2.1. Кинематика частицы

     Если размеры тела при описании его движения несущественны, то его движение можно рассматривать как движение частицы в пространстве. Это самая простая модель для описания реального тела. Так как в дальнейшем будут рассматриваться движения тела обладающего массой, но в пренебрежении ее размерами, внутренней структуры и формы, то введем в рассмотрение единый термин частица, понимая под ним материальную точку. Существует три способа описания движения частицы: векторный (геометрический), координатный и естественный. Рассмотрим их последовательно, учитывая, то аналогичное построение описания движения частицы будет применимо в релятивистском случае.

     Векторный способ. В этом способе положение интересующей нас частицы А задают радиусом-вектором , проведенным из некоторой неподвижной точки О выбранной системы отсчета в точку А. Под системой отсчета в механике понимают совокупность: тело отсчета, способ измерения расстояний ("линейка") и способ измерения времени ("часы"). При движении частицы А ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению, т. е. радиус-вектор зависит от времени t.

     Геометрическое место точек, где тело побывало за время своего движения, называется траекторией частицы А. При векторном способе описания траекторией будет положение концов радиус-вектора во все моменты времени.

     Введем понятие скорости частицы. Скорость характеризует быстроту движения частицы. Пусть за промежуток времени точка А переместилась из точки 1 в точку 2 (рис. 2.1). Из рисунка видно, что вектор перемещения частицы А представляет собой приращение радиус-вектора за время (t : . Отношение называют средним вектором скорости <> за время (t. Вектор <> совпадает по направлению с . Определим теперь вектор скорости частицы в данный момент времени как предел отношения при (t® 0, т. е.

     Это значит, что вектор скорости частицы в данный момент времени равен производной от радиус-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения частицы А (как и вектор ). Модуль вектора равен

     Заметим, что в общем случае модуль приращения радиус-вектора не равен изменению модуля радиус-вектора . Например, если меняется только по направлению при движении частицы по окружности, то но .

     Движение частицы характеризуется также ускорением. Вектор ускорения определяет скорость изменения вектора скорости со временем:

     т. е. равен производной от вектора скорости по времени. Направление вектора совпадает с направлением вектора - приращением вектора за время dt. Модуль вектора определяется аналогично модулю вектора . Пусть, например, радиус-вектор частицы зависит от времени t по закону

     где и - постоянные векторы. Найдем скорость и ускорение частицы: Модуль вектора скорости

     Таким образом, зная зависимость , можно найти скорость и ускорение частицы в каждый момент времени.

     Возникает и обратная задача: можно ли найти и , зная зависимость от времени ускорения ?

     Оказывается, для получения однозначного решения этой задачи одной зависимости недостаточно, так как необходимо еще знать начальные условия, а именно - скорость и радиус-вектор частицы в некоторый начальный момент . Чтобы в этом убедиться, рассмотрим простой случай, когда при движении ускорение частицы остается постоянным.

     Определим сначала скорость частицы . Согласно (2.2), за интервал времени dt малое приращение скорости . Интегрируя это выражение по времени от t = 0 до t, определим конечное приращение вектора скорости за это время:

     Но величина - это еще не искомая скорость . Для нахождения , необходимо знать скорость в начальный момент времени . Тогда , или

     Аналогично вычисляется и радиус-вектор частицы. Согласно (2.1), за интервал времени dt малое приращение радиус-вектора . После интегрирования этого выражения с учетом определенной выше зависимости , определим приращение радиуса-вектора за время от t = 0 до t:

     Для нахождения самого радиус-вектора необходимо знать положение частицы в начальный момент времени . Тогда ,

     или

     Рассмотрим в качестве примера движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью . Если считать, что камень движется с постоянным ускорением , то его положение относительно начальной точки движения () определяется радиус-вектором

     т. е. в этом случае

     .

     Для полного решения задачи о движении частицы - определения скорости и положения в зависимости от времени необходимо знать зависимость (t) и начальные условия, т. е., скорость и положение частицы в начальный момент времени.

     Координатный способ. В этом способе с телом отсчета жестко связывают определенную систему координат (декартову, косоугольную или криволинейную). Выбор вида системы координат определяется рядом соображений: характером или симметрией задачи, постановкой вопроса, а также стремлением упростить математическое решение задачи. Для простоты рассмотрим декартову систему координат x,у,z. Изучение движений частицы в других координатах оставим для задач.

