В качестве основной функции, применяемой при статистическом описании, выступает функция распределения, закономерное изменение которой с течением времени описывает статистические характеристики рассматриваемой системы. Функция распределения позволяет рассчитывать все наблюдаемые термодинамические параметры системы.

     Для введения понятия функции распределения сначала рассмотрим какую либо макроскопическую систему, состояние которой описывается некоторым параметром , принимающим дискретных значений: , , ,..., . Пусть при проведении над системой измерений были получены следующие результаты: значение наблюдалось при измерениях, значение наблюдалось соответственно при измерениях и т.д. При этом, очевидно, что общее число измерений равняется сумме всех измерений , в которых были получены значения : .

     Увеличение числа проведенных экспериментов до бесконечности приводит к стремлению отношения к пределу

     

     Величина называется вероятностью измерения значения .

     Вероятность представляет собой величину, которая может принимать значения в интервале . Значение соответствует случаю, когда ни при одном измерении не наблюдается значение и, следовательно, система не может иметь состояние, характеризующееся параметром . Соответственно вероятность возможна только, если при всех измерениях наблюдалось значение . В этом случае, система находится в детерминированном состоянии с параметром .

     Сумма вероятностей нахождения системы во всех состояниях с параметрами равна единице:

     

     Условие (5.2) указывает на достаточно очевидный факт, что если набор возможных дискретных значений , является полным (то есть включает все возможные значения параметра в соответствии с условиями физической задачи), то при любых измерениях параметра должны наблюдаться значения этого параметра только из указанного набора .

     Рассмотренный нами случай, когда параметр, характеризующий систему, принимает набор дискретных значений не является типичным при описании макроскопических термодинамических систем. Действительно, такие параметры как температура, давление, внутренняя энергия и т.д., обычно принимают непрерывный ряд значений. Аналогично и переменные движения микрочастиц (координата и скорость) изменяются для систем, описываемых классической механикой, непрерывным образом.

     Поэтому рассмотрим случай, когда измеренный параметр может иметь любые значения в некотором интервале . Причем, указанный интервал может быть и не ограниченным какими либо конечными значениями и , то есть параметр в принципе может изменяться от до , как, например, координаты молекулы газа для случая неограниченной среды.

     Пусть в результате измерений было установлено, что величина с вероятностью попадает в интервал значений от до . Тогда можно ввести функцию , характеризующую плотность распределения вероятностей:

     

     Эта функция в физике обычно называется функцией распределения.

     Функция распределения должна удовлетворять условию: , так как вероятность попадания измеренного значения в интервал от до не может быть отрицательной величиной. Вероятность того, что измеренное значение попадет в интервал равна

     

     Соответственно, вероятность попадания измеренного значения в весь интервал возможных значений равна единице:

     

     Выражение (5.5) называется условием нормировки функции распределения.

     Функция распределения позволяет определить среднее значение любой функции :

     

     В частности по формуле (5.6) может быть найдено среднее значение параметра :

     

     Если состояние системы характеризуется двумя параметрами и , то вероятность её нахождения в состоянии со значениями этих параметров в интервалах и соответственно равна

     

     где - двумерная функция распределения. Примером такой функции может служить совместное распределение для координат и скоростей молекул газа.

     Соответственно для бесконечно малых интервалов и вероятность можно представить в виде

     

     В случае статистической независимости значений параметров и друг от друга двумерная функция распределений равна произведению функций распределения и :

     

     Это свойство функций распределения будет нами использовано при рассмотрении распределения Максвелла-Больцмана.

     Задача 5.1. Найти функцию распределения и среднее значение координаты молекулы газа, находящегося в равновесном состоянии в изолированной системе при отсутствии внешних сил. Считать, что молекула может находиться только в интервале координат . Распространить полученный результат на трехмерный случай.

     Решение: Так как газ находится в равновесном состоянии, то вероятность нахождения молекулы в любом интервале значений координаты будет одинаковой и, следовательно, функция распределения . Тогда в соответствии с условием нормировки (5.5) имеем выражение для функции распределения в интервале значений :

     

     При или функция распределения .

     Подстановка этого выражения для функции распределения в формулу (5.7) дает среднее значение координаты :

     

     Полученные выражения позволяют, с использованием условия независимости переменных , и , аналогично формуле (5.10) записать выражение для трехмерной функции распределения

     

     Соответственно средние значения координат , и будут иметь вид: