7.7. 4 - векторы специальной теории относительности

     Рассмотрим последовательно ряд физических величин, являющихся звеньями цепочки, описывающей механическое движение, и установим взаимосвязи между ними.

     Исходным элементом цепочки является перемещение точки. В системе I полная информация о перемещении точки дается набором с указанием и времени, за которое произошло изменение координат. Однако, удобнее пользоваться набором вида в котором все четыре компонента имеют одинаковую размерность (метры). Именно такой набор величин для перемещения примем в качестве основного. Ему соответствуют "координаты" в наборе .

     Поскольку преобразования Лоренца для координат и времени в виде (7.6) соответствуют неоднородному по размерности набору , то необходимо теперь переписать преобразования Лоренца для однородного базового набора . С этой целью введем обозначения

      и перепишем преобразования Лоренца (7.6) в этих общих обозначениях:

     Если в этих формулах под понимать соответственно (и также под понимать ), то формулы дают зависимость между значениями четырех составляющих перемещений точки в инерциальной системе I и в движущейся относительно нее со скоростью системе II (переход I®II).

     Определение: всякую четырехкомпонентную физическую величину () составляющие которой при переходе I®II преобразуются по формулам Лоренца вида (7.14) будем называть четырехмерным вектором (сокращенно 4-вектором) и будем обозначать одной буквой с крышечкой над ней вместо стрелки или просто .

     Квадрат длины любого 4-вектора не меняется при преобразовании Лоренца и определяется выражением

     (

     Квадрат 4-вектора может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Соответственно 4-векторы называются времениподобными, пространственноподобными и нулевыми (или изотропными). Компоненту 4-вектора называют временной, а остальные - пространственными. При этом пространственные компоненты сами образуют, как выше было указано, трехкомпонентные векторы и . Это позволяет представить 4-векторы в компактном виде: и . Удобство такой записи в том, что сразу видно трансформационные свойства величин. Стрелка над буквой означает, что величина трехкомпонентная, и при повороте осей декартовых координат эти компоненты преобразуются как координаты точки пространства (формулы (7.11)). Крышечка над буквой показывает, что величина четырехкомпонентная, и при переходе I®II (от инерциалъной системы I к движущейся с постоянной скоростью V системе II) все четыре компоненты преобразуются по формулам Лоренца (7.14). Введение понятия 4-вектора позволяет удобно описывать все понятия СТО, аналогично тому, как обычные 3-векторы в ньютоновой механике позволяют записать все законы в простом и понятном виде.

     Пока мы имеем только два 4-вектора: и . Имея исходный элемент - четырехмерное перемещение , - продолжим построение релятивистской кинематики, конструируя и дальше звенья логической цепочки величин в том же порядке, как и в ньютоновой механике.

     Построим следующий элемент (звено) цепочки. Рассмотрим движущуюся в пространстве частицу (материальную точку). В системе I ее перемещение , а скорость или в векторной форме . В системе II (как всегда, эта система движется в направлении осей абсцисс с постоянной скоростью V относительно инерциальной системы I) значение компонент скорости равны ; их можно было бы найти по формулам Эйнштейна сложения скоростей, т.е. по формулам (7.7) из кинематики.

     Однако существует универсальный способ нахождения компонент любых векторов при переходе . Достаточно обобщить трехмерную физическую величину так, чтобы она вошла в структуру четырехмерной величины, т.е. в структуру 4-вектора, преобразование компонент которого нам известно: оно совершается по формулам Лоренца (а значит с соблюдением двух принципов Эйнштейна, как того и требует СТО!).

     Как именно следует обобщить вектор скорости - почти очевидно. Исходим из того, что сохранить трансформационные свойства 4-вектора перемещения , как того требует СТО, можно только поделив (умножив) его компоненты на инвариант (величину, численно сохраняющую свое значение при переходе ). Единственным инвариантом, имеющим отношение ко времени, является собственное время движущейся точки. Если промежутку времени dt соответствует собственное время движущейся точки d( (), то 4-скорость следует определить, очевидно, в виде отношения т.е. как или подробнее

     и после перехода от собственного времени d( согласно связи (7.13) ко времени dt системы отсчета в компактной записи

     Здесь и ниже сохраняется стрелка - обозначение вектора - над скоростью (пишем , хотя ), чтобы четко отличить скорость частицы от скорости ИСО II, которая обозначается через V.

     Этот четырехмерный вектор называется четырехмерной скоростью точки (здесь он определен в системе I). Напомним, стрелки показывают характер преобразований компонент 4-вектора при переходе и 3-вектора при повороте осей. Обратим внимание, при переходе в формулах Лоренца (7.14) под следует понимать соответствующие компоненты, например

     и аналогично .

     И наконец, чтобы этим универсальным способом найти 3-скорость в системе II (т.е. вычислить), следует сначала применить формулы Лоренца (7.14) к компонентам 4-скорости (7.15) и уже затем из этих формул определять искомые величины.

     Обратим внимание на одно важное обстоятельство. Поскольку компонентам 4-перемещения соответствует инвариант в виде квадрата интервала (сокращенно , где - квадрат расстояния), а 4-скорость есть отношение к инварианту d(, то аналогичное выражение (сумма квадратов пространственных компонент скорости вычитается из квадрата временной компоненты) должно быть также инвариантом перехода . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим структуру 4-скорости

     и составим разность квадратов ее временной и пространственных компонент

     Здесь правая часть константа. Значит левая часть равенства - инвариант (сохраняется по величине при переходе ). Если 4-скорость представить в компонентах , результат можно записать в виде