4.5. Движение частицы переменной массы
Во многих задачах имеет место случай, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу, и др.). Определим уравнение движения такого тела.
Рассмотрим решение этого вопроса для материальной точки, называя ее для краткости частицей. Пусть в некоторый момент времени  масса движущейся частицы А равна  , а присоединяемая (или отделяемая) масса имеет скорость  относительно этой частицы.
Введем вспомогательную инерциальную K-систему отсчета, скорость которой такова же, как и скорость тела А в данный момент  . Это значит, что в момент  частица А покоится в этой системе. Предположим, что за промежуток времени от  до  частица А приобретает в K-системе импульс  . Этот импульс частица А получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы  , которая приносит (уносит) импульс   , во-вторых, вследствие действия силы  со стороны окружающих тел или силового поля. Таким образом, можно записать, что
где знак плюс соответствует присоединению массы, а знак минус - отделению. Оба эти случая можно объединить, представив  в виде приращения  массы частицы А (действительно, в случае присоединения массы  а в случае отделения  Тогда предыдущее уравнение примет вид
 .
Поделив это выражение на  , получим
  | (4.26) |
где  - скорость присоединяемого (или отделяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.
Это уравнение является основным уравнением динамики материальной точки с переменной массой. Его называют уравнением Мещерского. Будучи выведенным в одной инерциальной системе отсчета, это уравнение в силу принципа относительности верно и в любой другой инерциальной системе. Заметим, что если система отсчета неинерциальная, то под силой  следует понимать результирующую как сил взаимодействия данного тела с окружающими телами, так и сил инерции.
Последний член уравнения (4.26) носит название реактивной силы:  . Эта сила возникает в результате действия на данное тело присоединяемой (или отделяемой) массы. Если масса присоединяется, то  и вектор  совпадает по направлению с вектором относительной скорости; если же она отделяется, то  и вектор  противоположен вектору  .
Уравнение Мещерского по своей форме совпадает в основным уравнением динамики материальной точки постоянной массы: слева - произведение массы тела на ускорение, справа - действующие на него силы, включая реактивную силу. Однако в случае переменной массы нельзя внести массу  под знак дифференцирования и представить левую часть уравнения как производную по времени от импульса, так как  .
Отметим два важных частных случая.
1. Если  , т. е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно тела, то  , и уравнение (4.26) принимает вид
 | (4.27) |
где  - масса тела в данный момент времени. Это уравнение определяет, например, движение платформы, из которой свободно высыпается песок.
2. Если  , т. е. присоединяемая масса неподвижна в выбранной системе отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе, то уравнение (4.26) принимает другой вид
 | (4.28) |
Иначе говоря, только в этом частном случае действие силы  определяет изменение импульса тела с переменной массой. Данный случай реализуется, например, при движении платформы, нагружаемой сыпучим веществом из неподвижного бункера.
Рассмотрим пример на применение уравнения Мещерского.
Пример. Ракета движется в инерциальной K-системе отсчета в отсутствие внешнего силового поля, причем так, что газовая струя вылетает с постоянной относительно ракеты скоростью  . Определить зависимость скорости ракеты от ее массы  , если в момент старта начальная масса ракеты равна  .
В данном случае  и из уравнения (4.26) следует
Проинтегрировав это выражение с учетом начальных условий, получим
где знак минус показывает, что вектор скорости ракеты  противоположен по направлению вектору скорости вытекающих газов  . Эта формула носит специальное название - формула Циолковского. Отсюда видно, что конечная скорость ракеты в случае  не зависит от времени сгорания топлива:  определяется только отношением начальной массы  ракеты к оставшейся массе m.
Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно выброшена со скоростью  относительно ракеты, то скорость последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета вначале покоилась в выбранной инерциальной системе отсчета, а после одновременного выброса всего горючего приобрела скорость  , то из закона сохранения импульса для системы ракета - гoрючее следует
 ,
где  - скорость горючего относительно данной системы отсчета. Отсюда определяем скорость ракеты 
Скорость ракеты  в этом случае оказывается меньше, чем в предыдущем при условии, что отношение масс  одинаково. В этом нетрудно убедиться, сравнив характер зависимости  от отношения масс в обоих случаях. С ростом  в первом случае, когда вещество отделяется непрерывно, скорость  ракеты, в соответствии с первой формулой, растет неограниченно, во втором же случае, когда вещество отделяется одновременно, скорость  стремится к пределу, равному 
|