2.2. Описание движений твердого тела

      Следующей по сложности моделью после частицы является абсолютно твердое тело - в нем расстояние между любыми двумя точками не меняется в процессе движения.

     Описание движения твердого тела кроме самостоятельного значения имеет большое значение и в применении к описаниям других видов движения. Система отсчета, служащая для пространственно-временного описания различных движений может быть связана только с твердым телом. Поэтому изучение движения твердых тел равносильно изучению движений систем отсчета. Результаты этого раздела будут неоднократно использоваться в дальнейшем.

     Имеется пять видов движения твердого тела:

     1)поступательное, если прямая, соединяющая любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному положению, например движение трамвая на прямом участке пути;

     2) вращательное, если все точки лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения, остаются неподвижными, например движение двери при открывании и закрывании;

     3) плоское, если все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой плоскости, неподвижной в рассматриваемой системе отсчета, например качение колеса на прямом участке пути;

      4)сферическое, если одна из точек тела остается все время неподвижной в рассматриваемой системе отсчета, например движение гироскопа с тремя степенями свободы в карданном подвесе;

      5)свободное, если нет перечисленных выше четырех ограничений, например движение свободного произвольного брошенного тела вблизи поверхности Земли.

     Первые два движения являются основными движениями твердого тела. Остальные виды движения твердого тела можно свести к одному из основных движений или к их совокупности (это будет показано на примере плоского движения).

     В этом разделе рассмотрим первые три вида движения и вопрос сложения угловых скоростей.

     При поступательном движении все точки твердого тела совершают равные перемещения за один и тот же промежуток времени. Поэтому скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени одинаковы. Этот факт позволяет свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной частицы тела, т. е. к задаче кинематики частицы. Таким образом, поступательное движение твердого тела может быть полностью описано, если известны зависимость от времени радиус-вектора любой точки этого тела и его положение в начальный момент, как это было описано в предыдущем разделе.

      Рассмотрим вращение вокруг неподвижной в данной системе отсчета

     оси 00'. Пусть твердое тело, вращаясь вокруг нее, совершило за время dt бесконечно малый поворот. Угол поворота будем характеризовать вектором , модуль которого равен углу поворота , а направление совпадает с осью 00', причем так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора (рис. 2.6). Вектор называется аксиальным вектором, тогда как вектор перемещения является полярным вектором (к ним также относятся векторы скорости и ускорения). Они отличаются тем, что полярный вектор кроме длины и направления имеет точку приложения (полюс), а аксиальный вектор имеет только длину и направление (ось - по латыни axis), но не имеет точки приложения. Векторы такого типа часто применяются в физике. К ним, например, относятся все векторя, являющиеся векторным произведением двух полярных векторов.

     Найдем элементарное перемещение любой частицы А твердого тела при таком повороте. Положение частицы А зададим радиус-вектором , проведенным из некоторой точки О на оси вращения. Тогда линейное перемещение конца радиус-вектора связано с углом поворота соотношением (рис. 2.6)

     или в векторном виде

     Заметим, что это равенство справедливо лишь для бесконечно малого поворота , то есть только бесконечно малые повороты можно рассматривать как векторы. Для конечного поворота на угол линейное перемещение частицы А определяется формулой

     Очевидно, что перемещение нельзя представить как векторное произведение векторов и , так как это возможно лишь при бесконечно малом повороте , когда радиус-вектор можно считать неизменным.

     Можно показать, что введенный вектор удовлетворяет основному свойству векторов - векторному сложению. Пусть твердое тело совершает два элементарных поворота ₁ и ₂ вокруг разных осей, проходящих через неподвижную точку О. Тогда суммарное перемещение произвольной частицы А тела, радиус-вектор которой относительно точки О равен , можно представить так:

     где

     Мы доказали, что два поворота, ₁ и ₂, эквивалентны одному повороту на угол вокруг оси, совпадающей с вектором и проходящей через точку О.

