3.4 Отражение и прохождение электромагнитной волны через плоскую границу раздела двух сред с различными значениями их диэлектрических и магнитных проницаемостей

Понятие о коэффициенте отражения и прохождения электромагнитной волны через плоскую границу раздела двух сред

Рассмотрим задачу об отражении и прохождении плоской электромагнитной волны с длиной волны от плоской границы раздела между двумя средами (рис. 3.3) , одно из которых при заполнено диэлектриком без потерь со значением относительной диэлектрической и магнитной проницаемости соответственно равными и , а другое при - вакуум ().

Предположим, что электромагнитная волна падает на границу раздела перпендикулярно границе раздела, т.е. распространяется в положительном направлении оси (рис. 3.3). Для определённости будем считать, падающую волну с вектором напряженности электрического поля, направленным вдоль оси . Тогда вектор напряженности магнитного поля будет направлен вдоль оси . Отметим, что в силу симметрии рассматриваемой задачи результат её решения не должен вообще зависеть от выбранной поляризации электромагнитной волны. Действительно для любой электромагнитной волны, падающей нормально к поверхности раздела вакуум/диэлектрик всегда можно ориентировать оси декартовой системы координат, чтобы ось была направлена вдоль направления колебаний напряженности электрического поля падающей волны.

Итак, в соответствии со сделанными предположениями можно написать следующие выражения для комплексных амплитуд напряженности электрического и магнитного полей :

где - амплитуда падающей волны¹; - волновое число падающей волны; ом - волновое сопротивление вакуума.

В результате взаимодействия падающей волны с границей раздела в левом полупространстве () возникнет отраженная волна с амплитудой , распространяющаяся в отрицательном направлении оси . Кроме того, в правом полупространстве () будет распространяться прошедшая волна с амплитудой . Очевидно, направление колебаний векторов напряженности электрического поля всех волн параллельно оси , а направление колебаний векторов напряженности магнитного поля параллельно оси , как в падающей волне.

Рассмотрим выражение для комплексных амплитуд векторов напряженностей электрического и магнитного полей слева и справа от границы раздела вакуум/диэлектрик:

а) для левого полупространства :

б) для правого полупространства :

где - волновое число электромагнитной волны в среде с показателем преломления ; - волновое сопротивление среды распространения с показателем преломления ( в частном случае среды с магнитной проницаемостью равной единице () .

Для решения задачи взаимодействия падающей электромагнитной волны с границей раздела двух сред надо определить неизвестные коэффициенты и . В дальнейшем удобно вместо этих коэффициентов рассматривать их значения и , отнормированные на амплитуду падающей волны, т. е.:

Определённые соотношением (3.31) коэффициенты и называются соответственно коэффициентами отражения и прохождения электромагнитной волны по амплитуде.

Для определения неизвестных коэффициентов r и d используем условия непрерывности тангенциальных компонент векторов напряженности электрического и магнитного полей на границе раздела двух сред. В рассматриваемой задаче компоненты векторов напряженностей всех волн: падающей, отраженной и прошедшей являются тангенциальными, поскольку они параллельны плоской границе раздела вакуум - диэлектрик, соответствующей плоскости .

Таким образом, неизвестные коэффициенты и могут быть найдены из уравнений, получающихся после приравнивания при соответственно и , а также и , каждое из которых определено в (3.29) и (3.30):

Отсюда находим, что искомые коэффициенты и , в случае произвольных и равны:

В частном случае для имеем и из выражений (3.33) следует, что:

Из выражения (3.34) следует, что при коэффициент отражения по амплитуде . Это означает, что при отражении электромагнитной волны от границы раздела вакуум/диэлектрик фаза отраженной волны отличается на 180⁰ от фазы падающей волны.

Этот эффект имеет место также и в более общем случае, когда электромагнитная волна распространяется через границу раздела из среды с меньшей оптической плотностью в среду, где оптическая плотность больше, т.е. . В самом деле, если ввести в рассмотрение относительный показатель преломления двух сред с помощью выражения:

и повторить вывод формул (3.33) и (3.34), то получатся выражения, отличающиеся от полученных ранее тем , что в них вместо показателя преломления будет относительный показатель преломления , а (0 и ( являются волновыми сопротивлениями сред соответственно с оптической плотностью . Тогда отрицательные значения коэффициента отражения r будут иметь место при , что и является подтверждением справедливости сделанного выше обобщения.

