1.5. Уравнение Пуассона для потенциала электростатического поля. Понятие о краевых задачах в теории потенциала и методах их решения

      Проблема расчета электростатического поля в общем случае не является безнадежной. Действительно, если вспомнить выражение векторного поля через потенциал электростатического поля

     то есть

     и подставить выражение (1.65) в формулу (1.60), то получим уравнение

     Уравнение (1.67) называют уравнением Пуассона, в частном случае оно превращается в уравнение Лапласа. В операторной форме уравнение Пуассона имеет вид:

     где - оператор Лапласа (лапласиан)

     в декартовой системе координат. Иногда оператор Лапласа записывают в форме произведения двух операторов Гамильтона (операторов "набла"):

     Заметим, что формы записи оператора различны в различных системах координат.

      Уравнение Пуассона является линейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка. В общем случае уравнение (1.67) может иметь бесчисленное множество решений. Единственное решение уравнения (1.67) получается, если на границе области, в которой рассматривается это уравнение, заданы граничные условия первого рода (задача Дирихле), второго рода (задача Неймана) или третьего рода. В первом случае на границе области считается известной искомая функция, во втором - ее нормальная производная, в третьем - линейная комбинация функции и ее нормальной производной. Современная математика располагает многими методами решения так называемых краевых задач, как аналитическими, так и численными, а современное математическое обеспечение персональных компьютеров содержит в своем составе "решатели" краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона.

      В настоящее время можно говорить о том, что задача расчета произвольного электростатического поля особых, принципиальных трудностей не представляет.

      Значимость уравнения Пуассона для проблем электростатики заключается в том, что с его помощью решение может быть найдено практически всегда, а с помощью теоремы Гаусса только в исключительных случаях.