3.3. Расчет цикла Карно для реального газа [ М Г Т У ]

Проведем расчет к.п.д. цикла Карно для реального газа, уравнение состояния которого является уравнением достаточно произвольного вида

а внутренняя энергия задается формулой

Необходимо отметить, что феноменологическая термодинамика не дает возможности теоретически получить вид этих функций, а для их построения требуется использование экспериментальных данных или результатов статистической физики.

Для рассматриваемого случая реального газа можно получить уравнение адиабаты. Подстановка формул (3.14) и (3.15) уравнение для адиабатического процесса:

, позволяет получить дифференциальное уравнение

интегрирование которого дает уравнения адиабат для процессов 2-3 и 4-1 (см. рис. 3.5) в виде:

Уравнения (3.17) и (3.18) могут быть разрешены в явном виде относительно переменных

или относительно переменных

Для изотермических процессов 1-2 и 3-4 запишем общие выражения для получаемой

и отдаваемой

теплоты:

В этих формулах учтено то, что для реального газа при изотермическом процессе может происходить изменение внутренней энергии.

Тогда в соответствии с формулой (3.2) имеем выражение для к.п.д. цикла Карно

Подставляя в эту формулу выражения для

из уравнений (3.21) и (3.22) имеем

Аналогично подстановка в формулу (3.25) выражений для

из уравнений (3.19) и (3.20) дает

Сравнение выражений (3.26) и (3.27) приводит к тождеству:

которое может выполняться при произвольных значениях

только в том случае, если функции

представляют собой одинаковые зависимости от температур

и не зависят соответственно от

Следовательно, к.п.д. цикла Карно тепловой машины для рассмотренного случая является функцией температуры нагревателя

и холодильника

и может быть записан в виде

Отметим, что проведенный анализ не позволяет сделать заключение о зависимости или независимости конкретного вида этой функции от физических свойств рабочего тела.

Задача 3.2. Рассчитать к.п.д. термодинамического цикла Карно для тепловой машины, использующей в качестве рабочего тела один моль реального газа, описываемого уравнением Ван-дер-Ваальса. Использовать уравнение состояния

и выражение для внутренней энергии

газа Ван-дер-Ваальса.

Решение: Подстановка в формулу (3.16) приведенных в условии задачи выражений для уравнения состояния и внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса дает:

Полученное выражение может быть приведено к виду:

где введено обозначение:

Интегрирование полученного дифференциального уравнения дает уравнение адиабаты газа Ван-дер-Ваальса:

Применение этого уравнения для двух адиабатических процессов позволяет получить условия:

которые в свою очередь дают:

Далее, подстановка в формулы (3.23) и (3.24) выражений для функций

, и выполнение интегрирования позволяет вычислить подводимую

и отводимую

теплоты:

Подстановка этих выражений в формулу (3.2), с учетом полученного выше соотношения для объемов, дает выражение для к.п.д. машины Карно, при использовании в ней газа Ван-дер-Ваальса:

Нетрудно видеть, что эта формула полностью совпадает с выражением (3.13) для к.п.д. машины Карно, использующей идеальный газ.

Задача 3.3. Рассчитать к.п.д. термодинамического цикла Карно для тепловой машины, использующей в качестве рабочего тела фотонный газ. Использовать уравнение состояния

и выражение для внутренней энергии

фотонного газа. Термодинамический цикл Карно для фотонного газа приведен на рис. 3.6.

Решение: Фотонный газ представляет собой электромагнитные волны, заполняющие объем, ограниченный стенками, нагретыми до некоторой температуры

Применение формулы (3.16) для приведенных в условии задачи выражений для уравнения состояния и внутренней энергии фотонного газа позволяет получить дифференциальное уравнение адиабатического процесса:

Данное дифференциальное уравнение преобразуем к виду:

Интегрирование этого дифференциального уравнения позволяет записать уравнение адиабаты фотонного газа в форме:

Тогда, применение этого уравнения для двух адиабатических процессов позволяет получить условия:

из которых следует:

Подстановка в формулы (3.23) и (3.24) выражения для функций

из условия задачи, и выполнение интегрирования позволяет вычислить подводимую

и отводимую

теплоты:

Тогда по формуле (3.2) имеем

Учет полученных выше соотношений между объемами

позволяет записать к.п.д. машины Карно, рабочим телом которой является фотонный газ в виде:

Как следует из проведенных расчетов к.п.д. машины Карно одинаков при использовании в ней в качестве рабочего тела идеального газа, газа Ван-дер-Ваальса и фотонного газа.