     Запишем проекции радиус-вектора на оси координат. Вектор определяет положение интересующей нас частицы относительно начала координат О в момент t:

     Закон движения частицы - это зависимость координат от времени. Он задает положение частицы в каждый момент времени, ее скорость и ускорение. Cпроектировав (2.1) и (2.2), например, на OX, получим формулы, определяющие проекции векторов скорости и ускорения на эту ось:

      где dx- проекция вектора перемещения на ось х,

     здесь - проекция вектора приращения скорости на ось х. Такие же соотношения получаются для у- и z-проекций соответствующих векторов. Из этих формул видно, что проекции векторов скорости и ускорения равны соответственно первой и второй производным координат по времени.

     Зависимости полностью определяют движение частицы. Зная их, можно найти не только положение частицы, но и проекции ее скорости и ускорения, а следовательно, модуль и направление векторов и в любой момент времени. Например, модуль вектора скорости определяется формулой

     а направление вектора задается направляющими косинyсами по формулам:

     где (, ( ,( - углы между вектором и осями х, у, z соответственно. Направляющие косинусы всегда удовлетворяют соотношению . Аналогичными формулами определяются модуль и направление вектора ускорения .

     С помощью закона движения можно найти траекторию частицы, зависимость пройденного ею пути от времени, зависимость скорости от положения частицы и т.д.

     Нахождение скорости и закона движения частицы по заданному ускорению называется обратной задачей. Ее решение проводится, как и в векторном способе, путем интегрирования (в данном случае проекций ускорения по времени). Задача и здесь имеет однозначное решение, если кроме ускорения заданы еще и начальные условия: проекции скорости и координаты частицы в начальный момент времени.

     Естественный способ. Его применяют в том случае, когда заранее известна траектория частицы. Положение движущегося тела определяют дуговой координатой l - расстоянием вдоль траектории от выбранного начала отсчета точки О (рис. 2.3).

     При этом произвольно выбирают положительное направление отсчета координаты l (например, как показано стрелкой на рисунке 2.3).

     Движение частицы задано полностью, если определена ее траектория, начало отсчета О, положительное направление отсчета дуговой координаты l и закон движения частицы, т. е. зависимость .

     Рассмотрим как в этом способе описания определяется скорость частицы. Введем единичный вектор , связанный с движущейся точкой А и направленный по касательной к траектории в сторону увеличения дуговой координаты l (рис. 2.3). Ясно, что - переменный вектор: его направление зависит от l, хотя длина этого вектора остается неизменной. Вектор скорости частицы А направлен по касательной к траектории, поэтому его можно выразить так:

     где - проекция вектора на направление вектора , причем - величина алгебраическая. Кроме того, ясно, что

     Рассмотрим теперь ускорение частицы . Продифференцируем (2.6) по времени:

     Преобразуем последнее слагаемое этого выражения:

     Рассмотрим приращение вектор на участке dl (рис. 2.4).

     Можно строго показать, что при стремлении точки 2 к точке 1 отрезок траектории между ними можно представить в виде дуги окружности с центром в некоторой точке О. Ее называют центром кривизны траектории в данной точке, а радиус R соответствующей окружности - радиусом кривизны траектории в той же точке.

     Как видно из рис. 2.4, угол , откуда , причем при . Если ввести единичный вектор нормали к траектории в точке 1, направленный к центру кривизны, то последнее равенство запишется в векторном виде:

     Подставляя (2.8) в (2.7), а затем полученное выражение - в (2.6), получим в итоге выражение для вектора ускорения

     Здесь первое слагаемое называют тангенциальным ускорением , а второе - нормальным (центростремительным)

     В итоге полное ускорение может быть представлено как сумма тангенциального и нормального ускорений.

     Модуль полного ускорения вычисляется по теореме Пифагора

      Точка А движется по дуге окружности радиусом R (рис. 2.5).

     Ее скорость зависит от дуговой координаты l но закону гдепостоянная (определите эту константу самостоятельно). Найдем угол ( между векторами полного ускорения и скорости частицы как функцию координаты l.

     Из рис. 2.5 видно, что угол ( можно определить из соотношения составляющих полного ускорения по формуле . Значения компонент вектора полного ускорения и . Вычисляются по формулам:

     Отсюда получаем .