5.3 Дифракция Френеля электромагнитных волн на простейших препятствиях

Рассмотренный выше метод расчёта с помощью зон Френеля интенсивности света в точке наблюдения применим для анализа задач дифракции электромагнитных волн на простых по форме препятствиях .

Дифракция электромагнитных волн на круглом отверстии в плоском экране.

В соответствии с принципом Бабине такая задача позволяет получить одновременно и решение задачи дифракции на круглой непрозрачной пластинке, являющейся дополнительной к отверстию.

Пусть экран с отверстием радиуса расположен так, так что центр отверстия расположен на прямой, перпендикулярной плоскости экрана с отверстием, соединяющей точку наблюдения и точку источника (рис. 5.14). 'Разобьем' поверхность волнового фронта, падающего на отверстие, на зоны Френеля по отношению к точке наблюдения . Будем называть открытыми такие зоны Френеля, которые располагаются внутри отверстия. Соответственно зоны Френеля, попадающие на поверхность непрозрачного экрана, называются закрытыми.

Если размер отверстия во много раз меньше расстояний от экрана до источника и от экрана до точки наблюдения , то в соответствии с (5.6с) можно найти число открытых отверстием зон Френеля:

Применяя тот же подход, что и при выводе выражения (5.8), получим в точке наблюдения :

где - амплитуды волн от открытых отверстием зон Френеля, причём, знак плюс берётся для нечётных зон, а минус - для чётных.

Как отмечалось ранее, амплитуды волн зон Френеля при их небольшом числе можно считать примерно одинаковыми. По этой причине в точке будет либо максимум, либо минимум интенсивности дифрагированной волны от отверстия в зависимости соответственно от нечётности или чётности числа открытых зон Френеля.

Заметим, что без экрана с отверстием амплитуда поля в точке наблюдения равна . Таким образом, благодаря явлению дифракции света на экране с отверстием, открывающем небольшое нечётное число зон Френеля, наблюдается увеличение интенсивности падающего на него света почти в два раза.

Дифракционное увеличение интенсивности света в точке наблюдения легло в основу изобретения Вудом металловоздушных линз. В соответствии с предложением Вуда для фокусировки излучения источника, находящегося в точке , в некоторую точку необходимо закрыть, например, с помощью металлических кольцевых экранов все чётные (или нечётные) зоны Френеля, ослабляющие излучение нечётных (четных) зон (рис. 5.15). Такоё устройство получило название зональной пластинки или линзы Вуда. Можно добиться ещё большей степени фокусировки излучения, если в линзе Вуда вместо кольцевых металлических экранов использовать диэлектрические, изменяющие на 180^o фазу, проходящего через них света.

Рассмотрим наблюдение интенсивности дифрагированного отверстием света на непрозрачном экране, помещённом в точку , параллельно плоскости экрана с отверстием (рис.5. 14). В виду симметрии наблюдаемое на экране распределение интенсивности света будет иметь характер чередующихся тёмных и светлых колец с центром в точке (рис. 5.16). Интенсивность света в максимумах по мере удаления от центральной точки будет убывать. Убывание объясняется тем, что при смещении точки наблюдения P¹ из центра на периферию открытые из точки центральные зоны Френеля частично 'закрываются' (рис. 5.17) и, кроме того, частично открываются новые зоны Френеля, ослабляющие интенсивность света в точке наблюдения.

Рассмотрим вид дифракционной картины в зависимости от размера отверстия.

Если размер отверстия во много раз меньше первой зоны Френеля, то наблюдается размытое светлое пятно без каких либо колец. Если отверстие открывает 'много' зон Френеля, то дифракционные кольца наблюдаются в узкой области на границе свет тень. А в остальной части экрана

наблюдается практически равномерное освещение экрана, за исключением области геометрической тени, где освещённость отсутствует.

Дифракция на диске.

Пусть свет из точки источника (рис. 5.18) освещает непрозрачный диск радиуса , за которым на прямой, перпендикулярной плоскости диска и проведенной через его центр, располагается точка наблюдения . Как и выше, будем считать, что размер диска во много раз меньше расстояний от диска до источника и от диска до точки наблюдения .

Предположим, что диск из точки наблюдения 'закрывает' зон Френеля. Тогда амплитуда света в точке наблюдения будет равна алгебраической сумме амплитуд волн открытых зон Френеля:

Учитывая, что амплитуды соседних зон Френеля примерно равны друг другу, однотипные выражение в скобках можно положить равными нулю, и тогда получим

Отсюда следует, что в центре дифракционной картины, создаваемой диском, всегда наблюдается светлое пятно, независимо от размеров диска. В истории физики это свойств зон Френеля явилось доказательством волновой природы света. С точки зрения современников Френеля наблюдение светлого пятна в центре геометрической тени препятствия, освещаемого светом, казалось абсурдным, что и послужило основанием для Пуассона (1781-1853) возразить против волновой природы света. Для проверки этого возражения Араго (1786-1853) поставил опыт, которым действительно наблюдалось светлое пятно в центре геометрической тени диска (рис. 5.19), освещаемого светом, получившее название пятно Араго- Пуассона. Справедливости ради, необходимо отметить, что наблюдение пятна было отмечено задолго до опыта Араго - ещё в 1713г. Делилем, а 1723г. Моральди. Однако, поскольку природа этого явления была непонятна, то наблюдения оказались незамеченными.

