны, являющейся суперпозицией прямых и отраженных волн, распространяющихся в кубической полости в произвольном направлении, задаваемом волновым вектором
     должны выполняться условия
     
Формула 1.20.(1.20)
     Здесь , и - целочисленные параметры, принимающие независимо друг от друга значения 0, 1, 2 и т.д.
      Условия (1.20) можно записать как условие на волновые числа волн в полости
     Так как , то равновесное тепловое излучение в рассматриваемой кубической полости можно рассматривать как совокупность стоячих электромагнитных волн различных частот, значения которых определяются соотношением
     Каждой тройке целых неотрицательных чисел соответствует одна стоячая волна. Общее число таких стоячих волн бесконечно велико.
      Определим число стоячих электромагнитных волн в полости с частотами, которые не превышают заданного значения . Для этого рассмотрим дискретное трехмерное пространство (рис. 1.9), в котором каждая точка с целочисленными неотрицательными координатами , и соответствует отдельной стоячей электромагнитной волне в полости с равновесным тепловым излучением. Эти точки разбивают пространство на ячейки единичного объема.
Рис.1.9
Рис. 1.9.
      Представим теперь условие (1.22) в виде уравнения сферической поверхности в пространстве .
     
Формула 1.23.(1.23)
     Здесь - радиус сферы.
      Теперь число стоячих волн в полости, частоты которых не превосходят значения , можно определить, подсчитав число изображающих точек из положительного октанта пространства , попавших в шар, радиуса . Так как с каждой точкой в пространстве связана ячейка единичного объема, то объем 1/8 части шара радиуса и определяет искомое число точек (стоячих волн). Поэтому
     
Формула 1.24.(1.24)
     Здесь - объем полости, в которой заключено рассматриваемое равновесное тепловое излучение.
      Следует учесть, что электромагнитные волны - поперечные волны, и в каждом направлении в полости в общем случае могут распространяться две волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях. Поэтому число стоячих волн с частотой, не превышающей заданного значения , следует определить как
     
Формула 1.25.(1.25)
      Дифференцируя (1.25) по частоте, найдем число стоячих волн в полости, попадающих в интервал частот от до :
     
Формула 1.26.(1.26)
      Если теперь через обозначить среднюю энергию стоячей электромагнитной волны частоты , то по определению спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения имеем
     Отсюда, с учетом (1.26), находим что
     
Формула 1.27.(1.27)
      Развивая теорию теплового излучения, Д.Рэлей (1900 г.) и Д.Джинс (1905 г.) предложили рассмотреть каждую стоячую электромагнитную волну как объект с двумя степенями свободы, одна из которых - электрическая, а другая - магнитная.
      Согласно классической теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы, в состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы системы приходится в среднем энергия, равная , где Дж/К - постоянная Больцмана. Поэтому для равновесного теплового излучения при температуре на каждую стоячую электромагнитную волну частоты приходится в среднем энергия
     
Формула 1.28.(1.28)
     В этом случае из (1.27) получаем
     
Формула 1.29.(1.29)
     С помощью соотношений (1.17) полученную формулу для спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения можно преобразовать к формуле Рэлея-Джинса для испускательной способности абсолютно черного тела:
     
Формула 1.30.(1.30)
      Формула Рэлея-Джинса достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными об излучении абсолютно черного тела в области малых частот или больших длин волн и резко расходится с опытом для больших частот или малых длин волн излучения. Кроме того, интегрируя (1.29) и (1.30) по всем частотам, мы получаем бесконечные значения для интегральной плотности энергии равновесного теплового излучения и для энергетической светимости абсолютно черного тела . Действительно
     Отсюда следует, что классическая теория теплового излучения приходит к выводу о том, что при конечных значениях энергии излучения равновесие между веществом и излучением невозможно. Этот вывод противоречит опыту.
      Такой противоречивый результат, содержащийся в формуле Рэлея-Джинса, вывод которой с точки зрения классической теории не вызывал сомнений, П.С.Эренфест назвал "ультрафиолетовой катастрофой".
     Гипотеза о квантах. Формула Планка. "Ультрафиолетовая катастрофа" показала, что классическая физика содержит ряд принципиальных внутренних противоречий, которые проявились в теории теплового излучения и разрешить которые можно только с помощью принципиально новых физических идей.
      Такая физическая идея была сформулирована в 1900 г. М.Планком в виде гипотезы о квантах. Согласно этой гипотезе, излучение испускается и поглощается веществом не непрерывно, а конечными порциями энергии, которые Планк назвал квантами энергии. Величина кванта энергии зависит от частоты излучения и определяется формулой
     
Формула 1.31.(1.31)
     Здесь - новая фундаментальная физическая константа, которую называют постоянной Планка. Определенное из опытов с большой точностью значение этой константы по современным данным
     Так как размерность этой постоянной "энергиявремя" совпадает с размерностью величины, которую в механике называют действием, то постоянную Планка называют также квантом действия.
      Гипотеза Планка о квантах нарушила "незыблемое" правило классической физики о том, что любая физическая величина, в том числе и энергия, изменяется непрерывным образом, и за бесконечно малый промежуток времени ее изменение всегда бесконечно мало. Эта гипотеза оказала огромное влияние на последующее развитие физики. Именно развитие гипотезы Планка о квантах, высказанной в начале столетия, привело к появлению квантовой механики - современной физической теории, в которой идея квантования или дискретности распространяется на различные физические величины, характеризующие состояние системы. В этом смысле 1900 г. можно назвать годом рождения квантовой физики, которая за последующие сто лет бурно развивалась и позволила физикам создать законченную и непротиворечивую картину микромира на уровне атомных явлений.
      На первом этапе с помощью гипотезы о квантовании энергии излучения Планку удалось дать исчерпывающее теоретическое описание равновесного теплового излучения, сняв все противоречия классической теории.
      Основное отличие квантовой теории излучения от классической обнаруживается уже при расчете средней энергии излучения частоты . С учетом гипотезы Планка средняя энергия излучения определяется по формуле
     
Формула 1.32.(1.32)
     Здесь - возможные значения энергии излучения, а - вероятность того, что в состоянии термодинамического равновесия при температуре излучение будет иметь энергию . Эту вероятность можно оценить с помощью распределения Больцмана, записав ее с точностью до некоторой константы в виде
     
Формула 1.33.(1.33)
      Если учесть, что , то для константы получаем значение
      Таким образом, в квантовой теории излучения среднее значение энергии излучения частоты определяется следующим выражением:
     
Формула 1.34.(1.34)
      Сумму, стоящую в знаменателе этой формулы, определим по формуле геометрической прогрессии
     
Формула 1.35.(1.35)
      Формально дифференцируя это соотношение по , находим сумму ряда, стоящего в числителе формулы (1.34):
     
Формула 1.36.(1.36)
     Подставляя найденные значения сумм в (1.34), получаем окончательно выражение для средней энергии излучения частоты в квантовой теории
     
Формула 1.37.(1.37)
      Заметим, что на малых частотах, когда и , из (1.37) приходим к формуле классической теории: . Однако, в области больших частот отличие средней энергии излучения, рассчитанной по формулам (1.28) и (1.37), становится существенным. Но именно в этой области частот классическая теория излучения приводит к "ультрафиолетовой катастрофе". Квантовая теория излучения разрешает это противоречие теории и эксперимента. Действительно, подставляя (1.37) в (1.27), получаем известную формулу Планка для спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения
     
Формула 1.38.(1.38)
      Формула связи (1.17) позволяет также записать функцию Планка
     
Формула 1.39,(1.39)
     описывающую испускательную способность абсолютно черного тела во всем диапазоне частот.
      Функция Планка находится в соответствии с результатами экспериментальных исследований излучения абсолютно черного тела на всех частотах и при всех температурах. При низких частотах формула (1.39) квантовой теории излучения переходит в формулу (1.30) Рэлея-Джинса классической теории. При высоких частотах, когда и с высокой точностью , формула (1.39) переходит в соотношение
     
Формула 1.40,(1.40)
     структуру которого предсказал еще в 1893 г. В.Вин.
      Можно отметить, что изложенный выше путь вывода формулы Планка был исторически первым. Впоследствии эта задача решалась в квантовой физике различными методами. Некоторые из них будут рассмотрены в последующих разделах нашего курса.
      Задача 1.3. Используя основные соотношения квантовой теории излучения, выведите закон Стефана-Больцмана и определите значение постоянной Стефана-Больцмана.
      Решение: Интегрируя функцию Планка (1.39) по всем частотам, находим энергетическую светимость абсолютно черного тела. В результате интегрирования имеем
      Полученное соотношение соответствует закону Стефана- Больцмана (1.7), так как оно может быть записано в виде , где постоянная
     Значение несобственного интеграла
     вычислим, разложив в ряд его знаменатель
     и интегрируя почленно полученное выражение. В результате получим
      Поэтому значение постоянной Стефана-Больцмана можно записать через универсальные константы , и в виде
      Следует отметить, что сам Планк, пользуясь экспериментальным значением , по этой формуле впервые определил значение постоянной .
      Задача 1.4. С помощью функции Планка для испускательной способности абсолютно черного тела определите значение постоянной в законе Вина для теплового излучения.
      Решение: По формуле (1.3) с помощью замены переменной преобразуя функцию Планка (1.39), находим испускательную способность абсолютно черного тела как функцию длины волны:
     Вводя обозначение , представим функцию в виде
     Найдем, при каком значении функция имеет максимум. Для этого, взяв производную
     и приравняв ее нулю, получим для экстремального значения трансцендентное уравнение
     Решение этого уравнения можно найти методом последовательных приближений, считая, что . Тогда в первом приближении получаем . Во втором приближении искомый корень уравнения находим из соотношения
     Это значение можно взять в качестве приближенного решения рассматриваемого трансцендентного уравнения.
      Следовательно, испускательная способность абсолютно черного тела достигает максимума при длине волны , для которой
     Отсюда находим, что
     Обозначив константу в правой части этого равенства через , получаем закон смещения Вина: , в котором постоянная выражена через универсальные константы , и .



 
 
предыдущая | наверх | следующая