4.3. Магнитный диполь во внешнем магнитном поле

      Рассмотрим малый тонкий замкнутый контур , по которому течет ток в направлении вектора . Если этот контур помещен во внешнее по отношению к нему магнитное поле с магнитной индукцией , то по выражению для силы Ампера можно рассчитать силу, действующую на контур в целом:

     При вычислении выражения (4.24) оказывается полезной обобщенная теорема Стокса (математическое утверждение):

     где оператор имеет общепринятое представление. Воспользуемся допущением, что характерный линейный размер контура с током (магнитный диполь) мал по сравнению с характерным линейным размером, на котором существенно изменяются параметры внешнего магнитного поля, и вынесем из под знака интеграла мало меняющиеся величины:

     Далее используем известное тождество векторного анализа

     и то обстоятельство, что , и получим:

     Заметим, что формула (4.27) отличается от подобной ей формулы для электрического диполя в электрическом поле напряженности вторым слагаемым. Дело в том, что в электростатике имеет место уравнение , а в магнитостатике имеем , поэтому в отсутствие объемной плотности токов , текущих в точке расположения диполя , получаем

     а в общем случае справедлива формула (4.27). С учетом того, что величина - постоянная векторная величина, а , формулу (4.27) можно записать в виде:

     Из полученных зависимостей следует, что результирующая сила, действующая на малый контур с током во внешнем магнитном поле, отлична от нуля только в неоднородном векторном поле магнитной индукции

     Элементарный момент силы Ампера, действующий на элемент контура с током , относительно начала координат описывается выражением:

     где - радиус-вектор расположения элемента . Для замкнутого контура имеем:

     После использования обобщенной теорема Стокса получаем:

     Вынося за знак интеграла медленно меняющиеся функции и вспоминая определение магнитного момента диполя, получаем:

     Далее используем соотношения:

     и получаем:

     Последний член в правой части формулы (4.34) тождественно равен нулю, а второй и третий связаны с расстоянием диполя от начала координат. Если начало координат расположить в месте расположения диполя, эти члены обратятся в ноль. Только первое слагаемое формулы (4.34) не зависит от выбора начала координат и в силу этого представляет собой момент сил, действующий на малый замкнутый контур с током во внешнем магнитном поле с магнитной индукцией :

     Выражение (4.35) совпадает по форме с аналогичным выражением для момента сил, действующих на малый электрический диполь во внешнем электрическом поле напряженности . Момент обращается в ноль при условии параллельности (или антипараллельности) векторов и , т. е. если направлен строго по внешнему полю , или строго против внешнего поля . При малом отклонении вектора от направления (если это направление было состоянием равновесия) возникающий момент сил имеет "возвращающий" характер и в гармоническом приближении пропорционален углу отклонения.

      Если вернуться к формуле (4.29), то ее структура позволит нам сделать предположение, что потенциальная функция магнитного диполя во внешнем магнитном поле имеет вид.

     где - угол между векторами и .

      Ниже обсудим границы применимости соотношения (4.36). Вычислим дифференциал функции (4.36):

     Изменение потенциальной функции (4.37) учитывает возможность поворота вектора на угол и смещение его как целого на вектор , при этом предполагается, что модуль величины сохраняет постоянное значение. Из соотношения (4.37) можно получить:

     В зависимости (4.38) сомножитель при представляет собой силу, а сомножитель при элементарном угле поворота - момент сил, действующих на магнитный диполь.

      Благодаря этим результатам выражение (4.36) можно принять за потенциальную функцию магнитного диполя во внешнем магнитном поле.

      Заметим, что в соответствии с выражением (4.36) потенциальная функция магнитного диполя во внешнем магнитном поле минимальна, если вектор магнитного момента диполя ориентирован по силовой линии магнитной индукции, и максимальна, если вектор магнитного момента диполя ориентирован строго против направления вектора магнитной индукции. Состояние системы с первой ориентацией более предпочтительное, состояние со второй ориентацией является неустойчивым.

      Существенным различием проявления свойств электрического и магнитного диполей является то, что электрический диполь "внутри себя" ослабляет внешнее поле, вдоль силовой линии которого он ориентирован, а магнитный диполь усиливает внешнее поле вдоль силовой линии, если она проходит через "контур диполя".

     Учитывая важность вычисления работы при перемещениях или деформациях замкнутого или разомкнутого контура с током для практических приложений, вычислим эту величину без учета предположения о малой величине замкнутого контура.

      Рассмотрим сначала разомкнутый контур с элементом тока . Если в процессе движения элемент с током смещается на величину , то работа, совершаемая при этом, равна

     Поскольку

     в силу свойств смешанного произведения векторов, а , где - вектор единичной нормали к элементу поверхности , образованного векторами и , то из соотношения (4.39) получаем:

     где -элемент потока вектора через поверхность . Для работы в целом имеет место соотношение

     По выводу зависимости (4.41) поверхность построена как поверхность, "ометаемая" отрезком кривой, по которому течет ток, в реальном движении. В силу свойств магнитостатического поля в формуле (4.41) можно использовать любую (произвольную) поверхность, которая опирается на замкнутый контур из начального положения отрезка кривой , конечного положения отрезка кривой и из траектории начальной граничной точки и траектории конечной граничной точки рассматриваемого отрезка.

      Рассмотрим замкнутый контур , по которому течет ток во внешнем магнитном поле с индукцией

     Пусть начальное положение контура описывалось кривой , а конечное - (рис. 4.3). Пусть на контур натянута поверхность а на контур натянута поверхность , а боковая поверхность "ометаемого" тела построена как поверхность, по которой перемещается элемент из положения в положение .

      С точностью до бесконечно малых второго порядка запишем выражение для работы по перемещению элемента с током из первого положения во второе:

     где -элемент боковой поверхности описанного выше тела, -направление внешней нормали к этому элементу. Из теоремы Гаусса в интегральной форме для вектора легко получить

     Из соотношения (4.43) следует:

     Соотношение (4.44) получено без использования предположения о малости контура с током.

      Для элементарной работы по перемещению контура с током в пространстве получим

      Подробная последовательность вычислений в формулах (4.45) проясняет, в каком месте существенно использована посылка о малой величине контура с током при выводе соотношения (4.36).