Дифракционная картина от диска, наблюдаемая на экране (рис. 5.19), имеет характер чередующихся тёмных и светлых колец, в центре которых находится светлое пятно. Структура дифракционной картины света от непрозрачного диска имеет общие черты с дифракционной картиной света от отверстия того же диаметра в непрозрачном экране в соответствии с принципом Бабине.

Пусть для определённости диск закрывает только одну зону Френеля. Тогда в соответствии с принципом Бабине в центре дифракционной картины диска амплитуда волны определяется разностью амплитуд волны источника, когда нет никакого экрана, и волны от отверстия, имеющего размер первой зоны Френеля. Учитывая, что амплитуда волны от первой зоны Френеля в два раза больше, чем амплитуда волны источника в точке наблюдения, получаем, что интенсивность волны за диском равна интенсивности волны источника в отсутствии диска.

Если же диск закрывает две зоны Френеля, то в соответствии с принципом Бабине в центре дифракционной картины диска амплитуда волны определяется амплитудой волны источника, когда нет никакого экрана, поскольку амплитуду волны, создаваемой отверстием того же диаметра, что и диск, приближённо можно полагать равной нулю. Проведенные

рассуждения, очевидно, справедливы для диска, открывающего произвольное число (не очень большое) чётных или нечётных зон Френеля.

Таким образом, амплитуда волны в центре дифракционной картины от диска любого размера равна половине амплитуды волны от первой открытой зоны Френеля, что совпадает с результатом проведенных выше расчётов. На периферии дифракционной картины от диска распределение интенсивности в основном определяется амплитудой волны источника, на которую 'накладываются' затухающие по мере удаления от центра картины колебания волн от частично открытых зон Френеля отверстием в непрозрачном экране того же диаметра, что и рассматриваемый диск.

Рассмотрим вид дифракционной картины в зависимости от размера диска. Если размер диска во много раз меньше первой зоны Френеля, то наблюдается практически равномерное освещение экрана - диск как бы не отбрасывает тени. Если размер диска закрывает 'много' зон Френеля, в центре дифракционной картины светлого пятна практически не видно т.к. , освещённость картины в области геометрической тени практически равна нулю, а дифракционные кольца наблюдаются узкой области на границе свет тень.

Пусть плоская волна с длиной волны распространяется перпендикулярно непрозрачной полуплоскости, за которой на расстоянии находится плоский экран, параллельный полуплоскости (рис. 5.20).

Рассмотрим поле световой волны в точке наблюдения , находящейся на расстоянии от проекции края полуплоскости на экран.

Для расчёта поля волны в точке наблюдения можно использовать графический метод кольцевых зон Френеля, которые в случае плоского волнового фронта падающей волны, соответствуют источнику, находящемуся на бесконечности от точки наблюдения. Радиус - ой зоны Френеля , вычисляемый по формуле (5.6d)

оказывается пропорциональным .

Учтём, что решаемая задача дифракции является двумерной ввиду её симметрии. В этом случае распределение интенсивности одинаково в любой плоскости перпендикулярной полуплоскости. Тогда кольцевые зоны Френеля 'вырождаются' в зоны Френеля (рис. 5.21) в виде полос (отрезков) , расположенных справа от точки , и , расположенных слева от точки . 'Полосатые' зоны Френеля получили название зон Шустера. Очевидно, размер зон Шустера определяется следами пересечения кольцевых зон Френеля плоскостью, перпендикулярной волновому фронту волны и содержащей точку наблюдения (рис. 5.21). По этой причине

В дальнейшем будем называть зоны Шустера - левыми, а зоны Шустера - правыми.

Амплитуда волны от - ой зоны Шустера определяется, пренебрегая зависимостью убывания амплитуды волн от расстояния, пройденного до точки , в основном её размером, в соответствии с (5.12) определяемым по формуле:

где - размер первой зоны Френеля.

Для больших значений из (5.16) следует, что

Таким образом, амплитуды волн от соответствующих зон Шустера убывают с ростом в соответствии с последовательностью числового ряда:

Для расчёта дифракции волн на полуплоскости используется, как и выше, спираль Корню (рис. 5.22), с помощью которой можно найти амплитуду волны и фазу волны для произвольного числа открытых или закрытых полуплоскостью зон Шустера. Характерной особенностью этой кривой является наличие двух фокусов, на которые 'наматываются' витки спирали.

