2.5. Адиабатический процесс

     В параграфе 1.4 было введено понятие адиабатически изолированной системы, то есть системы, которая не обменивается теплотой с окружающими телами. Процессы, происходящие в такой системе, называются адиабатическими. Так как при адиабатических процессах , то первое начало термодинамики для них можно записать в форме:

     Совместное применение этого выражения и уравнения Клапейрона-Менделеева позволяет получить уравнение, описывающее адиабатический процесс в идеальном газе. Для этого представим выражение (2.74) в виде:

     Нахождение полных дифференциалов от правой и левой частей уравнения Клапейрона-Менделеева (2.10) дает:

     Вычитание из этой формулы выражения (2.75) приводит его к виду

     С учетом соотношения Майера (2.70) имеем:

     Умножим выражение (2.75) на отношение теплоемкостей и сложим его с формулой (2.78). Тогда получим

     где введено обозначение

     Величина называется показателем адиабаты. Формулы (2.65) и (2.71) позволяют определить показатель адиабаты через количество степеней свободы :

     Из этого выражения следует, что показатель адиабаты для идеального газа всегда больше единицы. Для одноатомных газов этот показатель равен 1,67, а для двухатомных и многоатомных соответственно 1,4 и 1,33.

     Поделив уравнение (2.79) на произведение преобразуем его к виду

     или

     Отсюда следует:

     Интегрирование этого уравнения позволяет получить формулу

     которая называется уравнением Пуассона в честь французского механика, математика и физика Симеона Дени Пуассона (1781 - 1840). Это уравнение адиабатического процесса для идеального газа, или адиабаты - кривой, описываемой этим уравнением в переменных и .

     С помощью уравнения Клапейрона-Менделеева уравнение (2.85) можно переписать, используя другие параметры состояния идеального газа:

     Сравнивая уравнение Пуассона (2.85) с уравнением Бойля-Мариотта (2.11): , можно убедиться, что адиабата идеального газа, построенная в координатах и , всегда идёт круче изотермы (см. рис. 2.7).

     Это связано с тем, что, как указывалось выше, показатель адиабаты для газов всегда больше единицы и принимает наибольшее значение для одноатомных газов. Поэтому самую крутую адиабату имеют инертные газы, молекулы которых состоят из одного атома.

     Поскольку адиабата пересекает все изотермы данной термодинамической системы, возможен адиабатический переход с одной изотермы на другую, путём сжатия или разрежения газа. А посредством изотермического изменения объёма возможен переход с одной адиабаты на другую.

     Работу идеального газа в адиабатическом процессе можно определить с помощью выражения (2.74). Интегрирование (см. комментарий к формулам (1.6) - (1.8)) этого выражения дает:

     где: и - температуры газа в начале и в конце процесса соответственно. В данном случае работа при переходе из одного состояния системы в другое определяется только функцией состояния системы , так как путь перехода однозначно задан уравнением Пуассона.

     Молярная теплоемкость газа может быть выражена через показатель адиабаты . Подстановка в формулу (2.80) соотношения Майера (2.70) приводит её к виду

     из которого следует искомое выражение:

     С учетом этой формулы выражение (2.88) может быть представлено в форме

     На основании уравнения адиабаты (2.86) запишем соотношение между температурами и объемами газа в начальном и конечном состояниях:

     или

     Подстановка этой формулы в выражение (2.91) дает

     или с учетом уравнения Клапейрона-Менделеева (2.10)

     Формула (2.95) может быть получена и непосредственно с помощью интеграла (1.13), при подстановке в него уравнения Пуассона (2.85), записанного для произвольной точки адиабаты

     Тогда имеем

     Адиабатический процесс может быть реализован в газе либо путём его термоизоляции, либо за счёт быстрого протекания процесса, когда процесс теплопередачи не успевает произойти. Первый способ применялся в опытах Джоуля, описанных выше, где было принципиально необходимо достижение газом состояния, близкого к равновесному. Поэтому каждый из опытов требовал продолжительного времени (около часа) и возникала необходимость введения поправок на тепловые потери.

     Примером быстропротекающего процесса является распространение звука в воздухе. Несмотря на то, что такой процесс нельзя считать равновесным, опыт показывает, что для его описания возможно применение уравнения Пуассона, полученного в рамках равновесной термодинамики.

     В 1816 году, за семь лет до вывода Пуассоном уравнения адиабатического процесса, Пьером Симоном Лапласом (1749 - 1827) была получена формула для скорости распространения звука в газе

     где: и - давление и плотность газа. Измерения значений , и позволяют по этой формуле рассчитать значение показателя адиабаты . Для воздуха это значение близко к 1,4, что указывает на возможность с хорошей точностью считать его состоящим из двухатомных молекул.

     Экспериментальное определение молярных теплоёмкостей и для реальных газов представляет собой довольно сложную задачу. Большой вклад в её решение внёс Анри Виктор Реньо (1810 - 1878), под руководством которого были измерены молярные теплоёмкости многих веществ, в том числе газов. Исследования проводились в лаборатории при Сервской фарфоровой мануфактуре и носили прикладной характер, связанный с совершенствованием тепловых машин. Некоторыми из методик, разработанных Ренье, впоследствии воспользовался Джоуль при проведении своих опытов.

     В заключение рассмотрим вопрос о том, как соотносится уравнение Пуассона, записанное в переменных и (2.86), с результатами опытов Гей-Люссака, описанными в предыдущем параграфе. Действительно, в соответствии с результатами этих опытов температура идеального газа не изменяется при его расширении в жестком, адиабатически изолированном сосуде, а согласно уравнению (2.86) температура такого газа при адиабатическом процессе должна понижаться. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что в соответствии со схемой опыта Гей-Люссака, показанной на рис. 2.5, идеальный газ при расширении не совершает механической работы над внешними телами: . Поэтому соотношение (2.74) сводится к тождеству: , и получение из него выражений (2.75) - (2.79) и далее формул (2.82) - (2.85) становится невозможным.

     Таким образом, уравнение Пуассона неприменимо для описания опытов Гей-Люссака. Это связано с тем, что процесс адиабатического расширения идеального газа без совершения механической работы является необратимым, в отличие от обратимого адиабатического расширения, описываемого уравнением Пуассона. Подробнее описание необратимого адиабатического расширения рассмотрено в параграфе 4.3.