Рассчитаем теперь средние плотности потоков мощности , которые переносятся соответственно падающей, отражённой и прошедшей через границу раздела двух сред электромагнитными волнами. Для этой цели определим вектора Пойнтинга каждой из перечисленных волн с помощью формулы (1.54), использующей комплексные амплитуды векторов электрического и магнитного поля электромагнитной волны:

Найдем сумму плотностей потоков энергии, переносимых прошедшей и отражённой волны с учетом выражений (3.34) для коэффициентов r и d :

Из этого выражения следует, что при прохождении электромагнитной волны через границу раздела вакуум/диэлектрик выполняется закон сохранения плотностей потоков энергии, поскольку поток энергии падающей волны перераспределяется между потоками энергии отраженной и прошедшей через границу раздела волнами.

В силу замечания, сделанного выше, закон сохранения плотностей потоков энергии (3.37) остаётся справедливым и при распространении волны из одной среды с показателем преломления в другую среду с показателем преломления .

Наряду с коэффициентами отражения волны по амплитуде вводятся коэффициенты отражения и прохождения электромагнитной волны по мощности, определяемые в соответствии с выражениями (3.36) :

Вcледствии закона сохранения потоков энергии (3.37) коэффициенты отражения и прохождения электромагнитной волны по мощности связаны между собой соотношением

позволяющим находить один из неизвестных коэффициентов отражения/прохождения по мощности, если известен другой.

Формулы Френеля.

Рассмотрим обобщение полученных выше формул для расчёта коэффициентов отражения и прохождения электромагнитной волны на случай, когда направление распространения волны составляет произвольный угол ' с нормалью к плоской границе раздела вакуум/диэлектрик с диэлектрической и магнитной проницаемостями (рис. 3.4) . Как и выше, будем считать, что границей является плоскость , разделяющая полупространство , заполненное диэлектриком , и вакуум ().

Для решения этой задачи необходимо принять во внимание поляризацию падающей на границу раздела волны. Для задания поляризации электромагнитной волны относительно границы раздела вакуум/диэлектрик определим плоскость падения электромагнитной волны, образованную направлением распространения волны и вектором нормали к плоской границе.

Выше при обсуждении свойств плоских электромагнитных волн в главе 1 мы отмечали, что произвольная плоская электромагнитная волна может быть представлена в виде суммы двух плоских электромагнитных волн, поляризация которых взаимно перпендикулярна. Следуя этому свойству в нашем случае можно представить падающую на плоскую границу электромагнитную волну в виде суммы двух электромагнитных волн , одна из которых с векторами напряженностей электрического и магнитного полей поляризована в плоскости падения, а другая с векторами напряженностей электрического и магнитного полей поляризована в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.

Определим компоненты ортогонально поляризованных электромагнитных волн через вектора напряженностей электрического и магнитного поля падающей волны. Очевидно, выбором системы координат всегда можно выбрать плоскость падения совпадающей с координатной плоскостью . Тогда , а . Аналогично рассуждая, получим, что ; .

Рассмотрим для определённости перпендикулярную поляризацию падающей волны (рис. 3.4). В этом случае справедливы следующие аналитические выражения для комплексных амплитуд компонент векторов полей падающей, отраженной и прошедшей электромагнитных волн, каждая из которых будет поляризована перпендикулярно плоскости падения :

где - амплитуда падающей перпендикулярно поляризованной волны; - амплитуда отражённой волны; - амплитуда прошедшей волны; - подлежащий определению угол, отсчитываемый от направления нормали к поверхности раздела, в котором распространяется отражённая волна; - подлежащий определению угол, отсчитываемый от направления нормали к поверхности раздела, в котором распространяется прошедшая волна; - волновые числа электромагнитных волн, распространяющиеся соответственно в вакууме и в диэлектрике, определённые выражениями (3.29) и (3.30) ; - волновые сопротивления соответственно вакуума и диэлектрика, определённые выражениями (3.29) и (3.30).

Амплитуды векторов полей отражённой и прошедшей волн в выражениях (3.40) подлежат определению из условия непрерывности тангенциальных, т.е. параллельных границе раздела компонент векторов напряженностей электрического и магнитного полей на границе вакуум/ диэлектрик. Для перпендикулярной поляризации тангенциальными компонентами векторов напряженности электрического поля являются их - вые компоненты, т. е. . Для векторов напряженности магнитного поля тангенциальными будут их - вые компоненты, т.е. .