     Введем теперь векторы угловой скорости и углового ускорения таким же способом, как мы вводили векторы и . Вектор угловой скорости определяют так

     где dt - интервал времени, за который тело совершает поворот . Вектор совпадает по направлению с вектором и является аксиальным вектором.

     Изменение вектора со временем характеризуют вектором углового ускорения , который определяют соотношением

     Направление вектора совпадает с направлением - приращения угловой скорости . Вектор , как и , также аксиальный.

     Представление угловой скорости и углового ускорения в виде векторов очень полезно при изучении более сложных движений твердого тела. Это позволяет во многих случаях получить большую наглядность, а также резко упростить как анализ движения, так и соответствующие расчеты.

     Представим выражения для угловой скорости и углового ускорения в проекциях на ось вращения Оz, положительное направление которой свяжем правилом правого винта с положительным направлением отсчета координаты (-угла поворота- (рис. 2.7).

     Тогда проекции и векторов и на ось определяются формулами:

     В этих формулах и - алгебраические величины. Их знак характеризует направление соответствующего вектора. Например, если , то направление вектора совпадает с положительным направлением оси z. Если , то и направление вектора противоположно. Аналогично правило верно для углового ускорения.

     По известной зависимости , называющейся законом вращения тела, формулы (2.15) и (2.16) дают возможность определить угловую скорость и угловое ускорение в любой момент времени. Из зависимости углового ускорения от времени и начальных условий, т. е. угловой скорости и угла (₀ в начальный момент времени, можно найти и .

     Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где и - некоторые положительные постоянные. Определим движения тела.

     Согласно (2.15) и (2.16), . Из этих соотношений видно, что тело вращается равнозамедленно (), останавливается в момент времени , а затем начинает вращаться в противоположном направлении ().

     Легко заметить, что все задачи на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси аналогичны по форме задачам на прямолинейное движение частицы. Достаточно заменить линейные величины x, и на соответствующие угловые , и , как получаются все закономерности и соотношения для вращающегося тела.

      Установим связь между линейными и угловыми величинами.

     Определим вектор скорости произвольной частицы А твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси 00' с угловой скоростью . Пусть положение точки А относительно некоторой точки О оси вращения характеризуется радиус-вектором (рис. 2.8).

     Если формулу (2.11) поделить на промежуток времени dt, то так как и ), получим

     т. е. скорость любой частицы А твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью , равна векторному произведению на радиус-вектор частицы А относительно произвольной точки О оси вращения (рис. 2.8). Модуль вектора (2.17), или , где R- радиус окружности, по которой движется точка А. Дифференцирование равенства (2.17) по времени дает ускорение частицы А: , т.е.

     Так как в рассматриваемом случае ось вращения неподвижна, то угловая скорость , поэтому первое слагаемое в (2.18) представляет собой тангенциальное ускорение , а второе слагаемое - это нормальное ускорение . Модули этих ускорений равны: , отсюда модуль полного ускорения a равен .

     Следующим по сложности является плоское движение - это такое движение, при котором каждая точка твердого тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной в данной системе отсчета плоскости. Плоская фигура Ф, образованная сечением тела этой неподвижной плоскостью Р (рис. 2.9),

     в процессе движения все время остается в этой плоскости. Примером может служить цилиндр, катящийся по плоскости без скольжения.

     Положение твердого тела при плоском движении однозначно определяется положением плоской фигуры Ф в неподвижной плоскости Р. (рис. 2.9). Это позволяет свести изучение плоского движения твердого тела

     к изучению движения плоской фигуры в ее плоскости. Пусть плоская фигура Ф движется в своей плоскости Р, неподвижной в рассматриваемой системе отсчета К .

     Положение фигуры Ф на плоскости можно определить, задав радиус-вектор произвольной точки О' фигуры и угол ( между радиус-вектором , жестко связанным с фигурой, и некоторым фиксированным направлением. Тогда плоское движение твердого тела будет описываться двумя уравнениями:

     Если за промежуток времени dt радиус-вектор частицы А (рис. 2.10) повернется на угол , то на такой же угол повернется и любой отрезок,

     связанный с фигурой, так как она есть сечение твердого тела.

