Проведем расчет к.п.д. цикла Карно для реального газа, уравнение состояния которого является уравнением достаточно произвольного вида

     

     а внутренняя энергия задается формулой

     

     Необходимо отметить, что феноменологическая термодинамика не дает возможности теоретически получить вид этих функций, а для их построения требуется использование экспериментальных данных или результатов статистической физики.

     Для рассматриваемого случая реального газа можно получить уравнение адиабаты. Подстановка формул (3.14) и (3.15) уравнение для адиабатического процесса: , позволяет получить дифференциальное уравнение

     

     интегрирование которого дает уравнения адиабат для процессов 2-3 и 4-1 (см. рис. 3.5) в виде:

     

     

     Уравнения (3.17) и (3.18) могут быть разрешены в явном виде относительно переменных и :

     

     

     или относительно переменных и :

     

     

     Для изотермических процессов 1-2 и 3-4 запишем общие выражения для получаемой и отдаваемой теплоты:

     

     

     

     

     В этих формулах учтено то, что для реального газа при изотермическом процессе может происходить изменение внутренней энергии.

     Тогда в соответствии с формулой (3.2) имеем выражение для к.п.д. цикла Карно

     

     Подставляя в эту формулу выражения для и из уравнений (3.21) и (3.22) имеем

     

     Аналогично подстановка в формулу (3.25) выражений для и из уравнений (3.19) и (3.20) дает

     

     Сравнение выражений (3.26) и (3.27) приводит к тождеству:

     

     которое может выполняться при произвольных значениях , , и только в том случае, если функции и представляют собой одинаковые зависимости от температур и и не зависят соответственно от , и , .

     Следовательно, к.п.д. цикла Карно тепловой машины для рассмотренного случая является функцией температуры нагревателя и холодильника и может быть записан в виде

     

     Отметим, что проведенный анализ не позволяет сделать заключение о зависимости или независимости конкретного вида этой функции от физических свойств рабочего тела.

     Задача 3.2. Рассчитать к.п.д. термодинамического цикла Карно для тепловой машины, использующей в качестве рабочего тела один моль реального газа, описываемого уравнением Ван-дер-Ваальса. Использовать уравнение состояния и выражение для внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса.

     Решение: Подстановка в формулу (3.16) приведенных в условии задачи выражений для уравнения состояния и внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса дает:

     

     Полученное выражение может быть приведено к виду:

     

     где введено обозначение:

     

     Интегрирование полученного дифференциального уравнения дает уравнение адиабаты газа Ван-дер-Ваальса:

     

     Применение этого уравнения для двух адиабатических процессов позволяет получить условия:

     

     

     которые в свою очередь дают:

     

     Далее, подстановка в формулы (3.23) и (3.24) выражений для функций и , и выполнение интегрирования позволяет вычислить подводимую и отводимую теплоты:

     

     

     Подстановка этих выражений в формулу (3.2), с учетом полученного выше соотношения для объемов, дает выражение для к.п.д. машины Карно, при использовании в ней газа Ван-дер-Ваальса:

     

     Нетрудно видеть, что эта формула полностью совпадает с выражением (3.13) для к.п.д. машины Карно, использующей идеальный газ.

     Задача 3.3. Рассчитать к.п.д. термодинамического цикла Карно для тепловой машины, использующей в качестве рабочего тела фотонный газ. Использовать уравнение состояния и выражение для внутренней энергии фотонного газа. Термодинамический цикл Карно для фотонного газа приведен на рис. 3.6.

     Решение: Фотонный газ представляет собой электромагнитные волны, заполняющие объем, ограниченный стенками, нагретыми до некоторой температуры .

     Применение формулы (3.16) для приведенных в условии задачи выражений для уравнения состояния и внутренней энергии фотонного газа позволяет получить дифференциальное уравнение адиабатического процесса:

     

     Данное дифференциальное уравнение преобразуем к виду:

     

     Интегрирование этого дифференциального уравнения позволяет записать уравнение адиабаты фотонного газа в форме:

     

     Тогда, применение этого уравнения для двух адиабатических процессов позволяет получить условия:

     

     

     из которых следует:

     

     

     Подстановка в формулы (3.23) и (3.24) выражения для функций и из условия задачи, и выполнение интегрирования позволяет вычислить подводимую и отводимую теплоты:

     

     

     Тогда по формуле (3.2) имеем

     

     Учет полученных выше соотношений между объемами , и , позволяет записать к.п.д. машины Карно, рабочим телом которой является фотонный газ в виде:

     

     Как следует из проведенных расчетов к.п.д. машины Карно одинаков при использовании в ней в качестве рабочего тела идеального газа, газа Ван-дер-Ваальса и фотонного газа.