2.1 Волновой характер электромагнитного поля движущегося заряда

В предыдущей главе мы рассмотрели основные свойства электромагнитных волн, оставив в стороне "механизм" их возникновения. В этой главе мы обсудим проблему излучения электромагнитных волн, источниками которых, как мы установили выше, являются изменяющиеся во времени токи и/или неравномерно движущиеся электрические заряды.

Рассмотрим для определённости движущийся неравномерно электрический заряд. Неравномерное движение электрического заряда эквивалентно протеканию изменяющегося во времени электрического тока , меняющееся во времени магнитное поле которого , в свою очередь, создаст в окружающем пространстве электрическое поле и т.д. В результате этого процесса возникнет электромагнитная волна, источником которой является неравномерно движущийся заряд. Для определения электрического и магнитного поля возникающей волны необходимо решить систему уравнений Максвелла (1.1b), которая определяется распределением эквивалентного движению заряда тока. Необходимо отметить, что решение системы уравнений Максвелла для произвольно изменяющихся во времени и произвольно распределённых в пространстве токов и/или неравномерно движущихся зарядов представляет собой сложную математическую задачу. Однако при некоторых сделанных ниже разумных предположениях о характере движения заряда можно рассчитать его электромагнитное излучение и получить представление не только о механизме излучения электромагнитных волн, но и его основных свойствах.

В соответствии со сказанным выше рассмотрим задачу об излучении электромагнитной волны движущимся электрическим зарядом. Пусть заряд, распределённый в некотором, достаточно малом объёме с плотностью , движется в вакууме как целое со скоростью , зависящей от времени, вдоль оси выбранной системы координат (рис.2.1). Это движение заряда будет эквивалентно протеканию электрического тока с плотностью , равной:

Как следует из уравнений Максвелла, в пространстве вокруг изменяющегося во времени тока возникнет электромагнитная волна. Рассчитаем электрическое и магнитное поле электромагнитной волны, излучаемой движущимся зарядом. Наиболее просто найти магнитное поле электромагнитной волны, создаваемое током, эквивалентным движению заряда. Электрическое же поле излучаемой волны, связанное с магнитным полем в силу уравнений Максвелла (1.1b), оказывается можно определить с помощью соотношений (1.12a), связывающих амплитуды векторов напряжённости электрического и магнитного полей в плоской гармонической электромагнитной волне.

Как известно, вектор индукции магнитного поля , создаваемый распределением тока с плотностью , может быть вычислен на основании закона Био - Савара - Лапласа с помощью принципа суперпозиции по формуле:

где - радиус вектор, проведённый из точки интегрирования, принадлежащей объёму , в точку наблюдения с координатами (рис. 2.1).

Для упрощения следующих далее расчётов магнитного поля выражение (2.2) может быть преобразовано с помощью правил дифференцирования сложных функций и свойств оператора пространственного дифференцирования (см. задачу 2.1 в конце параграфа) следующим образом:

где - расстояние между точкой объёма и точкой наблюдения (рис.2.1).

В главе 1 мы отметили характерную особенность зависимости векторов напряжённости электрического и магнитного полей электромагнитных волн от координат и времени в виде следующих их комбинаций:

где - фазовая скорость электромагнитной волны в среде с диэлектрической и магнитной проницаемостями; - скорость света в вакууме; - расстояние, проходимое волной от источника до точки её наблюдения.

Напомним, что электромагнитная волна, вектора напряжённости электрического и магнитного полей которых зависят от комбинации , распространяются от источника (объёма ) в окружающее пространство. Напротив, электромагнитная волна, вектора напряжённости электрического и магнитного полей которых зависят от комбинации, распространяется к источнику (объёму ) из окружающего пространства. При решении задачи об излучении волн из объёма должен выполняться принцип причинности, в соответствии с которым электромагнитные волны, приходящие из окружающего объём пространства должны быть исключены.

Следовательно, вектор индукции электромагнитной волны, возникающей при движении заряда в объёме , может быть найден с помощью выражения:

Из формулы (2.5) следует, что вектор индукции магнитного поля электромагнитной волны в точке наблюдения запаздывает по отношению к значениям этого вектора в точках объёма . Это запаздывание является следствием распространения электромагнитной волны с конечной скоростью от точки источника в объёме до точки наблюдения .

Решение задачи об излучении электромагнитных волн в ограниченную область пространства, окружающего объём , или в пространство, включающего неоднородности в виде некоторых объектов , способных отражать электромагнитные волны, в том числе назад к их источникам, более сложно, поскольку в этом случае решение волнового уравнения представляется с помощью с помощью функций, зависящих как от , так и от , определяемых выражением (2.4), и представляющих собой математическое выражение волн, распространяющихся навстречу друг другу в соответствии с решением волнового уравнения по методу Д'Аламбера .

Определим размер области пространства, занимаемой зарядом, величиной диаметра наименьшей сферы, внутри которой находится эта область. Предположим, что размеры (рис.2.2) области пространства , занимаемой зарядом во много раз меньше расстояния от ' центра ' заряда до точки наблюдения, т.е. . Кроме того , будем полагать, что скорость движения заряда во много раз меньше скорости света, т.е. . В результате этих предположений выражение (2.5) упрощается:

Учитывая, что скорость всех точек объёма, занимаемого зарядом, одинакова, в результате очевидных упрощений получим следующее выражение для расчёта :

где ) - полный заряд в движущемся объёме .

Но

где

- дипольный момент объёмного заряда, имеющего малый размер,

С учетом этих упрощений получим: