|
Проведем расчет к.п.д. цикла Карно для реального газа, уравнение состояния которого является уравнением достаточно произвольного вида
, | (3.14) |
а внутренняя энергия задается формулой
. | (3.15) |
Необходимо отметить, что феноменологическая термодинамика не дает возможности теоретически получить вид этих функций, а для их построения требуется использование экспериментальных данных или результатов статистической физики.
Для рассматриваемого случая реального газа можно получить уравнение адиабаты. Подстановка формул (3.14) и (3.15) уравнение для адиабатического процесса: ![](..\images\ch3_3\fml3.gif) , позволяет получить дифференциальное уравнение
, | (3.16) |
интегрирование которого дает уравнения адиабат для процессов 2-3 и 4-1 (см. рис. 3.5) в виде:
, | (3.17) |
. | (3.18) |
Уравнения (3.17) и (3.18) могут быть разрешены в явном виде относительно переменных ![](..\images\ch3_3\fml7.gif) и ![](..\images\ch3_3\fml8.gif) :
, | (3.19) |
, | (3.20) |
или относительно переменных ![](..\images\ch3_3\fml11.gif) и ![](..\images\ch3_3\fml12.gif) :
, | (3.21) |
. | (3.22) |
Для изотермических процессов 1-2 и 3-4 запишем общие выражения для получаемой ![](..\images\ch3_3\fml15.gif) и отдаваемой ![](..\images\ch3_3\fml16.gif) теплоты:
, | (3.23) |
. | (3.24) |
В этих формулах учтено то, что для реального газа при изотермическом процессе может происходить изменение внутренней энергии.
Тогда в соответствии с формулой (3.2) имеем выражение для к.п.д. цикла Карно
. | (3.25) |
Подставляя в эту формулу выражения для ![](..\images\ch3_3\fml22.gif) и ![](..\images\ch3_3\fml23.gif) из уравнений (3.21) и (3.22) имеем
. | (3.26) |
. | (3.27) |
, | (3.28) |
которое может выполняться при произвольных значениях ![](..\images\ch3_3\fml29.gif) , ![](..\images\ch3_3\fml30.gif) , ![](..\images\ch3_3\fml31.gif) и ![](..\images\ch3_3\fml32.gif) только в том случае, если функции ![](..\images\ch3_3\fml33.gif) и ![](..\images\ch3_3\fml34.gif) представляют собой одинаковые зависимости от температур ![](..\images\ch3_3\fml35.gif) и ![](..\images\ch3_3\fml36.gif) и не зависят соответственно от ![](..\images\ch3_3\fml37.gif) , ![](..\images\ch3_3\fml38.gif) и ![](..\images\ch3_3\fml39.gif) , ![](..\images\ch3_3\fml40.gif) .
Следовательно, к.п.д. цикла Карно тепловой машины для рассмотренного случая является функцией температуры нагревателя ![](..\images\ch3_3\fml41.gif) и холодильника ![](..\images\ch3_3\fml42.gif) и может быть записан в виде
. | (3.29) |
Отметим, что проведенный анализ не позволяет сделать заключение о зависимости или независимости конкретного вида этой функции от физических свойств рабочего тела.
Задача 3.2. Рассчитать к.п.д. термодинамического цикла Карно для тепловой машины, использующей в качестве рабочего тела один моль реального газа, описываемого уравнением Ван-дер-Ваальса. Использовать уравнение состояния и выражение для внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса.
Решение: Подстановка в формулу (3.16) приведенных в условии задачи выражений для уравнения состояния и внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса дает:
![](..\images\ch3_3\fml46.gif) .
Полученное выражение может быть приведено к виду:
![](..\images\ch3_3\fml47.gif) ,
где введено обозначение:
![](..\images\ch3_3\fml48.gif) .
Интегрирование полученного дифференциального уравнения дает уравнение адиабаты газа Ван-дер-Ваальса:
![](..\images\ch3_3\fml49.gif) .
Применение этого уравнения для двух адиабатических процессов позволяет получить условия:
![](..\images\ch3_3\fml50.gif) ,
![](..\images\ch3_3\fml51.gif) ,
которые в свою очередь дают:
![](..\images\ch3_3\fml52.gif) .
Далее, подстановка в формулы (3.23) и (3.24) выражений для функций и , и выполнение интегрирования позволяет вычислить подводимую и отводимую теплоты:
![](..\images\ch3_3\fml57.gif) ,
![](..\images\ch3_3\fml58.gif) .
Подстановка этих выражений в формулу (3.2), с учетом полученного выше соотношения для объемов, дает выражение для к.п.д. машины Карно, при использовании в ней газа Ван-дер-Ваальса:
![](..\images\ch3_3\fml59.gif) .
Нетрудно видеть, что эта формула полностью совпадает с выражением (3.13) для к.п.д. машины Карно, использующей идеальный газ.
Задача 3.3. Рассчитать к.п.д. термодинамического цикла Карно для тепловой машины, использующей в качестве рабочего тела фотонный газ. Использовать уравнение состояния и выражение для внутренней энергии фотонного газа. Термодинамический цикл Карно для фотонного газа приведен на рис. 3.6.
|
|
| Рис. 3.6. Термодинамический цикл Карно для фотонного газа
|
Решение: Фотонный газ представляет собой электромагнитные волны, заполняющие объем, ограниченный стенками, нагретыми до некоторой температуры .
Применение формулы (3.16) для приведенных в условии задачи выражений для уравнения состояния и внутренней энергии фотонного газа позволяет получить дифференциальное уравнение адиабатического процесса:
![](..\images\ch3_3\fml63.gif) .
Данное дифференциальное уравнение преобразуем к виду:
![](..\images\ch3_3\fml64.gif) .
Интегрирование этого дифференциального уравнения позволяет записать уравнение адиабаты фотонного газа в форме:
![](..\images\ch3_3\fml65.gif) .
Тогда, применение этого уравнения для двух адиабатических процессов позволяет получить условия:
![](..\images\ch3_3\fml66.gif) ,
![](..\images\ch3_3\fml67.gif) ,
из которых следует:
![](..\images\ch3_3\fml68.gif) ,
![](..\images\ch3_3\fml69.gif) .
Подстановка в формулы (3.23) и (3.24) выражения для функций и из условия задачи, и выполнение интегрирования позволяет вычислить подводимую и отводимую теплоты:
![](..\images\ch3_3\fml74.gif) ,
![](..\images\ch3_3\fml75.gif) .
Тогда по формуле (3.2) имеем
![](..\images\ch3_3\fml76.gif) .
Учет полученных выше соотношений между объемами , и , позволяет записать к.п.д. машины Карно, рабочим телом которой является фотонный газ в виде:
![](..\images\ch3_3\fml81.gif) .
Как следует из проведенных расчетов к.п.д. машины Карно одинаков при использовании в ней в качестве рабочего тела идеального газа, газа Ван-дер-Ваальса и фотонного газа.
| |