Левый фокус с координатами (-0.5, -0.5) соответствует всем открытым зонам Шустера, находящимся левее точки наблюдения , а правый фокус (0.5, 0.5) соответствует всем открытым зонам Шустера справа от . Амплитуда волны в отсутствии полуплоскости представляется на спирали Корню в виде вектора единичной длины, соединяющего её левый и правый фокусы (рис. 5.23a), который соответствует амплитуде волны , падающей на полуплоскость.

При наличии полуплоскости в точке наблюдения , находящейся на границе свет - тень (), амплитуда волны определяется вектором, соединяющим точку с правым фокусом спирали Корню, поскольку все левые зоны Френеля закрыты.

При перемещении точки наблюдения в зону геометрической тени, создаваемой полуплоскостью (), амплитуда волны уменьшается, т.к. она определяется вектором (рис. 5.23b), соединяющим точку , смещённую по спирали правее из точки , с правым фокусом спирали Корню, поскольку часть левых зон Френеля закрыта.

По мере смещения точки наблюдения в зону геометрической тени амплитуда волны сначала будет уменьшаться монотонно, а затем уменьшение будет сопровождаться незначительными осцилляциями, наблюдаемые на экране в виде светлых и тёмных полос.

При перемещении точки наблюдения в освещённую область экрана () амплитуда волны увеличивается, т.к. она определяется вектором (рис. 5.23c, d, e), соединяющим точку , смещённую по спирали левее точки , с правым фокусом спирали Корню, поскольку часть правых зон Френеля открывается. По мере смещения точки наблюдения в освещённую область экрана амплитуда волны сначала будет увеличиваться монотонно, а затем увеличение будет сопровождаться незначительными осцилляциями, наблюдаемые на экране в виде светлых и тёмных полос.

Общий характер изменения интенсивности на экране как функции положения точки наблюдения приводится на рис. 5.24. Обращает внимание наличие освещённости экрана в зоне тени. Это свойство дифракции волн на препятствии дало основание определять дифракцию света, как явление, в котором наблюдается отклонение от закона его прямолинейного распространения. Понятно, что такое определение явления дифракции света основано на представлениях о природе света, не учитывающих его волновой характер.

На рис. 5.25 приведена фотография распределения интенсивности, наблюдаемая на экране при дифракции света на полуплоскости.

Из этой фотографии видно, что наблюдаемое чередование светлых и тёмных дифракционных полос имеет место вблизи границы свет-тень, создаваемой полуплоскостью.

Дифракция плоской электромагнитной волны на щели в плоском экране.

Пусть на щель шириной , в плоском непрозрачном экране падает

плоская электромагнитная волна, перпендикулярно его плоскости (рис. 5.26a).Найдём поле волны на плоском экране, помещённом на расстоянии от щели.

Для графико-аналитического решения задачи используем метод зон Френеля бесконечно удалённого источника, рассмотренный выше (рис. 5.26b). Тогда поле в точке наблюдения можно определить с помощью спирали Корню в зависимости от числа открытых зон Френеля в точке наблюдения, находящейся на экране. Здесь, как и в предыдущей задаче, рассмотрим две области возможного расположения точки - область геометрической тени, создаваемой отверстием, и область, находящуюся вне зоны тени.

Прежде всего, необходимо отметить симметрию дифракционной картины относительно середины щели. В области геометрической тени справа (слева) от щели начало и конец вектора амплитуды волны будут перемещаться в направлении правого (левого) фокуса, с осцилляциями уменьшаясь по величине (рис. 5.26b).

Распределение интенсивности в плоскости экрана как функция расстояния положения точки наблюдения с координатой от точки , находящейся в соответствии с рис. 5.26a напротив середины щели, приведено на рис. 5.27. В центре дифракционной картины может находиться либо светлая, либо относительно тёмная полоса, в зависимости от числа открытых зон Френеля.

Иллюстрация вида дифракционной картины в зависимости от ширины щели при одном и том же расстоянии до экрана виде соответствующих наблюдаемых распределений интенсивности светового потока в плоскости экрана приведена на рис. 5.28a,b,c,d.

При большой ширине щели распределение интенсивности на экране в области напротив середины щели практически постоянно, поскольку начало и конец вектора амплитуды волны располагается вблизи соответственно правого и левого фокусов спирали Корню. Дифракционные полосы будут наблюдаться на экране напротив краёв щели.

При малой ширине щели в центре дифракционной картины будет отмечаться светлая полоса без каких либо заметных осцилляций освещённости экрана в виде полос.

На рис. 5.28d нижняя кривая соответствует увеличенному масштабному изображению верхней кривой.