Запишем уравнения непрерывности тангенциальных компонент комплексных амплитуд векторов напряжённости электрического и магнитного полей, которые имеют место в плоскости границы раздела, т.е. при :

Очевидно, уравнения (3.41) представляют собой линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными и , которая получается при подстановке в (3.41) выражений (3.40):

Заметим, что появление косинусов углов, на которые умножаются в выражении (3.41b), связано с проектированием на ось векторов напряжённости магнитных полей рассматриваемых электромагнитных волн.

Решение системы уравнений относительно и возможно лишь при условии определённых соотношений между углами распространения падающей прошедшей и отражённой волн, а именно:

Соотношение (3.42a) представляет собой закон зеркального отражения, согласно которому угол падения волны или оптического луча равен углу отражения, если последний отсчитывается от нормали (знак минус в этом соотношении учитывает изменение направления распространения отражённого луча на противоположное падающему).

Соотношение (3.42b) есть не что иное, как закон преломления, иначе зазываемый законом Снеллиуса, согласно которому отношение синусов углов преломлённой (прошедшей) и падающей волн (лучей) равно показателю преломления волны (луча), если волна падает из вакуума и относительному показателю преломления двух сред (3.35), лежащих по обе стороны от границы раздела . Действительно, выражение (3.42b) может быть преобразовано с помощью соотношения (3.30) между волновыми числами электромагнитной волны в вакууме и в диэлектрике к виду:

Отсюда следует вывод, что известные законы геометрической оптики, определяющие отражение и преломление световых пучков от границы раздела двух сред являются следствием волновой природы света, о чем говорилось в главе 1 при обсуждении шкалы электромагнитных волн.

Учитывая выражения (3.42) представим исходную систему уравнений (3.41) относительно неизвестных коэффициентов и в следующем виде:

Решая эту систему можно получить выражения, определяющие амплитуды отраженной и прошедшей волн поляризованных перпендикулярно плоскости падения на границу раздела. Как и в случае нормального падения электромагнитной волны на границу раздела вводятся амплитудные коэффициенты отражения и прохождения перпендикулярно поляризованной волны, определяемые формулами:

Из (3.45) для этих коэффициентов получим:

Перепишем полученные соотношения, используя формулы (3.3) для :

При выражения (3.46) совпадают с ранее полученными формулами (3.33) поскольку в соответствии с законом Снеллиуса (3.43) в этом случае и все косинусы в (3.46) равны единицы.

Аналогичным образом можно рассмотреть распространение через границу раздела электромагнитной волны, поляризованной параллельно плоскости падения (рис. 3.5). В соответствии со сказанным выше комплексные амплитуды отраженной и прошедшей волн определяются из условия непрерывности на границе раздела - вых составляющих комплексных амплитуд магнитных полей и - вых составляющих комплексных амплитуд электрических полей падающей, отраженной и прошедших волн. Иными словами, при x=0 должны иметь место следующие соотношения:

в которых

приняты обозначения, используемые в выражениях (3.40) применительно к случаю параллельно поляризованной падающей волны, на что указывает нижний индекс ''.

Для возможности определения решения системы уравнений (3.47) должны также очевидно выполняться соотношения (3.42) между углами распространения падающей, отраженной и прошедшей волн. С учётом этого получим систему линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов и :

Использование для решения этой системы уравнений амплитудных коэффициентов отражения и прохождения параллельно поляризованной волны

приводит к следующему результату:

Эти соотношения могут быть записаны, выражая волновые сопротивления по формуле (3.3) через значения магнитной и диэлектрической проницаемости среды:

Формулы (3.46) и (3.51) называются формулами Френеля. Они широко используются на практике и дают хорошее согласие с экспериментом. Эти формулы оказываются очень удобным при анализе распространения волн в неоднородных средах. Оказывается возможной аппроксимация неоднородной среды в виде конечного набора плоских слоев, в пределах каждого из которых среда может считаться однородной. В результате применения формул Френеля к каждой из границ однородных слоёв можно с достаточной точностью для правдоподобных оценок получить представлении о характере взаимодействия волны, распространяющейся через неоднородные среды.

