5.3. Механическая энергия частицы в силовом поле
Рассмотрим понятие кинетической энергии частицы. Пусть частица массы т движется под действием некоторой силы  (в общем случае эта сила  может быть результирующей нескольких сил). Найдем элементарную работу, которую совершает эта сила на элементарном перемещении  . Имея в виду, что  и  , запишем
 .
Скалярное произведение  где  проекция вектора  на направление вектора  . Эта проекция равна  - приращению модуля вектора скорости. Поэтому  и элементарная работа
Отсюда видно, что работа результирующей силы  идет на приращение некоторой величины стоящей в скобках, которую называют кинетической энергией частицы.
 | (5.26) |
Таким образом, приращение кинетической энергии частицы при элементарном перемещении равно
 | (5.27) |
а при конечном перемещении из точки 1 в точку 2
 | (5.28) |
т. е. приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу на том же перемещении. Если  то  т. е. кинетическая энергия частицы увеличивается; если же  то  то есть кинетическая энергия уменьшается.
Уравнение (5.27) можно представить и в другой форме, поделив обе части его на соответствующий промежуток времени dt:
 | (5.29) |
Это значит, что производная кинетической энергии частицы по времени равна мощности N результирующей силы  , действующей на частицу.
Уравнения (5.28) и (5.29) справедливы в инерциальных и неинерциальных системах отсчета. В последних кроме сил, действующих на рассматриваемую частицу со стороны каких-то тел (сил взаимодействия), необходимо учитывать и силы инерции. Поэтому под работой (мощностью) в этих уравнениях надо понимать алгебраическую сумму работ (мощностей) как сил взаимодействия, так и сил инерции.
Теперь можно ввести понятие полной механической энергии частицы. Согласно (5.27), приращение кинетической энергии частицы равно элементарной работе результирующей  всех сил, действующих на частицу. Что это за силы? Если частица находится в интересующем нас потенциальном поле, то на нее действует консервативная сила  со стороны этого потенциального поля. Кроме того, на частицу могут действовать и другие силы, имеющие иное происхождение. Назовем их сторонними силами  .
Таким образом, результирующая  всех сил, действующих на частицу, может быть представлена в виде  . Работа всех этих сил идет на приращение кинетической энергии частицы:
Согласно (5.14), работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы, т. е.  . Подставив это выражение в предыдущее и перенеся член  влево, получим
Отсюда видно, что работа сторонних сил идет на приращениe величины  . Эту величину - сумму кинетичеcкой и потенциальной энергии - называют полной механической энергией частицы в поле:
 | (5.30) |
Заметим, что полная механическая энергия Е, как и потенциальная, определяется с точностью до прибавления несущественной произвольной постоянной.
Итак, приращение полной механической энергии частицы на элементарном перемещении равно
 | (5.31) |
на конечном перемещении из точки 1 в точку 2
 | (5.32) |
т.е . приращение полной механической энергии частицы на некотором пути равно алгебраической сумме работ всех сторонних сил, действующих на частицу на том же пути. Если  , то полная механическая энергия частицы увеличивается, если же  , то уменьшается.
Пример. С обрыва высотой h над поверхностью озера бросили тело массы т со скоростью  . Найти работу, которую совершили силы сопротивления со стороны воздуха, если тело упало на поверхность воды со cкоростью  .
Если рассматривать движение тела в поле тяжести Земли, то сила сопротивления со стороны воздуха будет сторонней и, согласно уравнению (5.32), искомая работа  ,или
Полученная величина может оказаться не только отрицательной, но и положительной. Это зависит, например, от направления ветра в процессе падения тела.
Уравнение (5.31) можно представить и в иной форме, если поделить обе части его на соответствующий промежуток времени dt. Тогда
 | (5.33) |
Это значит, что производная полной механической энергии частицы по времени равна мощности результирующей всех сторонних сил, действующих на частицу.
Итак, мы установили, что полная механическая энергия частицы может измениться под действием только сторонних сил. Отсюда непосредственно вытекает закон сохранения полной механической энергии частицы во внешнем поле: если сторонние силы отсутствуют или таковы, что алгебраическая сумма их мощностей равна нулю в течение интересующего нас времени, то полная механическая энергия частицы остается постоянной за это время. Иначе говоря,
 | (5.34) |
Уже в такой простейшей форме данный закон сохранения позволяет достаточно легко получать ответы на ряд важных вопросов без привлечения уравнений движения, что, как мы знаем, часто сопряжено с проведением громоздких и утомительных расчетов. Именно это обстоятельство и превращает законы сохранения в весьма действенный инструмент исследования.
Проиллюстрируем возможности и преимущества, которые дает применение закона сохранения (5.34), на следующем примере.
Пример. Пусть частица движется в одномерном потенциальном поле U(х), показанном на рис. 5.10. Если сторонние силы отсутствуют, то полная механическая энергия частицы в данном поле, т. е. Е, не меняется в процессе движения, и мы можем просто решить, например, такие вопросы, как:
1. Определить, не решая основного уравнения динамики, v(х) - скорость частицы в зависимости от ее координаты. Для этого достаточно знать, согласно уравнению (5.34), конкретный вид потенциальной кривой U(х) и значение полной энергии Е (правая часть данного уравнения).
2. Установить область изменения координаты х частицы, в которой она может находиться при заданном значении полной энергии Е. Ясно, что в область, где U > Е, частица попасть не может, поскольку потенциальная энергия U частицы не может превышать ее полную энергию. Отсюда сразу следует, что при  (рис. 5.10) частица может двигаться в области | Рис. 5.10.
Области возможного движения частицы в потенциальном поле |
между координатами  (совершает колебания) или правее координаты  . Перейти же из первой области во вторую (или обратно) частица не может: этому препятствует потенциальный барьер, разделяющий обе эти области. Заметим, что когда частица движется в ограниченной области поля, говорят, что она находится в потенциальной яме, в нашем случае - между  .
Иначе ведет себя частица при  (рис. 5.10): для нее доступна вся область правее  . Если в начальный момент частица находилась в точке  , то в дальнейшем она будет двигаться вправо. Определение изменения кинетической энергия частицы в зависимости от ее положения х может послужить полезным самостоятельным упражнением.
|