2.4. Теорема Гаусса для вектора поляризованности среды в интегральной и дифференциальной формах

      Поляризованность среды обладает примечательным свойством: поток вектора поляризованности среды через произвольную замкнутую поверхность численно равен величине некомпенсированных "связанных" зарядов внутри этой поверхности, взятой с обратным знаком:

     В локальной формулировке описываемое свойство описывается соотношением

     где - объемная плотность "связанных" зарядов. Соотношения (2.28) и (2.29) называют теоремой Гаусса для поляризованности среды (вектора поляризации) в интегральной и дифференциальной формах соответственно. Если теорема Гаусса для напряженности электрического поля является следствием закона Кулона в "полевой" форме, то теорема Гаусса для поляризованности является следствием определения этой величины (2.24) - (2.25).

      Докажем соотношение (2.28), тогда соотношение (2.29) окажется справедливым в силу математической теоремы Остроградского-Гаусса.

      Рассмотрим диэлектрик из неполярных молекул с объемной концентрацией последних, равной . Считаем, что под действием электрического поля положительные заряды сместились из положения равновесия на величину , а отрицательные - на величину . Каждая молекула приобрела электрический момент , а единичный объем приобрел электрический момент . Рассмотрим произвольную достаточно гладкую замкнутую поверхность в описываемом диэлектрике. Допустим, что поверхность проведена так, что в отсутствие электрического поля она "не пересекает" отдельные диполи, то есть положительный и отрицательный заряды, связанные с молекулярной структурой вещества, "компенсируют" друг друга.

     Заметим, кстати, что соотношения (2.28) и (2.29) при и удовлетворяются тождественно.

      Под действием электрического поля элемент площади поверхности пересекут положительные заряды из объема в количестве . Для отрицательных зарядов имеем соответственно величины и . Суммарный заряд, перешедший на "внешнюю" сторону элемента площади поверхности (напомним, что - внешняя нормаль к по отношению к охватываемому поверхностью объему) равен

     Проинтегрировав полученное выражение по замкнутой поверхности , получим величину суммарного электрического заряда, покинувшего рассматриваемый объем. Последнее позволяет заключить, что в рассматриваемом объеме остался некомпенсированный заряд - , равный по модулю ушедшему заряду. В итоге имеем:

     таким образом теорема Гаусса для векторного поля в интегральной формулировке доказана.

      Чтобы рассмотреть случай вещества, состоящего из полярных молекул, достаточно в приведенных выше рассуждениях величину заменить на ее среднее значение .

      Доказательство справедливости соотношения (2.28) можно считать законченным.