Рассмотрим ещё одну т.н. симметричную форму формул Френеля, которая получается при подстановке в выражения (3.46) и (3.51) соотношения (3.43) для общего случая, когда граница раздела разделяет две среды - при показателем преломления , а при преломления :

В ряде оригинальных опытах Г. Герц изучал законы отражения и преломления электромагнитных волн от диэлектрических и металлических тел. Для этой цели электромагнитная волна от вибратора 1, помещенного в фокальную область параболического зеркала, направлялась на диэлектрическое или металлическое зеркало AB (рис. 3.6). Отражённая от зеркала электромагнитная волна принималась приёмным вибратором 2, помещённым в фокальную область второго параболического зеркала. В промежуток плечами приёмного вибратора включалась лампа накаливания малой мощности. При приёме электромагнитной волны вторым вибратором отмечался накал лампы, только в том случае, если углы ориентации оптических осей первого и второго параболических зеркал соответствовали

закону отражения, согласно которому угол отражённой электромагнитной волны от поверхности зеркала AB равен углу падения электромагнитной волны от передающего вибратора. В опытах было отмечено, что металлические зеркала отражают гораздо лучше диэлектрических зеркал в связи с тем, что в этом случае часть электромагнитной энергии падающей волны превращается в энергию волны, распространяющейся в диэлектрике.

При облучении плоской электромагнитной волной поверхности диэлектрической призмы P (рис. 3.7), изготовленной из различных материалов (сера, парафин, асфальт и др.) наблюдалось преломление электромагнитной волны в соответствии с законом Снеллиуса. В этих опытах была подтверждена формула Максвелла, выражающая показатель преломления среды через значения относительных диэлектрических и магнитных проницаемостей среды.

Используя отражение электромагнитных волн от изогнутых металлических листов, Г. Герц получил направленные электромагнитные волны. Для этой цели были изготовлены два параболических цилиндра, обращённые фокальными линиями навстречу друг другу. Вдоль фокальных линий в каждом из цилиндров размещались передающий 1 и приёмный вибраторы 2 (рис. 3.8a).

Волна, излучаемая передающим вибратором, отражаясь от первого параболического цилиндра, превращалась в параллельную оптической оси цилиндров плоскую электромагнитную волну, которая при достижении второго параболического зеркала фокусировалась в область фокальной линии, где и размещался приёмный вибратор, с подсоединённой в промежуток между его плечами лампой накаливания малой мощности . В этом случае наблюдается интенсивное свечение лампы накаливания в приёмном вибраторе. При смещении второго зеркала вместе с вибратором в сторону от поперечника пучка накал лампы пропадает. Это явилось доказательством прямолинейного распространения электромагнитных волн, подобно световым лучам. При повороте приемного вибратора вместе с зеркалом вокруг оптической оси наблюдалось монотонное изменение накала от максимума при параллельном расположении вибраторов до нуля при их взаимно перпендикулярной ориентации. Это объясняется линейной поляризацией электромагнитной волны, излучаемой передающим вибратором, как было отмечено выше.

Если между передающим и приёмным вибратором помещались диэлектрические листы (рис. 3.8b), то отмечалось прохождение электромагнитных волн по наличию накала лампы в приёмном вибраторе в соответствии со сказанным в под разделе 3.4. Если вместо диэлектрических листов помещались металлические листы, толщина которых превышала толщину скин слоя, то накал лампы в приёмном вибраторе отсутствовал, что свидетельствовало о поглощении электромагнитных волн в проводящих средах.

Вместо сплошных металлических листов помещалась между параллельными друг другу приёмным и передающим вибраторами поверхность, состоящая из достаточно близко расположенных, параллельных друг другу металлических полосок S, стержней или проводов (рис. 3.8c).

Тогда в зависимости от ориентации полосок по отношению к направлению плеч вибраторов наблюдалось изменение накала лампы от максимального , когда полоски перпендикулярны вибраторам, до нуля, когда полоски параллельны вибраторам. В этом случае в полосках возбуждались токи, переводящие энергию электромагнитного поля в тепло. При перпендикулярной ориентации полосок и вибраторов токов проводимости под действием электромагнитной волны не возникало. Это явилось доказательством того, что, во-первых, электромагнитная волна излучаемая вибратором является линейно поляризованной, а во- вторых, поверхность из металлических полосок становится эквивалентной сплошной металлической поверхности, если расстояние между полосками меньше длины электромагнитной волны.

В опытах Г. Герца была доказана общность законов, определяющих распространение электромагнитных волн и света. Опыты явились основой для признания электромагнитной теории Максвелла. Они способствовали развитию исследований по техническому применению электромагнитной теории. Так в 1895г. А.С. Поповым был открыт способ беспроволочной телеграфии и телефонии (радио), впоследствии приведший к бурному развитию радиотехники.

Эффект Брюстера.

Отметим особый случай применения формул Френеля, когда коэффициент отражения по амплитуде параллельно поляризованной волны обращается в нуль. Очевидно, это происходит при условии, что (рис. 3.9). Используя закон Снеллиуса, получим, что для этого достаточно, чтобы направление распространения электромагнитной волны составляло с нормалью к поверхности диэлектрика угол , определяемый из соотношения

Угол

удовлетворяющий соотношению (3.53a), называется углом Брюстера.

