2.4. Задания к главе 2 "Основы кинематики"
1. Теоретический материал
Относительность движения. Система отсчета. Способы указания положения тела в пространстве: радиус-вектор, координаты. Определение вектора перемещения. Траектория. Элементарное перемещение. Закон движения. График движения. Принцип зависимости движений. Средняя скорость. Средняя путевая скорость. Мгновенная скорость. Компоненты скорости. Среднее ускорение. Мгновенное ускорение. Компоненты ускорения. Тангенциальное и нормальное (центростремительное) ускорения. Круг кривизны для данной точки траектории. Радиус кривизны для данной точки траектории. Связь между центростремительным ускорением в данной точке, скоростью и радиусом кривизны. Определение величины и направления полного ускорения. Угловое перемещение. Угловая скорость. Связь между линейной и угловой скоростью. Угловое ускорение. Векторы угловой скорости и углового ускорения. Связь между полным линейным ускорением, угловой скоростью и угловым ускорением. Сложное движение точки. Абсолютная, относительная и переносная скорости. Связь между ними. Абсолютное, относительное и переносное ускорения.
2. Вопросы по теоретическому материалу
1. Укажите способы задания положения тел в пространстве.
2. Как практически осуществляется регистрация определенных моментов времени?
3. Как найти результирующее перемещение частицы, если известны составляющие перемещения, в которых она участвует?
4. Какое число способов вы можете предложить для того, чтобы разложить известное перемещение на сумму каких-либо составляющих? Чем определяется при этом однозначность разложения?
5. Какие вам известны способы задания закона движения?
6. Дайте определение величины и направления мгновенной линейной скорости частицы, а также компонент вектора этой скорости.
7. Укажите способ для измерения мгновенной скорости.
8. Объясните, чем определяется точность измерения скорости.
9. Чему равна величина мгновенного ускорения частицы? Какое направление оно имеет?
10. Чему равны компоненты вектора ускорения?
11. Опишите процедуру измерения ускорения.
12. Чем определяется точность измерения ускорения?
13. Объясните роль нормального и тангенциального ускорений в изменении скорости.
14. Запишите выражение, определяющее связь между линейным ускорением, угловой скоростью и угловым ускорением в случае движения частицы по окружности.
15. Запишите выражение, определяющее связь между линейным ускорением, угловой скоростью и угловым ускорением в случае движения частицы по произвольной плоской криволинейной траектории.
3. Примеры решения задач.
2.1. Тело бросили со скорость и =20 м/с в горизонтальном направлении с отвесного берега высотой H = 11,25 м. Найти скорость тела в тот момент, когда оно достигнет воды.
Решение. Ось Ох декартовой системы координат направим вдоль скорости u, ось Оу-вертикально вверх. Начало координат О расположим на уровне воды так, чтобы в начальный момент времени тело находилось на оси Оу. Закон движения тела:  . Путем дифференцирования координат х и у по времени t находим компоненты скорости:  . Величина скорости может быть найдена из выражения  . Направление скорости относительно горизонтали определяется как  . В момент времени, когда тело достигнет поверхности воды,  , отсюда  . Следовательно, на поверхности воды тело будет иметь следующие величину и направление скорости:v = 25 м/с,  .
2.2. Линейка АВ скользит концами А и В по двум направляющим прямым Ох и Оу, скрепленным под прямым углом, причем точка В движется с постоянной скоростью С вдоль Оу. Найти ускорение точки М линейки, если МА = а, МВ = b. Конец линейки В начинает движение из точки О.
Решение. Закон движения конца В:  t. Закон движения конца А:  . Закон движения точки М легко найти из простых геометрических соображений:   . Дифференцируя координаты точки М по времени, находим компоненты ее скорости:  ,  . Дифференцированием компонент скорости точки М по времени находим компоненты ее ускорения:
2.3. Точка начинает движение из начала координат так, что компоненты ее  скорости в полярных координатах изменяются со временем по закону:
a ,b ,k - постоянные величины. Определить закон движения и траекторию точки.
Решение. В результате интегрирования компонент скорости по времени находим:
 ,где  и  -постоянные интегрирования; их величины определяются условием  при  (точка начинает движение из начала координат). Итак, закон движения частицы
Траектория частицы  - логарифмическая спираль.
2.4. Точка начинает двигаться в плоскости  из начала прямоугольной системы координат с горизонтальной осью Ох и вертикальной Оу с начальной скоростью  , направленной под углом ? к горизонту. Компоненты ускорения частицы изменяются со временем по закону  .Определить закон движения частицы и ее траекторию.
Решение. Координаты частицы как функции времени находим в результате двукратного интегрирования по времени компонент ускорения.