     Отсюда видно, что поворот фигуры на угол не зависит от выбора точки , следовательно и угловая скорость фигуры тоже не зависит от выбора точки , и мы имеем право называть угловой скоростью всего твердого тела.

     Определим скорость произвольной частицы А тела при плоском движении. Введем вспомогательную систему отсчета K', жестко связаннyю с точкой тела и перемещающуюся поступательно относительно K-системы (рис. 2.10). Тогда малое перемещение частицы А в системе К можно записать как сумму векторов

     где - перемещение точки , a - перемещение точки А относительно системы K'. Перемещение вызвано вращением тела вокруг неподвижной в K-системе оси, проходящей через точку согласно (2.11), . После подстановки этого выражения и деления обеих частей предыдущего равенства на dt, получим

     т. е. скорость произвольной частицы А твердого тела при плоском движении складывается из скорости произвольной точки О' этого тела и скорости вращения тела вокруг оси, проходящей через эту точку. Соотношение (2.19) справедливо и для произвольного сложного движения твердого тела. Заметим, что - это скорость частицы А относительно поступательно движущейся системы отсчета, жестко связанной с точкой .

     Итак, доказано, что плоское движение твердого тела можно представить как совокупность двух основных видов движения - поступательного (вместе с произвольной точкой тела) и вращательного (вокруг оси, проходящей через точку ). Так как кинематика - это геометрическое описание свойств движения тела, то для доказательства этого утверждения можно использовать известную теорему из геометрии, которая утверждает, что любое преобразование на плоскости, оставляющее фигуру неизменной, может быть представлено в виде комбинации параллельного переноса и вращения.

      Докажем, что плоское движение можно представить как чистое вращение. Действительно, при плоском движении скорость произвольной точки тела перпендикулярна вектору , а это значит, что всегда есть такая жестко связанная с телом точка М, не обязательно принадлежащая телу, скорость которой в данный момент. Из условия можно найти радиус-вектор точки М : _М относительно точки О' (рис. 2.11).

     Вектор перпендикулярен векторам и , лежит в плоскости движения, а его модуль . Точка М определяет положение оси вращения, совпадающей по направлению с вектором . Движение твердого тела в данный момент времени представляет собой чистое вращение вокруг этой оси, которую называют мгновенной осью вращения. Положение мгновенной оси со временем меняется. Например, у катящегося по плоскости цилиндра мгновенная ось в каждый момент совпадает с линией касания цилиндра и плоскости.

      Сложение угловых скоростей. Рассмотрим движение твердого тела, вращающегося одновременно вокруг двух пересекающихся осей. Пусть некоторое тело вращается с угловой скоростью вокруг оси ОА (рис. 2.12).

     Приведем эту ось во вращение с угловой скоростью вокруг другой оси ОВ, неподвижной в К-системе отсчета. Определим результирующее движение тела в ней. Для этого рассмотрим вспомогательную К'-систему отсчета, жестко связанную с осями ОА и ОВ. Эта система вращается с угловой скоростью , и тело вращается относительно нее с угловой скоростью . За интервал времени dt тело совершит поворот вокруг оси ОА в К'-системе и одновременно поворот вокруг оси 0В вместе с К' -системой. Итоговый поворот будет равен сумме . Поделив обе части этого равенства на dt, получим

     Результирующее движение твердого тела в К-системе представляет собой чистое вращение с угловой скоростью вокруг оси, совпадающей в каждый момент с вектором и проходящей через точку 0 (рис. 2.12). Эта ось перемещается относительно К-системы - она поворачивается с угловой скоростью вместе с осью О А вокруг оси ОВ. Даже в случае, когда угловые скорости и не меняются по величине, тело будет обладать в К-системе угловым ускорением , направленным перпендикулярно плоскости (рис. 2.12)

     Так как вектор угловой скорости удовлетворяет основному свойству векторов - векторному сложению, то его можно представить как векторную сумму составляющих, т.е. , где все векторы относятся к одной и той же системе отсчета. Этот удобный и полезный способ часто применяется для анализа сложного движения твердого тела.