При облучении диэлектрика электромагнитной волной, поляризованной в плоскости падения, под углом Брюстера отсутствует отраженная от диэлектрика волна. Физическим объяснением этого эффекта является особенность поляризации молекул диэлектрика на границе диэлектриков. Образующиеся на границе диэлектриков диполи под действием электрического поля падающей электромагнитной волны ориентированы таким образом, что их оси, перпендикулярны направлению распространения волны в диэлектрике с диэлектрической проницаемостью n2 .В главе 3 при обсуждении свойств поля излучения диполя мы отмечали факт отсутствия излучения вдоль оси колеблющегося диполя. Именно, по этой причине отсутствует отражённая волна от поверхности диэлектрика.

Эффект Брюстера может быть использован в качестве простого способа получения линейно поляризованной волны из неполяризованной. При облучении поверхности диэлектрика под углом Брюстера отраженной волны, поляризованной в плоскости падения, не будет. Следовательно, отражённая от поверхности диэлектрика волна в этом случае будет поляризована линейно в направлении, перпендикулярном плоскости падения.

Отражение плоской гармонической электромагнитной волны от идеально проводящей плоскости.

Одной из важных задач, позволяющих представить основные свойства распространения электромагнитных волн в различных средах, является задача об отражении электромагнитных волн от хорошо проводящих тел (проводников). Такая задача может служить моделью формирования оптического изображения объектов в зеркалах.

Рассмотрим отражение плоской гармонической электромагнитной волны, падающей из вакуума вдоль оси перпендикулярно идеально проводящей плоской поверхности (рис. 3.10) разделяющей вакуум() и проводник (). Пусть, её электрическое поле параллельно оси .

Очевидно, такая задача является частным случаем рассмотренной выше задачи об отражении электромагнитной волны от поверхности диэлектрика, рассмотренной выше в параграфе 3.4., на случай, когда комплексная диэлектрическая проницаемость диэлектрика имеет мнимую часть во много раз превышающую действительную, что характерно для проводящих тел в соответствии со сказанным в 3.2. Как мы убедились выше, проводимость среды приводит к поглощению распространяющейся в ней электромагнитной волны. Поглощение имеет место вследствие возникновения в среде с проводимостью токов проводимости и выделения джоулева тепла. Поглощение тем сильнее, чем больше проводимость среды. Для идеально проводящей среды происходит полное поглощение волны в среде, поскольку толщина скин-слоя, оценивающая глубину проникновения электромагнитной волны в среду с проводимостью, стремится к нулю. В результате внутри идеально проводящего тела отсутствует электромагнитное поле. Таким образом, падающая на идеально проводящую среду электромагнитная волна полностью отражается от его поверхности. Источниками отражённой электромагнитной волны являются поверхностные токи, циркулирующие по поверхности идеально проводящего тела.

Для определения отражённой электромагнитной волны надо связать её амплитуду и фазу с соответствующими параметрами падающей волны. Для этого необходимо использовать условие непрерывности тангенциальной компоненты электрического поля на поверхности идеально проводящего поля ( плоскости для рассматриваемой задачи ). Заметим, что в отличие от задачи отражения электромагнитной волны от поверхности диэлектрика используется только одно условие. Это является следствием того, что нам известно, что электромагнитное поле внутри идеально проводящего тела равно нулю. По этой причине известен коэффициент прохождения электромагнитной волны в проводник, который очевидно, равен нулю. Таким образом, для решения задачи об отражении электромагнитной волны от идеально проводящей плоскости подлежит определению только коэффициент отражения волны от этой плоскости.

В соответствии со сделанными предположениями можно написать следующие выражения для комплексных амплитуд напряженности электрического и магнитного полей электромагнитной волны, падающей на поверхность диэлектрика:

где - амплитуда колебаний вектора напряжённости электрического поля падающей волны (для простоты рассуждений положим начальную фазу колебаний падающей волны равной нулю); - волновое число падающей волны; ом - волновое сопротивление вакуума.