Первое интегрирование с учетом начальных условий  при t =0 дает  ,  . В результате следующего интегрирования при использовании начальных условий (x=0, у=0 при t=0) получаем закон движения частицы  . Траекторию движения частицы определим, исключив из закона движения время t:
2.5. На проволоку, изогнутую в виде винтовой линии с вертикальной осью с шагом винта h = 2 см и радиусом R = 3 см надета бусинка. Бусинка начинает скользить по проволоке без начальной скорости. Трение отсутствует. Определить ускорение бусинки в конце первого витка.
Решение. Движение бусинки в каждый момент времени можно рассматривать как сумму двух движений: вращения по окружности радиуса R в горизонтальной плоскости и падения по вертикали. Соответственно скорость бусинки можно представить как геометрическую сумму   , направленной горизонтально, и  , направленной вертикально (  - угол, образованный винтовой линией с горизонталью). Нормальное ускорение при движении по окружности равно  . Нормальное ускорение при движении по вертикали равно  . Полное ускорение бусинки  , где  и  - тангенциальные ускорения, соответствующие движению по окружности и по вертикали. Полное тангенциальное ускорение бусинки  равно  . Из простых геометрических соображений  . Для определения  находим скорость v из закона сохранения энергии  . Следовательно,  . В итоге полное ускорение бусинки a ? 13 м/с2
2.6. С площадки, расположенной на достаточно большой высоте над поверхностью Земли, бросают два камня с одинаковыми по величине скоростями v 0 = 10 м/с. Первый камень бросают вертикально вверх, а второй - с запаздыванием на время  с относительно первого - вертикально вниз. Определить расстояние между камнями через интервал времени t = 5 с от момента бросания первого камня.
Решение. В качестве системы координат возьмем ось х, направленную вертикально вверх. За начало отсчета координат примем точку, из которой бросают камни, а за начало отсчета времени - момент бросания первого камня. Закон движения первого и второго камней можно записать следующим образом:  . Расстояние между телами равно:  м.
Задачи для самостоятельного решения
2.7. Определить траекторию частицы, совершающей одновременно два гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если колебания происходят по двум взаимно перпендикулярным направлениям:  .
Ответ: эллипс  ).
2.8. Фонарь опускается по вертикали с высоты H = 10 м с постоянной скоростью v =2 м/с. На расстоянии L = 3 м от вертикали расположен столб высотой h= 1,5 м. Определить, с какой скоростью  будет двигаться конец тени A, падающей от столба на землю, через 5 с после начала движения фонаря | Рис. 2.16.
К задаче для самостоятельного решения 2.8 |
Ответ:  м/с.
2.9. Колесо катится по прямолинейному пути с постоянной скоростью и без проскальзывания. Радиус колеса R. Найти закон движения, а также зависимость от времени компонент скорости и ускорения той частицы на ободе колеса, которая в начальный момент времени касалась земли.
2.10. Горизонтальный диск равномерно вращается с угловой скоростью ?. На расстоянии R от центра диска поставлена вертикальная палочка. Найти закон движения тени палочки, на экране, если весь прибор освещается горизонтальным пучком параллельных лучей. Определить также скорость v и ускорение а тени в зависимости от времени.
Ответ:  .
2.11. Ползун движется по прямолинейной направляющей с ускорением  Найти закон движения ползуна, если его начальная скорость  , а начальное положение совпадает со средним положением ползуна, принятым за начало координат.
Ответ: 
2.12. Скорость течения реки возрастает пропорционально расстоянию от | Рис. 2.17.
К задаче для самостоятельного.решения 2.12 |
берега. У берегов скорость течения равна нулю, а на середине реки достигает значения v = 1,5 м/с. Ширина реки L = 48 м. Человек на лодке заметил с берега плот, плывущий по середине реки, и начал грести с постоянной относительной скоростью u = 1 м/с, перпендикулярной направлению течения. В некоторой точке В лодка и плот встретились.
Определить координаты этой частицы, а также траекторию лодки.
Ответ: лодка и плот встретились в точке с координатами x = vL/4и = 18 м; у = L/2 = 24 м; траектория лодки  - парабола.
2.13. Точка М совершает движение по закону  . Несколько ниже этой частицы расположен диск, вращающийся с постоянной угловой скоростью ? вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно к его плоскости. Ось диска пересекает абсолютную траекторию частицы М. Найти уравнение траектории частицы М относительно диска.
Ответ: траектория частицы М относительно диска  - окружность радиуса а/2 с центром в точке С. | Рис. 2.18.
Рисунок к задаче для самостоятельного решения 2.13 |
1. Зависит ли форма траектории от выбора системы отсчета? Свой ответ проиллюстрируйте примерами.
2. Проекции радиус-вектора и вектора перемещения на координатные оси (координаты) являются векторами. Что дает возможность оперировать с координатами как с алгебраическими величинами?
3. Может ли вектор перемещения совпадать по величине с координатой частицы?
4. При каком движении средняя и мгновенная скорости частицы одинаковы?
5. Приведите пример движения, при котором постоянны величины скорости и ускорения частицы.
|