При отражении падающей волны от проводящей плоскости в левом полупространстве () возникнет отраженная волна с подлежащей определению амплитудой колебаний вектора напряжённости электрического поля , распространяющаяся в отрицательном направлении оси . Комплексные амплитуды колебаний электрического и магнитного поля электромагнитной волны имеют следующие выражения:

Отсюда следует, что электромагнитное поле с комплексными амплитудами электрического и магнитного полей слева от проводящей плоскости будет равно сумме электромагнитных полей падающей и отражённой электромагнитных волн:

Кроме того, в правом полупространстве () электромагнитное поле будет равно нулю, т.е.:

Принимая во внимание сказанное, запишем уравнение непрерывности тангенциальной компоненты электрического поля на плоскости :

Отсюда следует, что при отражении от идеально отражающей поверхности возникает отражённая электромагнитная волн, распространяющаяся в противоположном направлении по отношению к падающей волне, имеющая ту же амплитуду векторов напряжённостей электрического и магнитного полей, а фаза колебаний этих векторов отличается на 180⁰ от фазы колебаний падающей волны.

Таким образом, при отражении плоской гармонической электромагнитной волны от проводящей плоскости возникает электромагнитное поле, комплексные амплитуды векторов напряжённостей электрического и магнитного полей, определяемых выражениями

Действительная форма колебаний электрического и магнитного поля , возникающего при отражении волны записывается в виде:

Стоячие электромагнитные волны.

Мгновенная "фотография" колебаний электромагнитной волны, соответствующих выражениям (3.54), изображена рис. 3.11. Как следует из этого рисунка, фаза колебаний электрического и магнитного полей изображённой на рисунке 3.11 волны отличаются на 90⁰ .

Точно такими же являются колебания (рис. 3.12) в стержне (шнуре) с закреплёнными концами. Как известно, точки стержня, в которых колебания имеют максимум, называются пучностями. Точки стержня, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называются узлами. Упругая волна с таким характером колебаний, называется стоячей волной.

Всё сказанное выше о свойствах упругих стоячих волн применимо для описания электромагнитных колебаний, определяемых выражениями (1.9) . По этой причине электромагнитная волна, определяемая выражениями (3.54), называется стоячей электромагнитной волной. В стоячей электромагнитной волне пучности электрического поля совпадают с узлами магнитного поля и наоборот узлы совпадают с пучностями.

Особенностью стоячей электромагнитной волны является обращение в нуль плотности потока энергии, определяемой вектором Пойнтинга, в узлах и пучностях электромагнитных полей. Кроме этого, используя определение среднего значения вектора Пойнтинга по формуле (1.31) , получаем, что его среднее значение в стоячей электромагнитной волне равно нулю. По этой причине можно полагать, что энергия в стоячей электромагнитной волне не переносится через её узлы. Это свойство стоячей электромагнитной волны послужило основанием для её названия.

Колебания электрического и магнитного полей в стоячей волне можно считать независимыми, обладающими одинаковой энергией. Можно показать, что произвольное электромагнитное поле внутри замкнутой полости с идеально проводящими стенками может быть представлено в виде суммы стоячих волн, вектора напряжённости электрического поля которых обращаются в нуль на стенках полости.

Свойства стоячих электромагнитных волн широко используются в различных разделах физики. В частности, в оптике при рассмотрении явлений интерференции, в голографии, в фотографии для объяснения процесса формирования изображения в фотографической эмульсии, в физике теплового излучения для расчёта возможного числа мод колебаний электромагнитного поля внутри проводящей полости, а также в квантовой физике и физике твёрдого тела для вывода формул, определяющих функции распределений тождественных микрочастиц .

При облучении поверхности металлического зеркала Z перпендикулярно падающей на него плоской электромагнитной волны от вибратора 1 в фокусе параболического зеркала Z1 (рис. 3.13) может быть получена стоячая электромагнитная волна с узлом электрического поля на поверхности зеркала Z. Расстояние между соседними пучностями или узлами стоячей волны определяется половиной длины волны, облучающей зеркало. Для экспериментального определения положения пучностей и узлов стоячей электромагнитной волны в направлении волны, излучаемой передающим вибратором 1, перемещается зеркало Z. По величине накала лампы, подключённой в промежуток между плечами приёмного вибратора 2 в фокусе параболического зеркала Z2 , отмечается положение плоскостей пучностей и узлов стоячей волны. В пучностях стоячей электромагнитной волны отмечается максимальный накал, а в минимумах накал был минимальный или вообще отсутствует. Измерения расстояния между пучностями электромагнитного поля стоячей волны позволяет определить длину электромагнитной волны. В опытах Г. Герца длина волны была равна 60 см., а высота параболического зеркала выбиралась достаточно большой, равной 2м, для того чтобы исключить дифракционные эффекты , более подробно изучаемые в главе 6.